二重積分的運算

關于二重積分的運算第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月二重積分的計算方法是累次積分法，化二重積分為累次積分的步驟是：①作出積分區(qū)域的草圖②選擇適當的坐標系③選定積分次序，定出積分限1。關于坐標系的選擇這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數的特點兩個方面來考慮一、主要內容第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月被積函數呈常用極坐標其它以直角坐標為宜2。關于積分次序的選擇選序原則①能積分，②少分片，③計算簡3。關于積分限的確定二重積分的面積元為正確定積分限時一定要保證下限小于上限積分區(qū)域為圓形、扇形、圓環(huán)形第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月看圖定限—穿越法定限和不等式定限先選序，后定限①直角坐標系ⅰ。先

y

后

x

，過任一x∈[a

,b

],作平行于

y

軸的直線穿過D的內部從D的下邊界曲線穿入—內層積分的下限從上邊界曲線穿出—內層積分的上限ⅱ。先x

后

y過任一

y∈[c,d]作平行于x

軸的直線定限第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月左邊界——內層積分的下限右邊界——內層積分的上限則將D分成若干個簡單區(qū)域再按上述方法確定每一部分的上下限分片計算，結果相加②極坐標系積分次序一般是過極點O作任一極角為的射線從D的邊界曲線穿入從穿出ⅲ。如D須分片第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月——內下限—內上限具體可分為三種情況⑵極點在D的邊界上

是邊界在極點處的切線的極角絕大多數情況下為0⑶極點在D的內部化累次積分后外限是常數內限是外層積分變量的函數或常數極坐標系下勿忘r⑴極點在D的外部第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月4。關于對稱性利用對稱性來簡化重積分的計算是十分有效的，它與利用奇偶性來簡化定積分的計算是一樣的，不過重積分的情況比較復雜，在運用對稱性是要兼顧被積分函數和積分區(qū)域兩個方面，不可誤用對①若D關于x

軸對稱第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月②若D關于

y

軸對稱③若D關于原點對稱第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月——稱為關于積分變量的輪換對稱性是多元積分所獨有的性質奇函數關于對稱域的積分等于0，偶函數關于對稱域的積分等于對稱的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類似于對稱區(qū)間上奇偶函數的定積分的性質簡述為“你對稱，我奇偶”①、②、③簡單地說就是④若D關于直線

y=x

對稱第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月5關于二重積分的換元法f(x,y)在D上連續(xù)變換T：x=x(u,v),y=y(u,v)將uov

平面上的閉區(qū)域D1

變成

xoy

平面的閉區(qū)域D（1）x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上具有連續(xù)的一階偏導數（2）在D1上第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月基本要求:變換后定限簡便，求積容易．注意第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月二、例題分析例1計算解積分區(qū)域由不等式給出在不等式中取等號所得的曲線是兩個半圓但它們圍不成區(qū)域都有意義必須限制因此D只能在x=0

，x=2之間確定了積分區(qū)域后，再看被積函數結合積分區(qū)域的特點，化成極坐標計算較為簡單

第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然r

呢？極點在D的邊界上，所以那就錯了不能以為極點O在區(qū)域的邊界上就誤以為對

r

積分的下限為0定r

的積分限，應先固定以原點為起點作射線這射線和兩個半圓相交穿入從從穿出積分限如何確定第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月盡管極點在D的邊界上但極角為的射線并不是從極點穿入而不是域D的極坐標表示為第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解D關于x,y

軸及原點及

y=x

對稱故故例2計算第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解例3計算D1D2第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解D的邊界極點在D的邊界上圓周在(0,0)的切線斜率為故例4計算第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例5計算D2D1解（和差化積）第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例6設f(x)在[0,1]上連續(xù)求解D第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月試將二重積分化成定積分解由積分域和被積函數的對稱性有用極坐標例7第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月為將二次積分化為所需要的定積分，須變換積分次序DD1第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月依題意，要化為定積分首先應設法將二元函數化為一元函數自然想到用極坐標其次，若先對

r

后對不可進一步化為定積分又想到換序例8設

f(x)連續(xù)，證明注第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月證一令則uv