數(shù)學(xué)趣題解析

第2章數(shù)學(xué)趣題解析

1.分酒類(lèi)問(wèn)題(1)109頁(yè)

裝牛奶

冰冰是個(gè)小饞貓。有一天晚上，他在夢(mèng)中來(lái)到一個(gè)奇妙的地方，

這里的花草

樹(shù)木都是冰淇淋或巧克力做的，小河里淌的是牛奶。他正想喝牛

奶，可發(fā)現(xiàn)沒(méi)帶

杯子。這時(shí)突然出現(xiàn)了兩個(gè)圓柱形的容器，一個(gè)容量是3升，另

一個(gè)容量是10

升，前者的高度正好是后者的一半。它們是用高硬度不滲透的材

料制成的，重量

很沉，但其厚度薄到可以忽略不計(jì)。冰冰把其中的一個(gè)容器裝滿(mǎn)

牛奶，然后結(jié)合

使用另一個(gè)容器，量出了恰好1升牛奶。在這個(gè)過(guò)程中，冰冰沒(méi)

有再用容器從河

中裝過(guò)牛奶，原來(lái)裝回的牛奶始終都在容器中，沒(méi)有失去一滴。

想想看，冰冰是如何量出這1升牛奶的？

分析與解答

用小容器裝滿(mǎn)3升牛奶；把這3升牛奶全部倒入大容器中；把空

的小容器口

朝上放進(jìn)大容器的底部；這時(shí)，大容器中的牛奶溢過(guò)小容器的口

而再流入小容器；

這樣流入小容器中的牛奶正好是1升。由條件已經(jīng)知道小容器的

高度是大容器的

一半，而大容器一半的容量是5升，當(dāng)小容器放入大容器中后，

大容器中圍繞著

小容器的環(huán)形部分的容量是2升，多出的1升就流入小容器之

中。

怎樣斟酒

也許，還沒(méi)有一個(gè)難題像這道題那樣激起這么多的歡樂(lè)，這是泰

巴旅店老板

哈利?裴萊提出的。他一路上陪著一伙朝圣者，有一次他把同伴

一齊叫來(lái)，說(shuō)：

“我可敬的老爺們，現(xiàn)在輪到我來(lái)啟迪一下你們的心智。我給你

們講一個(gè)難

題，它會(huì)使你們大傷腦筋。但是我想你們最后會(huì)發(fā)現(xiàn)，它很簡(jiǎn)單。

請(qǐng)看，這兒放

著一桶絕妙的倫敦白啤酒。我手里拿著兩個(gè)大盅，一個(gè)能盛5品

脫，另一個(gè)能盛

3品脫。請(qǐng)你們說(shuō)說(shuō)看，我怎樣斟酒，使得每個(gè)盅里都恰好有1品

脫？”

回答這個(gè)問(wèn)題，不允許使用任何別的容器或設(shè)備，也不許在盅子

上做記號(hào)。

分析與解答

由索維爾克小旅店“泰巴”快樂(lè)的東家提出的難題，比其他朝圣者

的難題更

通俗。

“我看，我的老爺們，”他揚(yáng)聲說(shuō)，“太妙啦，我的小小詭計(jì)把你

們的頭腦

弄糊涂了。要在這兩個(gè)盅子里都斟上1品脫酒，不許用其他任何

容器幫助，這對(duì)

我來(lái)說(shuō)是毫不困難的。”

于是，泰巴旅店的老板開(kāi)始向朝圣者們解釋?zhuān)鯓油瓿蛇@最初認(rèn)

為簡(jiǎn)直不能

解決的問(wèn)題。他立刻把兩個(gè)盅子都斟滿(mǎn)，然后將龍頭開(kāi)著讓桶里

剩下的啤酒都流

到地板上（對(duì)于這種做法，同伴們堅(jiān)決提出抗議。但機(jī)智的老板

說(shuō)，他確切地知

道原來(lái)桶內(nèi)的啤酒量比8品脫多不了多少。請(qǐng)注意，流盡的啤酒

量不影響本題的

解）。他再把龍頭關(guān)上，并將3品脫盅子內(nèi)的酒全部倒回桶中，

接著把大盅的酒

往小盅倒掉3品脫，并把這3品脫酒倒回桶中，他又把大盅剩下

的2品脫酒倒往

小盅，把桶里的酒注滿(mǎn)大盅（5品脫），這樣，桶里只剩1品脫。

他再把大盅的

酒注滿(mǎn)小盅(只能倒出1品脫)，讓同伴們喝完小盅里的酒，然

后從大盅往小盅

倒3品脫，大盅里剩下1品脫，又喝完小盅的酒，最后把桶里剩

的1品脫酒注人

小盅內(nèi)。這樣朝圣者們懷著極大的驚訝與贊嘆之情，發(fā)現(xiàn)在每個(gè)

盅子里現(xiàn)在都是

一品脫啤酒。

第2章數(shù)學(xué)趣題解析

1.分酒類(lèi)問(wèn)題(2)

稱(chēng)球問(wèn)題

稱(chēng)球問(wèn)題是最經(jīng)典的一道趣味數(shù)學(xué)題目，經(jīng)常出現(xiàn)于各種智力游

戲及智力測(cè)

試中，最常見(jiàn)的題目如下所示：

12個(gè)球中，有一個(gè)重量與其他的11個(gè)不同，但不知道是重還是

輕。給你一

個(gè)天平，只許稱(chēng)3次把這個(gè)不標(biāo)準(zhǔn)的球找出來(lái)，應(yīng)該怎么稱(chēng)呢？

分析與解答

首先強(qiáng)調(diào)說(shuō)明兩點(diǎn)：

(1)不規(guī)則的球不知是輕還是重，一共12個(gè)球，因此最后必定

是24種可

能。

(2)任何時(shí)候如果天平相等，那么天平上的球都是標(biāo)準(zhǔn)球，可

以作為后續(xù)

參考球。如果天平不相等，下次稱(chēng)的時(shí)候?qū)⑵渲械囊徊糠智蚪粨Q

位置天平保持不

變，那么交換的球都是標(biāo)準(zhǔn)球，反之如果天平發(fā)生變化則不標(biāo)準(zhǔn)

球就在交換的球

之中。

為了使讀者查看方便，12個(gè)球用1~12(數(shù)字)進(jìn)行標(biāo)識(shí)，其中

已確定是標(biāo)

準(zhǔn)球的號(hào)碼加括號(hào)注明：

第一次{1+2+3+4}比較{5+6+7+8}

如果相等，第二次{9+10}比較{(1)+11}

如果相等，證明是12球不規(guī)則，第三次和任意球比較，12或者

重或者輕兩

種可能

如果{9+10}>{(1)+11}

第三次9比較10,如果9>10并且{9+10}>{(1)+11}證明是9重

同理如果9<10,證明是10重

同理如果9=10,證明是11輕

如果{9+10}<{(1)+11}

第三次9比較10,如果9>10并且{9+10}<{(1)+11},證明是10

輕

如果9V10,證明是9輕

如果9=10,證明是11重

至此剛好8種可能；

如果{1+2+3+4}>{5+6+7+8}

第二次{1+2+5}比較{3+6+(9)}(關(guān)鍵把其中3,5球的位置交

換)

如果相等，證明1,2,3,5,6為規(guī)則球，不規(guī)則球在4,7,8中

(見(jiàn)說(shuō)明

2)

第三次7比較8,如果7=8并且{1+2+3+4}>{5+6+7+8}證明是4

重

如果7v8,證明是7輕

如果7>8,證明是8輕

如果{1+2+5}>{3+6+(9)}

證明3,5,4,7,8為規(guī)則球，不規(guī)則球在1,2,6中

第三次1比較2,如果1=2并且{1+2+5}>{3+6+(9)}證明是6輕

如果1>2,證明是1重

如果1<2,證明是2重—

如果{1+2+5}v{3+6+(9)}

證明不規(guī)則球在3,5中(因?yàn)槲恢米兓炱阶兓?

第三次隨便比較1與3,如果1=3,證明是5輕

如果1<3,證明是3重

1>3不可能，因?yàn)橐呀?jīng)有第一次{1+2+3+4}>{5+6+7+8}

這樣剛好也是8種可能。

同樣道理，｛1+2+3+4｝<｛5+6+7+8｝時(shí)處理方法同上，也會(huì)有8種

不重復(fù)的可

能性，最終剛好是24種可能。

同樣還是稱(chēng)球的問(wèn)題，如果12個(gè)球你解決了，接著再考慮一下

如何解決13

個(gè)球吧，條件完全相同，13個(gè)球中有一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)球，仍然是稱(chēng)3

次找出來(lái)，13

個(gè)球是稱(chēng)3次的極限了。

分析與解答

有了稱(chēng)12個(gè)球的經(jīng)驗(yàn)，下面就解釋得稍微簡(jiǎn)單一些了，分組方

式為4,4,5。

第一次仍然為｛1+2+3+4｝比較｛5+6+7+8｝

如果相等，第二次｛9+10+11｝比較｛(1)+(2)+(3)｝

如果相等證明不標(biāo)準(zhǔn)球是12或者13

第三次比較1和12,如果1>12,證明是12輕

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如果1V12,證明是12重

如果1=12,證明不標(biāo)準(zhǔn)球是13

如果｛9+10+11｝>｛(1)+(2)+(3)｝,則說(shuō)明不標(biāo)準(zhǔn)球在9,

10,11中且

為重

第三次9比較10,如果9=10,證明是11重

如果9V10,證明是10重

如果9>10,證明是9重

如果{9+10+ll}v{(1)+(2)+(3)},則說(shuō)明不標(biāo)準(zhǔn)球在9,

10,11中且

為輕

第三次9比較10,如果9=10,證明是11輕

如果9V10,證明是9輕

如果9>10,證明是10輕

如果{1+2+3+4}>{5+6+7+8}

第二次{"2+3+5}比較{4+(9)+(10)+(11)}

如果相等，證明不規(guī)則球在6,7,8中且為輕

第三次6比較7如果6=7證明是8輕

如果6<7,證明是6輕

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如果6>7,證明是7輕

如果{1+2+3+5}>{4+(9)+(10)+(11)}

證明不規(guī)則球在1,2,3中且為重

第三次1比較2,如果1=2證明是3重

如果1>2,證明是1重

如果1V2,證明是2重

如果{l+2+3+5}v{4+(9)+(10)+(11)}

證明不規(guī)則球在4,5中(因?yàn)槲恢米兓炱阶兓?

第三次1比較4即可，如果1=4證明是5輕

如果1<4證明是4重

1>4的情況不成立

同樣{1+2+3+4}<{5+6+7+8}可以分析得出，合計(jì)8+8+9=25種可

能。

只許稱(chēng)一次

一袋一袋的洗衣粉堆成10堆，9堆洗衣粉是合格產(chǎn)品，每袋1

斤。惟獨(dú)有一

堆份量不足，每袋只有9兩。從外形上看，看不出哪一堆是9兩

的。用臺(tái)稱(chēng)一堆

一堆去稱(chēng)吧，稱(chēng)的次數(shù)比較多。有人找到一個(gè)辦法，只稱(chēng)了一次,

就找到了9

兩的那一堆。這是個(gè)什么辦法呢？如果有40堆洗衣粉，其中有

一堆是9兩一袋

的，那么要稱(chēng)幾次才能找出這一堆？

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分析與解答

此題需利用乘法口訣的特點(diǎn)。一個(gè)數(shù)乘以9,乘積中的個(gè)位數(shù)，

沒(méi)有相同的

數(shù):0x9=0,1x9=9,2x9=18,3x9=27,4x9=36,5x9=45,6x9=54,

7x9=63,8x9=72,

9x9=81。稱(chēng)洗衣粉就要用到這個(gè)特點(diǎn)。

將10堆洗衣粉編上號(hào)碼：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。從

第1堆取一

袋洗衣粉，從第2堆取兩袋，從第3堆取三袋，…;??從第9堆取

九袋，第10

堆不取。把取出來(lái)的洗衣粉用秤稱(chēng)一下，只注意總重量幾斤幾兩

的兩數(shù)，如果是

3兩，就知道第7堆是9兩一袋。

如果有40堆，就要稱(chēng)3次。第一次先從20堆中每堆中取出一袋

一■起稱(chēng)。如

果重量是20斤，說(shuō)明9兩的那堆在剩下的20堆中。不然，就在

這20堆中。第

二次再?gòu)陌?兩一堆的20堆中選取1堆，每堆取一袋在臺(tái)稱(chēng)

上稱(chēng)。從重量是

否10斤，就可以確定9兩一堆的在哪10堆中。第三次，將包括

9兩一堆的10

堆按照前面的辦法稱(chēng)一次，就確定了哪一堆是9兩的。

第2章數(shù)學(xué)趣題解析

2.游戲中的分配問(wèn)題

我們經(jīng)常遇到一類(lèi)分配物品的題目，在這類(lèi)題目中，將一些物品

分給幾個(gè)人，

每個(gè)人都得到整數(shù)個(gè)物品。而在有些題目中，經(jīng)常出現(xiàn)有的人得

到分?jǐn)?shù)個(gè)物品的

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情況，而此物品又是不可分割的，這就容易使人迷惑。其實(shí)，在

解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，

如果我們能換個(gè)思維方式，嘗試一下逆向思維，往往能有驚奇的

發(fā)現(xiàn)。

分月餅

中秋節(jié)到了，班級(jí)里買(mǎi)回了一箱月餅準(zhǔn)備分給同學(xué)們。第1個(gè)

同學(xué)取走了1

塊月餅和剩余月餅的1/9,第2個(gè)同學(xué)取走了2塊月餅和剩余月

餅的1/9,第3

個(gè)同學(xué)取走了3塊月餅和剩余月餅的1/9,第4個(gè)同學(xué)取走了4

塊月餅和剩余月

餅的1/9,依次類(lèi)推，把全部月餅一點(diǎn)不剩地分配給了全部同學(xué)。

請(qǐng)問(wèn)班級(jí)共有多少個(gè)同學(xué)，共有多少塊月餅？

分析與解答

此題需逆向思考。

最后一個(gè)同學(xué)取走的月餅數(shù)目應(yīng)與全班的人數(shù)相同。他前面一個(gè)

同學(xué)取走全

班人數(shù)減1塊月餅和剩余月餅的1/9。由此可知最后一個(gè)同學(xué)得

到的是剩余月餅

的8/9。即，在最后一個(gè)同學(xué)取月餅的時(shí)候，剩余月餅應(yīng)是8的

倍數(shù)。

假設(shè)最后一個(gè)同學(xué)取走的是8塊月餅。那么，全班共有8個(gè)同學(xué)。

第7個(gè)同

學(xué)取走7塊月餅再加上剩余9塊月餅的1/9共8塊月餅。第7、

第8個(gè)同學(xué)一共

取走16塊月餅，這應(yīng)該是第6個(gè)同學(xué)取走6塊月餅后剩余月餅

的8/9。我們可

以得到第6個(gè)同學(xué)取走6塊月餅后剩余的月餅數(shù)為16/(8/9)=18。

第6個(gè)同學(xué)

取走的月餅數(shù)為6+18/9=8。_

第5個(gè)同學(xué)取走5塊月餅后剩余月餅的8/9為8+8+8=24塊。則

第5個(gè)同學(xué)

取走5塊月餅后剩余的月餅數(shù)為24/(8/9)=27塊。第5個(gè)同學(xué)

共取走5+27/9=8

塊月餅。

第4個(gè)同學(xué)取走4塊月餅后剩余月餅的8/9為8+8+8+8=32塊。

則第4個(gè)同

學(xué)取走4塊月餅后剩余的月餅數(shù)為32/(8/9)=36塊。第4個(gè)同

學(xué)共取走4+36/9=8

塊月餅。

第3個(gè)同學(xué)取走3塊月餅后剩余月餅的8/9為8+8+8+8+8=40

塊。則第3個(gè)

同學(xué)取走3塊月餅后剩余的月餅數(shù)為40/(8/9)=45塊。第3個(gè)

同學(xué)共取走3+

45/9=8塊月餅。同樣，第2、第1個(gè)同學(xué)也分別取走8塊月餅。

綜上所述，每個(gè)同學(xué)都取走8塊月餅。因此，共有8個(gè)同學(xué)，64

塊月餅。

分蘋(píng)果

小咪家里來(lái)了5位同學(xué)。小咪的爸爸想用蘋(píng)果來(lái)招待這6位小

朋友，可是家

里只有5個(gè)蘋(píng)果。怎么辦呢？只好把蘋(píng)果切開(kāi)了，可是又不能切

成碎塊，小咪的

爸爸希望每個(gè)蘋(píng)果最多切成3塊。這就成了又一道題目：給6個(gè)

孩子平均分配5

個(gè)蘋(píng)果，每個(gè)蘋(píng)果都不許切成3塊以上。

小咪的爸爸是怎樣做的呢？

分析與解答

蘋(píng)果是這樣分的：把3個(gè)蘋(píng)果各切成兩半，把這6個(gè)半邊蘋(píng)果分

給每人1塊。

另2個(gè)蘋(píng)果每個(gè)切成3等份，這6個(gè)1/3蘋(píng)果也分給每人1塊。

于是，每個(gè)孩子

都得到了一個(gè)半邊蘋(píng)果和一個(gè)1/3蘋(píng)果，6個(gè)孩子都平均分配到

了蘋(píng)果。

半張唱片

張三和李四都熱衷于解難題，他們的最大樂(lè)趣就是彼此用難題難

住對(duì)方，或

難倒他們的朋友。

有一次，張三和李四經(jīng)過(guò)一家唱片店。

這時(shí)，張三問(wèn)李四：“你是不是還有西部鄉(xiāng)村音樂(lè)的唱片？”

李四說(shuō)：“沒(méi)有了，我把我唱片的一半和半張唱片給了小趙。”

李四接著說(shuō)：“然后我把我剩下的另一半，加上半張給了小吳?！?/p>

李四：“這樣我就只剩下一張唱片了，如果你能告訴我原先我有

幾張唱片，

我就把這最后一張送給你。”

張三真的被難倒了，因?yàn)樗麑?shí)在想不出這半張唱片有什么用處！

你能幫他解決這個(gè)難題嗎？

分析與解答

此題很容易使人掉入東西的一半再加上1/2,不可能等于一個(gè)整

數(shù)的陷阱里。

如果走入這個(gè)迷宮，就難見(jiàn)天日了！

這題的關(guān)鍵在于：奇數(shù)唱片的一半，再加上半張唱片，正好是個(gè)

整數(shù)。

由于李四最后一次送出唱片后剩一張。他在給小吳1張之前，至

少有3張。

3的一半是，加上1/2等于2,所以李四最后送出了2張?，F(xiàn)在

很容易倒算回

去，他原先有7張唱片。

第2章數(shù)學(xué)趣題解析

3.數(shù)字問(wèn)題

猜數(shù)字-1

一個(gè)教邏輯學(xué)的教授，有三個(gè)學(xué)生，而且三個(gè)學(xué)生都非常聰明。

一天教授給他們出了一個(gè)題，教授在每個(gè)人腦門(mén)上貼了一張紙條

并告訴他

們，每個(gè)人的紙條上都寫(xiě)了一個(gè)正整數(shù)，且某兩個(gè)數(shù)的和等于第

三個(gè)。（每個(gè)人

可以看見(jiàn)另兩個(gè)數(shù)，但看不見(jiàn)自己的。）

教授問(wèn)第一個(gè)學(xué)生：你能猜出自己的數(shù)嗎？回答：不能。

問(wèn)第二個(gè)，不能。

第三個(gè)，不能。

再問(wèn)第一個(gè)，不能。

第二個(gè)，不能。

第三個(gè)：我猜出來(lái)了，是144!

教授很滿(mǎn)意的笑了。請(qǐng)問(wèn)你能猜出另外兩個(gè)人的數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)出理

由！

分析與解答

答案是：36和108

思路如下：

首先，說(shuō)出此數(shù)的人應(yīng)該是兩數(shù)之和的人，因?yàn)榱硗鈨蓚€(gè)加數(shù)的

人所獲得的

信息應(yīng)該是均等的，在同等條件下，若一個(gè)推不出，另一個(gè)也應(yīng)

該推不出。(當(dāng)

然，我這里只是說(shuō)這種可能性比較大，因?yàn)楫吘惯€有個(gè)回答的先

后次序，在一定

程度上存在信息不平衡)

另外，只有在第三個(gè)人看到另外兩個(gè)人的數(shù)是一樣時(shí)，才可以立

刻說(shuō)出自己

的數(shù)。

以上兩點(diǎn)是根據(jù)題意可以推出的已知條件。

如果只問(wèn)了一輪，第三個(gè)人就說(shuō)出144,那么根據(jù)推理，可以很

容易得出另

外兩個(gè)是48和96,怎樣才能讓老師問(wèn)了兩輪才得出答案了？這

就需要進(jìn)一步考

慮：

A：36(36/252)B：108(108/180)C：144(144/72)

括弧內(nèi)是該同學(xué)看到另外兩個(gè)數(shù)后，猜測(cè)自己頭上可能出現(xiàn)的

數(shù)?，F(xiàn)推理如

下：

A,B先說(shuō)不知道，理所當(dāng)然，C在說(shuō)不知道的情況下，可以假

設(shè)如果自己是

72的話，B在已知36和72條件下，會(huì)這樣推理—“我的數(shù)應(yīng)

該是36或是8,

但如果是36的話，C應(yīng)該可以立刻說(shuō)出自己的數(shù)，而C并沒(méi)說(shuō),

所以應(yīng)該是108!”

然而，在下一輪，B還是不知道，所以，C可以判斷出自己的

假設(shè)是假的，自己

的數(shù)只能是144。

猜數(shù)字-2

老師從1-50之間(大于1小于50)選了兩個(gè)自然數(shù)，將兩數(shù)之

積告訴同學(xué)

P(Product),兩數(shù)之和告訴同學(xué)S(Sum),問(wèn)兩位同學(xué)能否推

出這兩個(gè)自然

數(shù)？

S說(shuō)：我知道你不知道這兩個(gè)數(shù)，但我也不知道。

P說(shuō)：我還是不知道。

S說(shuō)：我知道這兩個(gè)數(shù)啦！

P說(shuō)：我也知道啦！

其他同學(xué)：我們也知道啦!

問(wèn)：老師選出的兩個(gè)自然數(shù)是什么？

分析與解答

說(shuō)話依次編號(hào)為SI,Pl,S2,P2o

設(shè)這兩個(gè)數(shù)為x,y,和為s,積為p。

由S1,P不知道這兩個(gè)數(shù)，所以s不可能是兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加得來(lái)的,

而且s<=29,

因?yàn)槿绻鹲>29,那么P拿到29x(s-29)必定可以猜出s了。所

以和s為｛11,

17,23,27,29｝之一,設(shè)這個(gè)集合為A。

由P1,乘積p必定含有因子2,而且含有兩個(gè)質(zhì)因子，而且最大

的質(zhì)因子不

可能大于7,(假如含有因子11,就會(huì)有p至少是11x2x3,拆成

11x6或者22x3

不滿(mǎn)足條件，假如含有因子13,就會(huì)有p至少是13x2x3,拆成

13x6或者26x3

也不滿(mǎn)足條件)，這條規(guī)則有助于簡(jiǎn)化和s的拆分。

(1)假設(shè)s=ll。

11=2+9=5+6,有18=2x9=3x6,只有2+9落在集合A中，P不會(huì)

說(shuō)出P1。而

30=5x6=2x15,11和17都落在集合A中，所以只有這一種情況

會(huì)令P說(shuō)P1,所

以S拿到11可以斷言S2。但是問(wèn)題在于P會(huì)說(shuō)出P2的話，必

須要s=17時(shí)S說(shuō)

不出S2才行?！?/p>

下面看看s=17的情況，17=2+15=3+14=5+12=7+10=8+9,由于

p=2x15=5x6

或p=3xl4=2x21都會(huì)令P說(shuō)出P1,所以s=17時(shí)S說(shuō)不出S2。

所以s=H,p=30,這兩個(gè)數(shù)是5和6的時(shí)候滿(mǎn)足條件

(2)假設(shè)s=23,

23=2+21=3+20=5+18=8+15=9+14,由于p=9xl4=6x21或

p=3xl4=2x21都會(huì)令

P說(shuō)出P1,所以s=23時(shí)S說(shuō)不出S2。

(3)假設(shè)s=27,

27=2+25=3+24=6+21=7+20=9+18=12+15,由于p=6x21=9x14或

p=12xl5=9x20都會(huì)令P說(shuō)出PL所以s=27時(shí)S說(shuō)不出S2。

(4)假設(shè)s=29,29=2+27=4+25=5+24=8+21=9+20=14+15,由于

p=9x20=12xl5

或p=5x24=15x8都會(huì)令P說(shuō)出P1,所以s=27時(shí)S說(shuō)不出S2。

綜上所述：這兩個(gè)數(shù)只可能是5和6。

數(shù)字找規(guī)律

11,21,33,45,55,61,?

分析與解答

正確答案：61

原則是：

1.求下一個(gè)數(shù)的時(shí)候，已知的最后一個(gè)數(shù)應(yīng)為10進(jìn)制的。

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2.從11開(kāi)始按5進(jìn)制、6進(jìn)制、7進(jìn)制…的順序求下一個(gè)數(shù),

也就是

11的5進(jìn)制為21,21的6進(jìn)制為33,33的7進(jìn)制為45…;55的

9進(jìn)制為61。

符號(hào)問(wèn)題

定義一種新運(yùn)算*

已知：2*4=8

3*5=11

5*3=13

9*5=25

求3*7=?

分析與解答

3*5和5*3得數(shù)差2,所以有兩條思路：

8-2=6

11-3=8

13-5=8

25-9=16

8+4=12

11+5=16

simitar@IENJOYOURZSU

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13+3=16

25+5=30

然后就從第一條思路湊出來(lái)的。a*b=2*(較大數(shù)T)+a,所以

3*7=2*(7-1)

+3=15。

第2章數(shù)學(xué)趣題解析

4.其他趣味數(shù)學(xué)

河岸的距離

兩艘輪船在同一時(shí)刻駛離河的兩岸，一艘從A駛往B,另一艘

從B開(kāi)往A,

其中一艘開(kāi)得比另一艘快些，因此它們?cè)诰嚯x較近的岸500公里

處相遇。到達(dá)預(yù)

定地點(diǎn)后，每艘船要停留15分鐘，以便讓乘客上下船，然后它

們又返航。這兩

艘渡輪在距另一岸100公里處重新相遇。試問(wèn)河有多寬？

分析與解答

當(dāng)兩艘渡輪在x點(diǎn)相遇時(shí)，它們距A岸500公里，此時(shí)它們走

過(guò)的距離總和

等于河的寬度。當(dāng)它們雙方抵達(dá)對(duì)岸時(shí)，走過(guò)的總長(zhǎng)度等于河寬

的兩倍。在返航

中，它們?cè)赯點(diǎn)相遇，這時(shí)兩船走過(guò)的距離之和等于河寬的三倍,

所以每一艘渡

輪現(xiàn)在所走的距離應(yīng)該等于它們第一次相遇時(shí)所走的距離的三

倍。在兩船第一次

相遇時(shí)，有一艘渡輪走了500公里，所以當(dāng)它到達(dá)z點(diǎn)時(shí)，已經(jīng)

走了三倍的距離，

simitar@IENJOYOURZSU

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即1500公里，這個(gè)距離比河的寬度多100公里。所以，河的寬

度為1400公里。

每艘渡輪的上、下客時(shí)間對(duì)答案毫無(wú)影響。

變量交換

不使用任何其他變量，交換a,b變量的值？

分析與解答

a=a+b

b=a-b

a=a-b

步行時(shí)間

某公司的辦公大樓在市中心，而公司總裁溫斯頓的家在郊區(qū)一個(gè)

小鎮(zhèn)的附

近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火車(chē)回小鎮(zhèn)。小鎮(zhèn)車(chē)站離

家還有一段距離，

他的私人司機(jī)總是在同一時(shí)刻從家里開(kāi)出轎車(chē)，去小鎮(zhèn)車(chē)站接總

裁回家。由于火

車(chē)與轎車(chē)都十分準(zhǔn)時(shí)，因此，火車(chē)與轎車(chē)每次都是在同一時(shí)刻到

站。

有一次，司機(jī)比以往遲了半個(gè)小時(shí)出發(fā)。溫斯頓到站后，找不到

他的車(chē)子，

又怕回去晚了遭老婆罵，便急匆匆沿著公路步行往家里走，途中

遇到他的轎車(chē)正

風(fēng)馳電掣而來(lái)，立即招手示意停車(chē)，跳上車(chē)子后也顧不上罵司機(jī),

命其馬上掉頭

往回開(kāi)?；氐郊抑?，果不出所料，他老婆大發(fā)雷霆：“又到哪兒

鬼混去啦！你比

以往足足晚回了22分鐘…飛

溫斯頓步行了多長(zhǎng)時(shí)間？

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分析與解答

假如溫斯頓一直在車(chē)站等候，那么由于司機(jī)比以往晚了半小時(shí)出

發(fā)，因此，

也將晚半小時(shí)到達(dá)車(chē)站。也就是說(shuō),溫斯頓將在車(chē)站空等半小時(shí),

等他的轎車(chē)到

達(dá)后坐車(chē)回家，從而他將比以往晚半小時(shí)到家。而現(xiàn)在溫斯頓只

比平常晚22分

鐘到家，這縮短下來(lái)的8分鐘是如果總裁在火車(chē)站死等的話，司

機(jī)本來(lái)要花在從

現(xiàn)在遇到溫斯頓總裁的地點(diǎn)到火車(chē)站再回到這個(gè)地點(diǎn)上的時(shí)間。

這意味著，如果

司機(jī)開(kāi)車(chē)從現(xiàn)在遇到總裁的地點(diǎn)趕到火車(chē)站，單程所花的時(shí)間將

為4分鐘。因此，

如果溫斯頓等在火車(chē)站，再過(guò)4分鐘，他的轎車(chē)也到了。也就是

說(shuō)，他如果等在

火車(chē)站，那么他也已經(jīng)等了30-4=26分鐘了。但是懼內(nèi)的溫斯頓

總裁畢竟沒(méi)有等，

他心急火燎地趕路，把這26分鐘全都花在步行上了。

因此，溫斯頓步行了26分鐘。

付清欠款

有四個(gè)人借錢(qián)的數(shù)目分別是這樣的：阿伊庫(kù)向貝爾借了10美

元；貝爾向查

理借了20美元；查理向迪克借了30美元；迪克又向阿伊庫(kù)借了

40美元。碰巧

四個(gè)人都在場(chǎng)，決定結(jié)個(gè)賬，請(qǐng)問(wèn)最少只需要?jiǎng)佑枚嗌倜澜鹁涂?/p>

以將所有欠款一

次付清？

分析與解答

貝爾、查理、迪克各自拿出10美元給阿伊庫(kù)就可解決問(wèn)題了。

這樣的話只

動(dòng)用了30美元。最笨的辦法就是用100美元來(lái)一一付清。

貝爾必須拿出10美元的欠額，查理和迪克也一樣；而阿伊庫(kù)則

要收回I借出

的30美元。再?gòu)?fù)雜的問(wèn)題只要有條理地分析就會(huì)很簡(jiǎn)單。養(yǎng)成

經(jīng)常性地歸納整

理、摸索實(shí)質(zhì)的好習(xí)慣。

一美元紙幣

注：美國(guó)貨幣中的硬幣有1美分、5美分、10美分、25美分、

50美分和1

美元這幾種面值。

一家小店剛開(kāi)始營(yíng)業(yè)，店堂中只有三位男顧客和?位女店主。當(dāng)

這三位男士

同時(shí)站起來(lái)付帳的時(shí)候，出現(xiàn)了以下的情況：

(1)這四個(gè)人每人都至少有一枚硬幣，但都不是面值為1美分

或1美元的

硬幣。

(2)這四人中沒(méi)有一人能夠兌開(kāi)任何一枚硬幣。

(3)一個(gè)叫盧的男士要付的賬單款額最大，一位叫莫的男士要

付的帳單款

額其次，一個(gè)叫內(nèi)德的男士要付的賬單款額最小。

(4)每個(gè)男士無(wú)論怎樣用手中所持的硬幣付賬，女店主都無(wú)法

找清零錢(qián)。

(5)如果這三位男士相互之間等值調(diào)換一下手中的硬幣，則每

個(gè)人都可以

付清自己的賬單而無(wú)需找零。

(6)當(dāng)這三位男士進(jìn)行了兩次等值調(diào)換以后，他們發(fā)現(xiàn)手中的

硬幣與各人

自己原先所持的硬幣沒(méi)有一枚面值相同。

(7)隨著事情的進(jìn)一步發(fā)展，又出現(xiàn)如下的情況：—

(8)在付清了賬單而且有兩位男士離開(kāi)以后，留下的男士又買(mǎi)

了一些糖果。

這位男士本來(lái)可以用他手中剩下的硬幣付款，可是女店主卻無(wú)法

用她現(xiàn)在所持的

硬幣找清零錢(qián)。于是，這位男士用1美元的紙幣付了糖果錢(qián)，但

是現(xiàn)在女店主不

得不把她的全部硬幣都找給了他。

現(xiàn)在，請(qǐng)你不要管那天女店主怎么會(huì)在找零上屢屢遇到麻煩，這

三位男士中

誰(shuí)用1美元的紙幣付了糖果錢(qián)？

分析與解答

對(duì)題意的以下兩點(diǎn)這樣理解：

(2)中不能換開(kāi)任何一個(gè)硬幣，指的是如果任何一個(gè)人不能有2

個(gè)5分，

否則他能換1個(gè)10分硬幣。

(6)中指如果A,B換過(guò)，并且A,C換過(guò)，這就是兩次交換。

那么，至少有一組解：是內(nèi)德用紙幣。

盧開(kāi)始有10x3+25,賬單為50

莫開(kāi)始有50,賬單為25

內(nèi)德開(kāi)始有5+25,賬單為10

店主開(kāi)始有10

此時(shí)滿(mǎn)足1,2,3,4

第一次調(diào)換：盧拿10x3換內(nèi)德的5+25

simitar@IENJOYOURZSU

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盧5+25x2內(nèi)德10x3

第二次調(diào)換：盧拿25x2換莫的50

此時(shí)：

盧有50+5賬單為50付完走人

莫有25x2賬單為25付完走人

內(nèi)德有10x3賬單為10付完剩20,要買(mǎi)5分的糖

付賬后，店主有50+25+10x2,無(wú)法找開(kāi)10,但硬幣和為95,能

找開(kāi)紙幣1

元。

生日會(huì)上的12個(gè)小孩

今天是我13歲的生日。在我的生日宴會(huì)上，包括我共有12個(gè)

小孩相聚在一

起。每四個(gè)小孩同屬一個(gè)家庭，共來(lái)自A,B和C這三個(gè)不同的

家庭，當(dāng)然也包

括我所在的家庭。有意思的是，這12個(gè)小孩的年齡都不相同，

最大的13歲，換

句話說(shuō)，在1至13這十三個(gè)數(shù)字中，除了某個(gè)數(shù)字外，其余的

數(shù)字都表示某個(gè)

孩子的年齡。我把每個(gè)家庭的孩子的年齡加起來(lái)，得到以下的結(jié)

果：

家庭A：年齡總數(shù)41,包括一個(gè)12歲的孩子。

家庭B：年齡總數(shù)m,包括一個(gè)5歲的孩子。

家庭C：年齡總數(shù)21,包括一個(gè)4歲的孩子。

只有家庭A中有兩個(gè)孩子只相差1歲的孩子。

你能回答下面兩個(gè)問(wèn)題嗎：我屬于哪個(gè)家庭——A,B,還是C?

每個(gè)家庭中

的孩子各是多大？

分析與解答

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因?yàn)橹挥屑彝中有兩個(gè)孩子只相差1歲，所以我絕對(duì)不是C

家庭的。

（21-4-13=4,4=1+3,4與3相差1,與條件矛盾）

家庭A：年齡總數(shù)41,包括一個(gè)12歲的孩子，所以平均年齡大

于10,又因

為有兩個(gè)孩子只相差1歲,所以家庭A中可能出現(xiàn)11,12或12,

13o若包括11,

12,則41—11—12=18=10+8,10,11,12皆差1歲,與條件矛盾。

若包括12,13,

則41-12-13=16=10+6或7+9,符合條件。

若A家庭為6,10,12,13。則C家庭為1,4,7,9。根據(jù)排除

法，B家庭

為2/3,5,8,Ho

若A家庭為7,9,12,13,則C家庭為1,4,6,10。根據(jù)排除

法，B家庭

為2/3,5,8,llo

最短時(shí)間過(guò)橋問(wèn)題

在漆黑的夜里，四位旅行者來(lái)到了一座狹窄而且沒(méi)有護(hù)欄的橋

邊。如果不借

助手電筒的話，大家是無(wú)論如何也不敢過(guò)橋去的。不幸的是，四

個(gè)人一共只帶了

一只手電筒，而橋窄得只夠讓兩個(gè)人同時(shí)通過(guò)。如果各自單獨(dú)過(guò)

橋的話，四人所

需要的時(shí)間分別是1,2,5,8分鐘；而如果兩人同時(shí)過(guò)橋，所

需要的時(shí)間就是

走得比較慢的那個(gè)人單獨(dú)行動(dòng)時(shí)所需的時(shí)間。問(wèn)題是，你如何設(shè)

計(jì)一個(gè)方案，讓

用的時(shí)間最少。

分析與解答

（1）1分鐘的和2分鐘的先過(guò)橋（此時(shí)耗時(shí)2分鐘）。

（2）1分鐘的回來(lái)（或是2分鐘的回來(lái)，最終效果一樣，不贅

述，此時(shí)共耗

時(shí)3分鐘）。

（3）5分鐘的和8分鐘的過(guò)橋（共耗時(shí)2+1+8=11分鐘）。

（4）2分鐘的回來(lái)（共耗時(shí)2+1+8+2=13分鐘）。

（5）1分鐘的和2分鐘的過(guò)橋（共耗時(shí)2+1+8+2+2=15分鐘）。

此時(shí)全部過(guò)橋，共耗時(shí)15分鐘。

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第2章數(shù)學(xué)趣題解析

5.趣味圖形

火柴游戲-1

陳景潤(rùn)是我國(guó)當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家。于1966年發(fā)表了“哥德巴赫猜

想”的著名

結(jié)果（1+2）摘要，著有《初等數(shù)論》、《1+1余外集》等。

據(jù)傳陳景潤(rùn)喜歡智力問(wèn)題，特別是某些游戲，比如火柴游戲，下

面是出自他

手的一個(gè)小游戲。

24根火柴可以擺成兩個(gè)正方形（如下圖），請(qǐng)問(wèn)如何操作可使:

（1）移動(dòng)其中4根后，使其變成3個(gè)正方形。

（2）移后再移動(dòng)其中8根后，使其變成9個(gè)小正方形。

（3）移后再去掉其中8根后，使其變成5個(gè)正方形。

分析與解答

移法見(jiàn)下面各圖：

火柴游戲-2

哥德弗雷?哈羅德?哈代是英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他一生將全部心血

都獻(xiàn)給了

數(shù)學(xué)研究和教育事業(yè)，還對(duì)生物群體遺傳研究有所貢獻(xiàn)。

哈代有個(gè)嗜好：玩火柴游戲。我們來(lái)看兩個(gè)用火柴擺成的算式,

他們顯然是

不成立的，你能在每個(gè)算式中只移動(dòng)一根火柴，而使之成立嗎？

分析與解答

移法見(jiàn)下面各圖：

火柴游戲-3

動(dòng)4根火柴，把小船變成三個(gè)梯形。

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分析與解答

火柴游戲-4

下圖是由15根火柴，排出的兩個(gè)等邊三角形，試一試，移動(dòng)其

中的3根火

柴，把它變成4個(gè)等邊三角形。這個(gè)題目并不難吧？

分析與解答

第2章數(shù)學(xué)趣題解析

只經(jīng)過(guò)一次

牧師和他的朋友們一起動(dòng)身去教區(qū)。他指著自己教區(qū)某部分的地

圖，那里流

過(guò)一條不大的河，再往南經(jīng)幾百里入海。

“我親愛(ài)的同伴們”牧師說(shuō)，“一個(gè)奇妙的難題，請(qǐng)認(rèn)真聽(tīng)。河的

分岔處形

成一個(gè)島，島上有我本人簡(jiǎn)陋的小屋。在圖的一邊可以看到教區(qū)

的教堂。再看全

圖，在我的教區(qū)的河上分布著八座橋梁，我想沿著往教堂的路上

訪問(wèn)一些自己的

教民，在完成這次訪問(wèn)時(shí)只經(jīng)過(guò)每座橋一次。你們當(dāng)中有人能找

到我從家里前往

教堂的這條路線而不越出教區(qū)的邊界嗎？不，不，我的朋友們，

我不坐船過(guò)河，

不游泳也不涉水而過(guò)，我不像田鼠在地下挖隧道，也不能像鳥(niǎo)飛

過(guò)河。”

存在某種辦法，使得牧師可以完成自己奇妙的巡游，讀者能夠找

出來(lái)嗎？驟

然看來(lái)這是不可能的，但是在題目的條件下留有一個(gè)破綻，從那

里可以找到解法

的關(guān)鍵。

分析與解答

simitar@IENJOYOURZSU

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這八座橋只是本教區(qū)的部分區(qū)域，并沒(méi)有說(shuō)河源就不在本教區(qū)

內(nèi)。因而，我

們只能接受這樣惟一的說(shuō)法——河是從本教區(qū)發(fā)源的。解法如下

圖所示。

值得指出，確切的條件不許我們繞過(guò)河口，因此應(yīng)該說(shuō)河流還要

向南奔流數(shù)

百里才入海，而世界上任何一個(gè)教區(qū)不會(huì)綿延數(shù)百里！

拼出正方形

將下圖割成四塊，然后拼出一個(gè)正方形來(lái)。

分析與解答

2

3

1

4

3

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4

1

2

拿罐頭贏獎(jiǎng)金

超市里舉行有獎(jiǎng)銷(xiāo)售活動(dòng)，現(xiàn)將貨柜上擺著的9個(gè)鐵罐每個(gè)上面

都標(biāo)一個(gè)數(shù)

字。三個(gè)、三個(gè)地壘在一起，如下圖所示。

活動(dòng)規(guī)定：每位顧客只能買(mǎi)3個(gè)罐頭。顧客一次只能從貨柜上拿

走一個(gè)罐頭，

分3次拿走3個(gè)罐頭，如果某次拿走了兩個(gè)或兩個(gè)以上的罐頭，

活動(dòng)即告失敗。

活動(dòng)中顧客第一次拿走一個(gè)罐頭后，這個(gè)被拿走的罐頭上的數(shù)字

就是他所得的分

數(shù)；拿走第二個(gè)罐頭后，他得到的分?jǐn)?shù)是被拿走的第二只罐頭上

的數(shù)字的2倍；

拿走第3個(gè)罐頭后，他所得分?jǐn)?shù)是這個(gè)罐上的數(shù)字的3倍。這樣,

在顧客先后拿

走3個(gè)罐頭后，如若他所得的分值恰好是50分，那么他將獲得

1000元獎(jiǎng)金。

請(qǐng)問(wèn)顧客應(yīng)該怎樣拿走3個(gè)罐頭才能獲得那份獎(jiǎng)金？

7

9

9

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7

8

10

7

10

8

分析與解答

顧客若想獲得獎(jiǎng)金，惟一的辦法是先拿走右邊一摞的7號(hào)罐頭，

然后拿走左

邊一摞的8號(hào)罐頭，最后拿走右邊一摞己經(jīng)露在上面的9號(hào)罐

頭。

這樣，顧客第一次得7分；第二次得8x2=16分；第三次得9x3=27

分?？偣?/p>

得分正好50分，贏得獎(jiǎng)金。

取出黑球

simitar@IENJOYOURZSU

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一段透明的兩端開(kāi)口的軟塑料管內(nèi)有11只大小相同的圓球，其

中有6只是

白色的，有5只是黑色的（如下圖所示）。整段塑料管的內(nèi)徑是

均勻的，只能讓

一個(gè)球勉強(qiáng)通過(guò)。如果不先取出白球，又不切斷塑料管，那么，

你用什么辦法才

能把黑球取出來(lái)？在不借助任何工具的前提下。

分析與解答

大家可能都忽略了一個(gè)事實(shí)：那就是塑料軟管是可以彎曲的?；?/p>

于這個(gè)特點(diǎn)，

我們就可以輕松地取出黑球。如下圖所示，把塑料管彎過(guò)來(lái)，使

兩端的管口互相

對(duì)接起來(lái)，讓四個(gè)白球滾過(guò)對(duì)接處，滾進(jìn)另一端的管口，然后使

塑料管兩頭分離，

恢復(fù)原形，就可以把黑球取出來(lái)。

第3章邏輯推理

1.什么是邏輯推理過(guò)程

simitar@IENJOYOURZSU

第142/175頁(yè)

邏輯推理過(guò)程，就是一個(gè)由A至l」B的過(guò)程，即由已知（A）推出

未知（B）的

過(guò)程。

A與B有哪些關(guān)系？也就是說(shuō)，在什么情況下，我們準(zhǔn)確地知

道A能不能推

出B。首先，我們要明確幾個(gè)關(guān)系：充分條件：就是A肯定得到

B,記做A—B；

必要條件：為了得到B,必須滿(mǎn)足A這個(gè)條件，記作B-A；充

分必要條件：A肯

定得到B,而且為了得到B,必須滿(mǎn)足A這個(gè)條件，記做Av—>B。

這幾個(gè)關(guān)系，是所有邏輯推理的基礎(chǔ)。推理的第一步就是要讀清

楚題目的論

證結(jié)構(gòu)，區(qū)分出論點(diǎn)和論據(jù)。

第3章邏輯推理

2.接觸一個(gè)邏輯推理問(wèn)題

邏輯推理俱樂(lè)部大廳門(mén)口貼著一張布告：“歡迎你參加推理俱樂(lè)

部！只要你

愿意，并且通過(guò)推理取得一張申請(qǐng)表，就可以獲得會(huì)員資格了！”

走進(jìn)大廳，看見(jiàn)桌子上擺著兩個(gè)匣子：一個(gè)圓匣子，一個(gè)方匣子。

圓匣子上

寫(xiě)著一句話：“申請(qǐng)表不在此匣中”，方匣子上寫(xiě)著一句話：“這

兩句話中只有

一句是真話”。

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如果你想獲得會(huì)員的資格，那么你是從圓匣子中，還是從方匣子

中去取申請(qǐng)表呢？

答案是從圓匣子中取申請(qǐng)表。這道題似乎簡(jiǎn)單，其實(shí)推理過(guò)程卻

要經(jīng)歷下列

五個(gè)步驟：

第一步：設(shè)方匣子上寫(xiě)的話（“這兩句話中只有一句是真話”）是

真的，推出圓匣子上

的話（“申請(qǐng)表不在此匣中”）是假的。

第二步：從“申請(qǐng)表不在此匣中”是假的，推出申請(qǐng)表就在圓匣子

中。

第三步：設(shè)方匣子上的話（“這兩句話中只有一句是真話”）是假

的，推出

圓匣子上的話也是假的。

第四步：同第二步。

第五步：如果方匣子上的話是真的，那么申請(qǐng)表在圓匣子中；如

果方匣子上

的話是假的，那么申請(qǐng)表也在圓匣子中?；蛘叻较蛔由系脑捠钦?/p>

的，或者方匣子

上的話是假的?？傊?，申請(qǐng)表在圓匣子中。

或許有些讀者粗略一思考就能得出正確答案，然而，上述的五個(gè)

步驟是缺一

不可的。這五個(gè)步驟涉及到邏輯科學(xué)中的假言推理、選言推理、

二難推理等諸多

推理形式。而這些推理都具有各自的特殊的推理規(guī)則。

舉這個(gè)例子主要是為了說(shuō)明邏輯推理具有程序性與嚴(yán)密性O(shè)它通

常是一步一

步往下推的，少了一步，思維的鏈條就銜接不起來(lái)；它所走的每

一步都必須符合

邏輯規(guī)律。

心理學(xué)家認(rèn)為，人的邏輯推理能力是自發(fā)產(chǎn)生的。隨著年歲的增

長(zhǎng)，知識(shí)面

的拓寬，邏輯推理能力也得到同步的發(fā)展。心理學(xué)家的意思是：

即使你沒(méi)有學(xué)過(guò)

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專(zhuān)門(mén)的邏輯科學(xué)，你照樣能推理，照樣可以從給定的前提出發(fā)得

到正確的結(jié)論。

這就如同你沒(méi)有學(xué)過(guò)生理學(xué)，你吃魚(yú)吃肉也可以消化一樣。

智力的核心是思維能力，思維分為聚斂性思維和發(fā)散性思維，推

理屬于聚斂

性思維。開(kāi)發(fā)智力最好是以聚斂性思維作為立足點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)。要

使自己具備高水

平的推理能力，就要通過(guò)不懈的努力，進(jìn)行嚴(yán)格的推理訓(xùn)練。

在本章中，我們將帶給讀者一些經(jīng)典的推理題目，這些題目取材

生動(dòng)，條件

隱蔽，設(shè)計(jì)精巧，程序嚴(yán)密，極富啟迪性。

第3章邏輯推理

3.經(jīng)典推理題目（1）

海盜分金問(wèn)題

有10個(gè)強(qiáng)盜A~J,得到100個(gè)金幣，決定分掉，分法怪異：首

先A提出分法，

B?J表決，如果不過(guò)半數(shù)同意，就砍掉A的頭。然后由B來(lái)分,

C?J表決，如果

不過(guò)半數(shù)同意，就砍掉B的頭。依次類(lèi)推，如果假設(shè)強(qiáng)盜都足夠

聰明，在不被砍

掉頭的同時(shí)獲得最多的金幣。問(wèn)：最后結(jié)果如何（精確結(jié)果）。

分析與解答

所有的海盜都樂(lè)于看到他們的一位同伙被扔進(jìn)海里，不過(guò)，如果

讓他們選擇

的話，他們還是寧可得到一筆現(xiàn)金。他們當(dāng)然也不愿意自己被扔

到海里。所有的

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海盜都是有理性的，而且知道其他的海盜也是有理性的。此外，

沒(méi)有兩名海盜是

同等厲害的——這些海盜按照完全由上到下的等級(jí)排好了座次，

并且每個(gè)人都清

楚自己和其他所有人的等級(jí)。這些金塊不能再分，也不允許幾名

海盜共有金塊，

因?yàn)槿魏魏１I都不相信他的同伙會(huì)遵守關(guān)于共享金塊的安排。這

是一伙每個(gè)人都

只為自己打算的海盜。最兇的一名海盜應(yīng)當(dāng)提出什么樣的分配方

案才能使他獲得

最多的金子呢？

為方便起見(jiàn)，我們按照這些海盜的怯懦程度來(lái)給他們編號(hào)。最怯

懦的海盜為

1號(hào)海盜，次怯懦的海盜為2號(hào)海盜，依次類(lèi)推。這樣最厲害的

海盜就應(yīng)當(dāng)?shù)玫?/p>

最大的編號(hào)，而方案的提出就將倒過(guò)來(lái)從上至下地進(jìn)行。

分析所有這類(lèi)策略游戲的奧妙就在于應(yīng)當(dāng)從結(jié)尾出發(fā)倒推回去。

游戲結(jié)束

口寸，你容易知道何種決策有利而何種決策不利。確定了這一點(diǎn)后,

你就可以把它

用到倒數(shù)第2次決策上，依次類(lèi)推。如果從游戲的開(kāi)頭出發(fā)進(jìn)行

分析，那是走不

了多遠(yuǎn)的。其原因在于，所有的戰(zhàn)略決策都是要確定：“如果我

這樣做，那么下

一個(gè)人會(huì)怎樣做？”

因此，在你以下海盜所做的決定對(duì)你來(lái)說(shuō)是重要的，而在你之前

的海盜所做

的決定并不重要，因?yàn)槟惴凑龑?duì)這些決定也無(wú)能為力了。

記住了這一點(diǎn)，就可以知道我們的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是游戲進(jìn)行到只剩

兩名海盜，

即1號(hào)和2號(hào)的時(shí)候。這時(shí)最厲害的海盜是2號(hào)，而他的最佳分

配方案是一目了

然的：100塊金子全歸他一人所有，1號(hào)海盜什么也得不到。由

于他自己肯定為

這個(gè)方案投贊成票，這樣就占了總數(shù)的50%,因此方案獲得通過(guò)。

現(xiàn)在加上3號(hào)海盜。1號(hào)海盜知道，如果3號(hào)的方案被否決，那

么最后將只

剩2個(gè)海盜，而1號(hào)將肯定一無(wú)所獲。此外，3號(hào)也明白1號(hào)了

解這一形勢(shì)。因

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此，只要3號(hào)的分配方案給1號(hào)一點(diǎn)甜頭使他不至于空手而歸，

那么不論3號(hào)提

出什么樣的分配方案，1號(hào)都將投贊成票。因此，3號(hào)需要分出

盡可能少的一點(diǎn)

金子來(lái)賄賂1號(hào)海盜，這樣就有了下面的分配方案：3號(hào)海盜分

得99塊金子，2

號(hào)海盜一無(wú)所獲，1號(hào)海盜得1塊金子。

4號(hào)海盜的策略也差不多。他需要有50%的支持票，因此同3號(hào)

一樣也需再

找一人做同黨。他可以給同黨的最低賄賂是1塊金子，而他可以

用這塊金子來(lái)收

買(mǎi)2號(hào)海盜。因?yàn)槿绻?號(hào)被否決而3號(hào)得以通過(guò)，則2號(hào)將一

塊也得不到。因

此，4號(hào)的分配方案應(yīng)是：99塊金子歸自己，3號(hào)一塊也得不

到，2號(hào)得1塊金子，

1號(hào)也是一塊也得不到。

5號(hào)海盜的策略稍有不同。他需要收買(mǎi)另兩名海盜，因此至少得

用2塊金子

來(lái)賄賂，才能使自己的方案得到采納。他的分配方案應(yīng)該是：98

塊金子歸自己，

1塊金子給3號(hào)，1塊金子給1號(hào)。

這一分析過(guò)程可以照著上述思路繼續(xù)進(jìn)行下去。每個(gè)分配方案都

是惟一確定

的，它可以使提出該方案的海盜獲得盡可能多的金子，同時(shí)又保

證該方案肯定能

通過(guò)。照這一模式進(jìn)行下去，10號(hào)海盜提出的方案將是96塊金

子歸他所有，其

他編號(hào)為偶數(shù)的海盜各得1塊金子，而編號(hào)為奇數(shù)的海盜則什么

也得不到。這就

解決了10名海盜的分配難題。

試想一下500名海盜分金會(huì)是怎樣的結(jié)果呢？

第3章邏輯推理

3.經(jīng)典推理題目(2)

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會(huì)搞清楚的

卡洛泰島上的習(xí)俗非常奇特。那兒的男人總是講實(shí)話，而女人從

不能連續(xù)講

兩句實(shí)話或謊話。假如她第一句是真話，那她下一句準(zhǔn)是在說(shuō)謊,

反之亦然。男

孩、女孩也與大人相同。我遇見(jiàn)卡洛泰島上的一對(duì)夫婦和他們的

一個(gè)孩子。我問(wèn)

孩子：“你是男孩嗎？”孩子用卡洛泰語(yǔ)回答我。我不懂當(dāng)?shù)赝琳Z(yǔ),

幸好孩子的

父母都會(huì)講英語(yǔ)。父母中的一個(gè)說(shuō)：“凱比說(shuō)，我是男孩?！绷硪?/p>

個(gè)說(shuō)：“凱比

是一個(gè)女孩，凱比說(shuō)了謊?！?/p>

如何判定凱比是男孩還是女孩？

分析與解答

假如凱比是一個(gè)男孩。在這種情況下，第二個(gè)講話的人一定不是

父親就是母

親。即她的第一句話必然是謊話，第二句話才是真話。這就證明

凱比不是男孩。

假如凱比是個(gè)女孩，且第一個(gè)講話的人是父親，那第二個(gè)講話的

人就是母親。

她第一句話是真話，第二句話是在說(shuō)謊。在這種情況下，凱比講

的是實(shí)話，她會(huì)

說(shuō)：“我是一個(gè)女孩?！钡@暗示說(shuō)，第一個(gè)講話者，即父親說(shuō)了

謊，然而這是

不可能的。因此，第一個(gè)講話的是母親，第二個(gè)講話的是父親。

凱比說(shuō)了謊話，

必定說(shuō)：“我是男孩”。第一個(gè)講話者母親說(shuō)了一句真話，即重復(fù)

了凱比的謊話。

因此，凱比是一個(gè)女孩，第一個(gè)講話者是母親，第二個(gè)講話者是

父親。

岔路問(wèn)路

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一位旅游者徒步去紐約旅行，走到一個(gè)岔路口，發(fā)現(xiàn)通往紐約的

路標(biāo)倒了，

這時(shí)走來(lái)兩個(gè)人，旅游者見(jiàn)兩人與眾不同的衣著打扮，就知道他

們是當(dāng)?shù)厝?。這

兒的居民，一部分總是講實(shí)話，另一部分人總是講謊話，一部分

人總是穿白色衣

服，而另一部分人總是穿黑色衣服。旅游者對(duì)上述情況早有耳聞,

但并不知道穿

什么顏色衣服的人講實(shí)話。既然兩個(gè)人所穿衣服的顏色不同，旅

游者當(dāng)然知道，

即使問(wèn)其中某一個(gè)人哪一條路是通往紐約的，也無(wú)法知道回答的

是實(shí)話還是謊

話。經(jīng)過(guò)一翻思考，旅游者向其中一個(gè)人提了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的問(wèn)

題。當(dāng)這個(gè)人回

答出所提問(wèn)題之后，旅游者立刻就知道，哪一條是通往紐約的路

了。

分析與解答

為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，把兩個(gè)人簡(jiǎn)稱(chēng)為甲、乙。旅游者向甲提出如下的

問(wèn)題：“假

如我問(wèn)乙，左邊的路是不是去紐約的路回答是肯定的嗎？”

如果左邊的路確實(shí)是通往紐約的話，而甲是個(gè)說(shuō)謊者，旅游者得

到的回答是

“否定”的。但是，如果甲是講實(shí)話的人，該問(wèn)題的答案也將會(huì)是

“否定”的。

因?yàn)橐沂莻€(gè)說(shuō)謊者，乙肯定會(huì)說(shuō)“不是”。所以，“否定”回答將表

明旅游者所

指的路就是通往紐約的路。

若在問(wèn)甲時(shí)，旅游者所指左邊的路不是通往紐約的路，那么，答

案將是“肯定”的。如

果甲是一個(gè)講實(shí)話的人，甲一定會(huì)說(shuō)，乙的答案是“肯定”的，因

為乙是個(gè)說(shuō)謊者。如果旅

游者得到的答案是“肯定”的，那就說(shuō)明旅游者說(shuō)的不是通往紐約

的路，那么，另一條路就

是通往紐約的路。

第3章邏輯推理

3.經(jīng)典推理題目(3)

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她們?cè)谧鍪裁?/p>

住在某個(gè)旅館的同一房間的四個(gè)人A,B,C,D正在聽(tīng)流行音

樂(lè)，她們當(dāng)中

有一個(gè)人在修指甲，一個(gè)人在寫(xiě)信，一個(gè)人躺在床上，另一個(gè)人

在看書(shū)。

1.A不在修指甲，也不在看書(shū)。

2.B不躺在床上，也不在修指甲。

3.如果A不躺在床上，那么D不在修指甲。

4.C既不在看書(shū)，也不在修指甲。

5.D不在看書(shū)，也不躺在床上。

她們各自在做什么呢？

分析與解答

解法一：可用排除法求解

由1,2,4,5知，既不是A,B在修指甲，也不是C在修指甲,

因此修指甲

的應(yīng)該是D；醺與3的結(jié)論相矛盾，所以3的前提肯定不成立,

即A應(yīng)該是躺

在床上；在4中C既不看書(shū)又不修指甲，由前面分析，C又不

可能躺在床上，所

以C是在寫(xiě)信；而B(niǎo)則是在看書(shū)。

解法二：我們可以畫(huà)出4x4的矩陣，然后消元

ABCD

修指甲——+

寫(xiě)信--+-

躺在床上+----

看書(shū)—+—

注意：每行每列只能取一個(gè)，一旦取定，同樣同列要涂掉。我們

用”表

示某人對(duì)應(yīng)的此項(xiàng)被涂掉，“+”表示某人在做這件事。

①根據(jù)題目中的1,2,4,5我們可以在上述矩陣中涂掉相應(yīng)項(xiàng),

用，，一，，

表示。（可知D在修指甲，B是在看書(shū)）

②題目中的解為A才躺在床上”則D嚴(yán)修指甲”；那么其逆否命題

為：若

D二"修指甲”，則A=“躺在床上”。（由①可知，A應(yīng)該是“躺在床

上”，所以

在“躺在床上”的對(duì)應(yīng)項(xiàng)處劃上“+”）

③現(xiàn)在觀察①②所得矩陣情況，考察A、B、C、D各列的縱向

情況，可是在

“寫(xiě)信”一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的行中，只能在相應(yīng)的C處劃“+”，即C在寫(xiě)

信。

至此，此矩陣完成。我們可由此表得出判斷。

第3章邏輯推理

3.經(jīng)典推理題目（4）

不同部落間的通婚

一個(gè)普卡部落人（總講真話的）同一個(gè)沃汰沃巴部落人（從不講

真話的）結(jié)

婚。婚后，他們生了一個(gè)兒子。這個(gè)孩子長(zhǎng)大后當(dāng)然具有西利撤

拉部落的性格（真

話、假話或假話、真話交替著講）。

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這個(gè)婚姻是那么美滿(mǎn)，以致夫妻雙方在許多年中都受到了對(duì)方性

格的影響。

講這個(gè)故事的時(shí)候，普卡部落的人已習(xí)慣于每講三句真話就講一

句假話，而沃汰

沃巴部落的人，則已習(xí)慣于每講三句假話就要講一句真話。

這一對(duì)家長(zhǎng)同他們的兒子每人都有個(gè)部落號(hào)，號(hào)碼各不相同。他

們的名字分

別叫塞西爾、伊夫琳、西德尼（這些名字在這個(gè)島上男女通用）。

三個(gè)人各說(shuō)了四句話，但這是不記名的談話，還有待我們來(lái)推斷

各組話是由

誰(shuí)講的（我們想，前普卡當(dāng)然是講一句假話、三句真話，而前沃

汰沃巴則是講一

句真話、三句假話）。

他們講的話如下：

A（1）塞西爾的號(hào)碼是三人中最大的。（2）我過(guò)去是個(gè)普卡。

（3）B是我

的妻子。（4）我的號(hào)碼比B的大22。

B（1）A是我的兒子。（2）我的名字是塞西爾。（3）C的號(hào)

碼是54或78

或81。（4）C過(guò)去是個(gè)沃汰沃巴。

C（l）伊夫琳的號(hào)碼比西德尼的大10。（2）A是我的父親。（3）

A的號(hào)碼

是66或68或103。（4）B過(guò)去是個(gè)普卡。

找出A,B,C三個(gè)人中誰(shuí)是父親、誰(shuí)是母親、誰(shuí)是兒子，他們

各自的名字以

及他們的部落號(hào)。

分析與解答

A：妻子，普卡部落人，塞西爾，號(hào)碼66

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B：丈夫，沃沃汰沃巴部落人，西德尼，號(hào)碼44

C：兒子，伊夫琳，號(hào)碼54

推理過(guò)程：

從第一句話入手，組合方案有夫普、夫沃、妻普、妻沃或子。

如為夫普，C的2,4話不合條件

如為夫沃，B的1,3話不合條件

如為妻沃，B的1,3話不合條件

如為子,A的2,3話不合條件

只有妻普有可能，從而得出結(jié)論。

第3章邏輯推理

3.經(jīng)典推理題目(5)

錯(cuò)誤的假設(shè)

六位朋友猜謎語(yǔ)自?shī)?。看你能猜出多少個(gè)？

紅衣男士先問(wèn)：上周我關(guān)了臥房的燈，可是我能在臥房黑暗之前

就上到床上。

如果床離電燈的開(kāi)關(guān)有10尺之遠(yuǎn)，我是怎么辦到的？

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藍(lán)衣男士說(shuō)：每次我阿姨來(lái)我的公寓看我時(shí)，她總是提早下了五

層樓，然后

一路走上來(lái)，你能告訴我為什么嗎？

綠衣男士說(shuō)：有什么字以“IS”起頭，“ND”結(jié)尾，有“LA”在中間？

紅衣女士說(shuō)：有天晚上我叔叔正在讀一本有趣的書(shū)，突然他太太

把燈關(guān)掉了。

雖然房間全黑了，他還是繼續(xù)在讀書(shū)。他是如何做到的？

綠衣女士說(shuō)：今天早上我一只耳環(huán)掉到我的咖啡杯里頭，雖然杯

子都裝滿(mǎn)了

咖啡，但是耳環(huán)卻沒(méi)濕，為什么？

藍(lán)衣女士問(wèn)最后一個(gè)問(wèn)題：昨天，我父親碰到下雨，他沒(méi)帶傘也

沒(méi)帶帽子，

他的頭上沒(méi)有用任何東西遮雨，他的衣服全濕了，但是他頭上沒(méi)

有一根頭發(fā)是濕

的，為什么？

分析與解答

1.在解這個(gè)問(wèn)題時(shí)，大部分的人都會(huì)有個(gè)不必要的假設(shè)：認(rèn)為

關(guān)燈的時(shí)間

是在晚上，但是在題目中并沒(méi)有這么說(shuō)。關(guān)燈后房間并沒(méi)有黑掉,

因?yàn)槭前滋臁?/p>

2.錯(cuò)誤的假設(shè)是：阿姨的身高和常人一樣。事實(shí)上，她是侏儒,

夠不到電

梯上她侄子那層樓的按鈕。

3.錯(cuò)誤的假設(shè)是：在三對(duì)字母之間還有其他字母。那個(gè)字就是

“ISLAND”。

4.錯(cuò)誤的假設(shè)是：認(rèn)為人只能用眼睛才能看書(shū)。那位男士是盲

人，他以點(diǎn)

字來(lái)讀書(shū)。

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5.錯(cuò)誤的假設(shè)是：認(rèn)為“咖啡”一定指的是液體的咖啡。耳環(huán)掉

入干的咖

啡罐中，自然不會(huì)弄濕。

6.錯(cuò)誤的假設(shè)是：父親頭上有頭發(fā)。父親是禿頭，因此沒(méi)有頭

發(fā)可被淋濕。

第3章邏輯推理

3.經(jīng)典推理題目(6)

讀書(shū)次序

甲、乙、丙、丁、戊5人各借了一本小說(shuō)，約定讀完后相互交換。

這5本書(shū)

的厚度和他們的閱讀速度都差不多，因此5人總是同時(shí)換書(shū)。經(jīng)

數(shù)次交換后，5

人每人都讀完了這5本書(shū)?，F(xiàn)已知：

(1)甲最后讀的書(shū)是乙讀的第二本書(shū)。

(2)丙最后讀的書(shū)是乙讀的第四本書(shū)。

(3)丙讀的第二本書(shū)甲在一開(kāi)始就讀了。

(4)丁最后讀的書(shū)是丙讀的第三本書(shū)。

(5)乙讀的第四本書(shū)是戊讀的第三本書(shū)。

(6)丁第三次讀的書(shū)是丙一開(kāi)始讀的那一本。

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根據(jù)以上情況，你能說(shuō)出丁第二次讀的書(shū)是誰(shuí)最先讀的嗎？

分析與解答

由于題目條件關(guān)于乙最多，設(shè)乙讀的書(shū)依次為1,2,3,4,50

分析推理得：丁讀的第二本是5,戊最先讀。

其余次序如表所示：

甲乙丙丁戊

31245

42351

53124

14532

25413

第3章邏輯推理

3.經(jīng)典推理題目(7)

猜珠子

紅、藍(lán)、黃、白、紫五種顏色的珠子各一顆，都用紙包著擺在桌

上。有甲、

乙、丙、丁、戊五個(gè)人，猜紙包里的珠子的顏色，每人限猜兩包。

甲猜：第二包是紫的，第三包是黃的。

乙猜：第二包是藍(lán)的，第四包是紅的。—

丙猜：第一包是紅的，第五包是白的。

丁猜：第三包是盤(pán)的，第四包是白的。

戊猜：第二包是黃的，第五包是紫的。

猜完后打開(kāi)紙包一看，每人都猜對(duì)了一種，并且每包都有一個(gè)人

猜對(duì)。請(qǐng)你

也猜一猜，他們各猜中哪一種顏色的珠子？

分析與解答

第一包只有內(nèi)一人猜是紅的，所以肯定是對(duì)的。

丙猜第一包是紅的對(duì)了，那