第七章第三節(jié)二次型_第1頁
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文檔簡介

第二節(jié)正定二次型

慣性定理

正(負(fù))定二次型的概念

正(負(fù))定二次型的判別前面配方法的過程告訴我們,二次型可以通過坐標(biāo)變換化成標(biāo)準(zhǔn)形。上式稱作二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,D是對(duì)角矩陣,主對(duì)角線上各元為d1,d2,…,dn,二次型的秩等于D的主對(duì)角線上非零元的個(gè)數(shù),是唯一的。

若一個(gè)二次型秩為r,它的標(biāo)準(zhǔn)形為:該式稱為二次型的規(guī)范形。r是矩陣A的秩,即二次型的秩。注意:規(guī)范型中“+”號(hào)的個(gè)數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)型中di>0的個(gè)數(shù)相同。同樣,規(guī)范型中“-”號(hào)的個(gè)數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)型中di<0的個(gè)數(shù)相同。定義:二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為二次型的正慣性系數(shù),負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為二次型的負(fù)慣性系數(shù),二者之差叫做二次型的符號(hào)差。一、慣性定理進(jìn)一步進(jìn)行合同變換,可以將二次型化成如下形式:證明:因?yàn)閞就是二次型矩陣A的秩,所以r是確定的?,F(xiàn)在我們來證明正慣性系數(shù)p也是唯一的。假設(shè)二次型可以化成兩個(gè)規(guī)范形(1)(2)由(1)(2)我們有:如果我們證明p=q,那么二次型的正慣性系數(shù)是唯一的。(4)反證法,假設(shè)q不等于p,不妨假設(shè)p>q如果找到不全為零的y1,y2,…,yn,使(4)式不成立,那么假設(shè)不成立問題:y1,y2,…,yn取怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),(4)式左端大于0,同時(shí)相應(yīng)的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于等于0?(4)方程組的未知量個(gè)數(shù)為n,方程的個(gè)數(shù)為n-p+q<n個(gè)。因此有非零解。即存在不全為零的y1,y2,…,yn使(4)式矛盾,矛盾是由于p>q造成的。同樣,p<q亦會(huì)產(chǎn)生類似的矛盾。由此得到p=q.慣性定理成立。一個(gè)實(shí)二次型,既可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形,也可以通過初等變換法化為標(biāo)準(zhǔn)形。顯然,其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的,但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的,項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩.進(jìn)而將標(biāo)準(zhǔn)形化為規(guī)范形,其規(guī)范形是唯一的。

項(xiàng)數(shù)為二次型的秩;其中系數(shù)為+1的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為正慣性系數(shù);其中系數(shù)為-1的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為負(fù)慣性系數(shù)。為三元二次型,則它為正定二次型為二元二次型,則它為負(fù)定二次型二、正(負(fù))定二次型的概念例如證明充分性故三、正(負(fù))定二次型的判別必要性(反證法)故推論1.實(shí)二次型正定的充要條件是其正慣性系數(shù)為n推論2.實(shí)二次型正定的充要條件是其矩陣與n階單位矩陣合同推論4.正定矩陣的行列式大于零證明:設(shè)A為正定矩陣,則CTAC=E,兩端求行列式得:推論3.對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是:A的特征值

全為正這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理.定理2對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是:的各階順序主子式為正,即對(duì)稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是:奇數(shù)階順序主子式為負(fù),而偶數(shù)階順序主子式為正,即正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.例2

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣,例3

判別二次型的正定性.解二次型正定性的判斷方法一般的二次型的判斷都可以利用它的標(biāo)準(zhǔn)型或者規(guī)范形完成。設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為:如果di>(<)0(i=1,2,…,n),那么二次型是正定(負(fù)定)的。如果di≥(≤)0(i=1,2,…,n),那么二次型是半正定(半負(fù)定)的。如果di中既有正數(shù),又有負(fù)數(shù),那么二次型是不定的。容易理解:1.能夠判定半正定二次型;2.半負(fù)定二次型只要給二次型乘以“-1”,就是半正定二次型。當(dāng)yi(i=1,2,…,r)不全為0時(shí),二次型f≥0,所以上述二次型半正定。特別地,當(dāng)二次型的秩小于n2.

正定二次型(正定矩陣)的判別方法:(1)定義法;(2)順次主子式判別法;(3)特征

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