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文檔簡介

2022-2023學年江蘇省南通市海安中學高三復習質(zhì)量檢測試題數(shù)學試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若的展開式中二項式系數(shù)和為256,則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為()A.85 B.84 C.57 D.562.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或3.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.4.已知集合,則()A. B. C. D.5.已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點,點為拋物線的焦點,點在拋物線上且滿足,若取得最大值時,點恰好在以為焦點的橢圓上,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)的導函數(shù)為,記,,…,N.若,則()A. B. C. D.7.已知復數(shù)和復數(shù),則為A. B. C. D.8.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個元素,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.9.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.10.已知集合,,,則()A. B. C. D.11.在中,,則()A. B. C. D.12.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復數(shù)的共軛復數(shù)是C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知變量x,y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,則14.二項式的展開式的各項系數(shù)之和為_____,含項的系數(shù)為_____.15.已知,,,,則______.16.平面向量,,(R),且與的夾角等于與的夾角,則.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為,直線交曲線于兩點,為中點.(1)求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程;(2)若,求的值.18.(12分)設(shè)等差數(shù)列的首項為0,公差為a,;等差數(shù)列的首項為0,公差為b,.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表;記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為,其中,(i,j=1,2,3,…).記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為,其中(,,).如:,.(1)設(shè),,請計算,,;(2)設(shè),,試求,的表達式(用i,j表示),并證明:對于整數(shù)t,若t不屬于數(shù)表M,則t屬于數(shù)表;(3)設(shè),,對于整數(shù)t,t不屬于數(shù)表M,求t的最大值.19.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求曲線在點的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.20.(12分)在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是的中點.(1)證明:平面;(2)設(shè)是直線上的動點,當點到平面距離最大時,求面與面所成二面角的正弦值.21.(12分)如圖,四棱錐中,平面,,,.(I)證明:;(Ⅱ)若是中點,與平面所成的角的正弦值為,求的長.22.(10分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設(shè)為的中點,且,的平分線交于點,求線段的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先求,再確定展開式中的有理項,最后求系數(shù)之和.【詳解】解:的展開式中二項式系數(shù)和為256故,要求展開式中的有理項,則則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為:故選:A【點睛】考查二項式的二項式系數(shù)及展開式中有理項系數(shù)的確定,基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.3、D【解析】

集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.4、A【解析】

考慮既屬于又屬于的集合,即得.【詳解】.故選:【點睛】本題考查集合的交運算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

設(shè),利用兩點間的距離公式求出的表達式,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標,結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè),因為是拋物線的對稱軸與準線的交點,點為拋物線的焦點,所以,則,當時,,當時,,當且僅當時取等號,此時,,點在以為焦點的橢圓上,,由橢圓的定義得,所以橢圓的離心率,故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率,屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點,一般求離心率有以下幾種情況:①直接求出,從而求出;②構(gòu)造的齊次式,求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解.6、D【解析】

通過計算,可得,最后計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知:所以所以猜想可知:由所以所以故選:D【點睛】本題考查導數(shù)的計算以及不完全歸納法的應用,選擇題、填空題可以使用取特殊值,歸納猜想等方法的使用,屬中檔題.7、C【解析】

利用復數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點睛】熟練掌握復數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵,復數(shù)問題高考必考,常見考點有:點坐標和復數(shù)的對應關(guān)系,點的象限和復數(shù)的對應關(guān)系,復數(shù)的加減乘除運算,復數(shù)的模長的計算.8、B【解析】

由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

依次將選項中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當時,在上不單調(diào),故A不正確;當時,在上單調(diào)遞減,故B不正確;當時,在上不單調(diào),故C不正確;當時,在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導公式的應用,是一道容易題.10、A【解析】

求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補集、交集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計算的值.【詳解】因為所以為的重心,所以,所以,所以,因為,所以,故選A.【點睛】對于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點,且滿足,那么為的重心.12、D【解析】

首先求得,然后根據(jù)復數(shù)乘法運算、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)除法運算對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】由題意知復數(shù),則,所以A選項不正確;復數(shù)的共軛復數(shù)是,所以B選項不正確;,所以C選項不正確;,所以D選項正確.故選:D【點睛】本小題考查復數(shù)的幾何意義,共軛復數(shù),復數(shù)的模,復數(shù)的乘法和除法運算等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-5【解析】

畫出x,y滿足的可行域,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A時,z最小,求解即可?!驹斀狻慨嫵鰔,y滿足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A【點睛】本題考查的是線性規(guī)劃問題,解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是:一,準確無誤地作出可行域;二,畫目標函數(shù)所對應的直線時,要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯;三,一般情況下,目標函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。14、【解析】

將代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和,寫出二項展開式通項,令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項即可得出項的系數(shù).【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數(shù)和為.二項式的展開式通項為,令,解得,因此,展開式中含項的系數(shù)為.故答案為:;.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得,的值,由兩角差的正弦公式即可計算得的值.【詳解】,,,,,,,,.故答案為:【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】試題分析:,與的夾角等于與的夾角,所以考點:向量的坐標運算與向量夾角三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)或【解析】

(1)根據(jù)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù),可得曲線的直角坐標方程,再由,,可得點的軌跡的極坐標方程;(2)將曲線極坐標方程求,與直線極坐標方程聯(lián)立,消去,得到關(guān)于的二次方程,由的幾何意義可求出,而(1)可知,然后列方程可求出的值.【詳解】(1)曲線的直角坐標方程為,圓的圓心為,設(shè),所以,則由,即為點軌跡的極坐標方程.(2)曲線的極坐標方程為,將與曲線的極坐標方程聯(lián)立得,,設(shè),所以,,由,即,令,上述方程可化為,解得.由,所以,即或.【點睛】此題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標方程與直角坐標方程的互化,利用極坐標求點的軌跡方程,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.18、(1)(2)詳見解析(3)29【解析】

(1)將,代入,可求出,,可代入求,,可求結(jié)果.(2)可求,,通過反證法證明,(3)可推出,,的最大值,就是集合中元素的最大值,求出.【詳解】(1)由題意知等差數(shù)列的通項公式為:;等差數(shù)列的通項公式為:,得,則,,得,故.(2)證明:已知.,由題意知等差數(shù)列的通項公式為:;等差數(shù)列的通項公式為:,得,,.得,,,.所以若,則存在,,使,若,則存在,,,使,因此,對于正整數(shù),考慮集合,,,即,,,,,,.下面證明:集合中至少有一元素是7的倍數(shù).反證法:假設(shè)集合中任何一個元素,都不是7的倍數(shù),則集合中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1,2,3,4,5,6,又因為集合中共有7個元素,所以集合中至少存在兩個元素關(guān)于7的余數(shù)相同,不妨設(shè)為,,其中,,.則這兩個元素的差為7的倍數(shù),即,所以,與矛盾,所以假設(shè)不成立,即原命題成立.即集合中至少有一元素是7的倍數(shù),不妨設(shè)該元素為,,,則存在,使,,,即,,,由已證可知,若,則存在,,使,而,所以為負整數(shù),設(shè),則,且,,,,所以,當,時,對于整數(shù),若,則成立.(3)下面用反證法證明:若對于整數(shù),,則,假設(shè)命題不成立,即,且.則對于整數(shù),存在,,,,,使成立,整理,得,又因為,,所以且是7的倍數(shù),因為,,所以,所以矛盾,即假設(shè)不成立.所以對于整數(shù),若,則,又由第二問,對于整數(shù),則,所以的最大值,就是集合中元素的最大值,又因為,,,,所以.【點睛】本題考查數(shù)列的綜合應用,以及反證法,求最值,屬于難題.19、(1);(2)當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時,在上單調(diào)遞增;當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】

(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點的關(guān)系進而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】(1)當時,,則切線的斜率為.又,則曲線在點的切線方程是,即.(2)的定義域是..①當時,,所以當時,;當時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;②當時,,所以當和時,;當時,,所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;③當時,,所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增;④當時,,所以和時,;時,.所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時,在上單調(diào)遞增;當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論,需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點,再根據(jù)極值點的大小關(guān)系分類討論即可.屬于??碱}.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)取中點,連接,根據(jù)菱形的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進行證明即可;(2)根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可以確定點到直線的距離即為點到平面的距離,結(jié)合垂線段的性質(zhì)可以確定點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系.利用空間向量夾角公式,結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解即可.【詳解】(1)證明:取中點,連接,因為四邊形為菱形且.所以,因為,所以,又,所以平面,因為平面,所以.同理可證,因為,所以平面.(2)解:由(1)得平面,所以平面平面,平面平面.所以點到直線的距離即為點到平面的距離.過作的垂線段,在所有的垂線段中長度最大的為,此時必過的中點,因為為中點,所以此時,點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系.則所以平面的一個法向量為,設(shè)平面的法向量為,則即取,則,,所以,所以面與面所成二面角的正弦值為.【點

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