山西省際名校高三聯(lián)考二（沖刺卷）數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆山西省際名校高三聯(lián)考二（沖刺卷）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合M，再求兩集合的并集【詳解】由，得，解得，所以，因為，所以，故選：A.2．已知，則（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】D【分析】先求出，再求，然后求其模即可【詳解】因為，所以，所以，所以．故選：D．3．中國運動員谷愛凌在2022北京冬奧會自由式滑雪女子大跳臺決賽中以188.25分奪得金牌．自由式滑雪大跳臺比賽一般有資格賽和決賽兩個階段，比賽規(guī)定：資格賽前12名進入決賽．在某次自由式滑雪大跳臺比賽中，24位參加資格賽選手的成績各不相同．如果選手甲知道了自己的成績后，則他可根據(jù)其他23位同學(xué)成績的哪個數(shù)據(jù)判斷自己能否進入決賽（

）A．中位數(shù) B．極差 C．平均數(shù) D．方差【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合中位數(shù)的定義，即可判斷和選擇.【詳解】其他23位參賽同學(xué)，按成績從高到低排列，這23個數(shù)的中位數(shù)恰好是第12位選手的成績．若選手甲的成績大于該選手的成績，則進入決賽，否則不能進入決賽，因此可根據(jù)中位數(shù)判斷選手甲是否能進入決賽.故選：．4．展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二項定理得出展開式中的系數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可求解；【詳解】由題意可知，展開式中的系數(shù)為.所以原式的展開式的系數(shù)為：故選：D.5．已知等比數(shù)列的首項為1，若成等差數(shù)列，則的前6項的和為（

）A．31 B． C． D．63【答案】C【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列前項和的公式即可得解.【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以，得，即，解得，故前6項的和為.故選：C.6．“”是“與相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分且必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】分別計算兩圓外切和內(nèi)切時的值，再按照充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】易得，．當(dāng)圓外切時：得：，當(dāng)圓內(nèi)切時：得：．所以是兩圓相切的充分不必要條件．故選：A．7．牛頓切線法是牛頓在十七世紀提出的一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法．比如求解方程，先令，然后對的圖象持續(xù)實施下面的步驟：第一步，在點處作曲線的切線，交x軸于；第二步，在點處作曲線的切線，交x軸于；第三步，在點處作曲線的切線，交x軸于；……利用該方法可得方程近似解（保留三位有效數(shù)字）是（

）【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求解點處的切線，進而得到，再按題意繼續(xù)計算得到即可【詳解】所以在處的切線方程，則；同理，在處的切線方程，令，得，又，在處的切線方程，令，得．故選：B．8．若，函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義可得，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱求解．【詳解】為偶函數(shù)，所以，即.由正態(tài)分布的對稱性可知：在對稱區(qū)間的概率相等，所以，即，故選：D.9．如圖，長方體中，，，點為線段的中點，點為棱上的動點（包括端點），平面截長方體的截面為，則（

）A．截面可能為六邊形B．存在點，使得截面C．若截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為D．當(dāng)與重合時，截面將長方體分成體積比為的兩部分【答案】C【分析】根據(jù)長方體截面的特征可確定A錯誤；假設(shè)存在滿足題意的點，由知為中點，但此時與不垂直，可知假設(shè)錯誤，即B錯誤；在平面內(nèi)過點作的平行線，交于，過點作的垂線，垂足為，可知，設(shè)，可將截面面積表示為，由二次函數(shù)最值求法可確定C正確；取中點，利用棱臺體積的求法可求得棱臺的體積，結(jié)合長方體體積可知D錯誤.【詳解】對于A，截面可能為四邊形或五邊形，不能是六邊形，A錯誤；對于B，若存在點，使得截面，則，則為中點，此時與不垂直，不存在點，使得截面，B錯誤；對于C，當(dāng)截面為平行四邊形時，在平面內(nèi)過點作的平行線，交于，過點作的垂線，垂足為，連接，則平面，斜線在平面的射影為，則；設(shè)，，，，截面面積為，當(dāng)時，，C正確；對于D，當(dāng)重合時，截面為梯形；取中點，連接，延長交于點，，，棱臺的體積，又長方體體積，剩余部分的體積，，D錯誤.故選：C.10．已知若，則在內(nèi)的零點個數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】畫出以及的圖像，直接由圖像即可求得交點個數(shù).【詳解】作出的圖像，則在內(nèi)的零點個數(shù)為曲線與直線在內(nèi)的交點個數(shù)9.故選：B.11．雙曲線的右頂點為在軸上，若上存在一點（異于點）使得，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則由已知可得點的軌跡方程為，與雙曲線方程聯(lián)立可求出點橫坐標，由題意知點在雙曲線的右支上，，化簡可得，從而可求出離心率的取值范圍【詳解】設(shè)，∵，點的軌跡方程為.聯(lián)立得，解得（舍去），，由題意知點在雙曲線的右支上，即，故，化簡得，因為，所以，故選：D.12．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對于，都有及成立，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，由得為奇函數(shù)，由得是增函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，定義域為，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，又，，即，即，解得：.故選：A.二、填空題13．已知向量，若，則的值為_________．【答案】【分析】由，列方程求解即可【詳解】由已知得．因為，所以，解得．故答案為：14．已知圓，點及直線，點，分別在直線上和圓上運動，則的最小值為___________.【答案】【分析】先求出點關(guān)于直線對稱的點的坐標，將轉(zhuǎn)化為圓外點到圓上的最小值，即為該點到圓心的距離減半徑，再利用圖形幾何關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)關(guān)于對稱的點為，則，解得，即，所以，當(dāng)點、、共線時，此時的直線方程為，兩直線方程聯(lián)立得，即點的坐標為時取等號.故答案為：.15．?dāng)?shù)列中，已知，，，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由題意知，兩式相加得，從而可得數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，則可得，從而可得出答案.【詳解】解：由題意知，兩式相加得，因此，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，令，則，又由于，故.故答案為：.16．如圖，在直三棱柱中，，點E，F(xiàn)分別是上的動點，當(dāng)?shù)拈L度最小時，三棱錐外接球球面上的點到平面的距離的最大值為___________．【答案】【分析】借助側(cè)面展開圖分析的長度最小時，E為的中點，,通過長度可知△、△均是以為斜邊的直角三角形，所以三棱錐的外接球球心為線段的中點，三棱錐外接球球面上的點到平面的距離的最大值為球心到平面的距離與球的半徑之和．【詳解】把平面沿展開到與平面共面的的位置，延長到，使得，連接，如圖①所示，則．要使的長度最小，則需，E，F(xiàn)，四點共線，此時．因為，則，所以，則，所以，在圖②中，△是以為斜邊的直角三角形，∵，即所以△是以為斜邊的直角三角形，所以三棱錐的外接球球心為線段的中點，記為O，球O的半徑設(shè)△的外接圓半徑為，，則∴即設(shè)球心O到平面的距離為h，則即則球面上的點到平面的距離的最大值為．故答案為：．三、解答題17．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理,將角化邊,即可得到三邊關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化成余弦定理形式求解.（2）用二倍角公式降冪，然后利用輔助角公式合并，根據(jù)角的范圍求解.【詳解】(1)及，，化簡得，，又，.(2)由（1）可得為銳角三角形，且，，.，，故的取值范圍為.18．如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點.(1)證明：∥平面；(2)當(dāng)?shù)拈L為多少時，平面平面？請說明理由，并求出此時直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）取線段的中點，連接，利用三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得四邊形為平行四邊形，則∥，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論，（2）當(dāng)時，由已知條件可證得平面，從而可得平面平面，分別取線段，的中點，，連接，，則可證得兩兩垂直，所以分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】(1)證明：取線段的中點，連接，則為的中位線，∥，，∵∥，，∥，，∴四邊形為平行四邊形.∥，平面，平面，∥平面.(2)當(dāng)時，平面平面.理由如下：在中，，，.又，，平面，又平面，∴平面平面.分別取線段，的中點，，連接，，因為為等邊三角形，為的中點，所以，即平面，.因為，分別為，的中點，所以，又，所以.分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，..所以直線與平面所成角的正弦值為，所成的角為.19．機動車輛保險即汽車保險（簡稱車險），是指對機動車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財產(chǎn)損失負賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險.機動車輛保險一般包括交強險和商業(yè)險，商業(yè)險包括基本險和附加險兩部分.經(jīng)驗表明新車商業(yè)險保費與購車價格有較強的線性相關(guān)關(guān)系，下面是隨機采集的相關(guān)數(shù)據(jù)：購車價格（萬元）5101520253035商業(yè)險保費（元）1737207724172757309736223962(1)某保險公司規(guī)定：上一年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率，上一年沒有出險，則下一年保費倍率為85%，上一年出險一次，則下一年保費倍率為100%，上一年出險兩次，則下一年保費倍率為125%.太原王女士于2022年1月購買了一輛價值32萬元的新車.若該車2022年2月已出過一次險，4月又發(fā)生事故，王女士到汽車維修店詢價，預(yù)計修車費用為800元，理賠人員建議王女士自費維修（即不出險），你認為王女士是否應(yīng)該接受該建議？請說明理由：（假設(shè)車輛2022年與2023年都購買相同的商業(yè)險產(chǎn)品）(2)根據(jù)《保險法》規(guī)定：“對屬于保險責(zé)任的，在與被保險人或者受益人達成賠償或者給付保險金的協(xié)議后十日內(nèi)，履行賠償或者給付保險金義務(wù)”.保險公司為了解客戶對賠付時間的滿意度，從該公司客戶中隨機抽查了1000名將所得的滿意度分數(shù)整理后得出如下表格：滿意度分數(shù)人數(shù)481022522981549650用頻率估計概率，從公司所有客戶中隨機抽取3人，用表示這3人中滿意度分數(shù)不小于70的人數(shù)，求的分布列和期望.參考數(shù)據(jù)：，，.參考公式：.【答案】(1)王女士應(yīng)接受理賠人員的建議，理由見解析(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）根據(jù)最小二乘法算線性回歸方程,利用回歸方程預(yù)測下一年的保費,與自費進行比較即可求解.（2）根據(jù)樣本頻率來估計總體概率,由二項分布得分布列和期望.【詳解】(1)（萬元），，，所以，價值為32萬元的車輛的商業(yè)車險保費預(yù)報值為元.于該車已出險一次，若再出險一次，則保費要增加25%，即保費增加元.因為，若出險，2023年增加的保費大于800元，所以王女士應(yīng)接受理賠人員的建議.(2)1000人中不小于70的人數(shù)為：，所以不小于70的頻率為：，故從公司所有客戶中隨機抽取1人，滿意度分數(shù)不小于70的概率為.依題意可知，則的可能的取值為0，1，2，3.，，，.所以的分布列為：0123.20．在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)若點為橢圓外一點，過點D作兩條斜率之和為1的直線，分別交橢圓于A，B兩點和P，Q兩點，線段的中點分別為M，N，試證直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的右焦點為，離心率，由求解；（2）設(shè)直線的方程為，直線的斜率分別為，且，直線的程為，分別與橢圓方程和直線的方程聯(lián)立，利用中點M，得到，同理有，得到是方程的兩根，由求解.【詳解】(1)解：因為橢圓的右焦點為，離心率，所以，解得．橢圓C方程為．(2)設(shè)，直線的方程為，直線的斜率分別為，且，直線的程為．聯(lián)立，得，故．聯(lián)立，得，所以，整理得，同理有，所以是方程的兩根，則，即，所以直線的方程為，直線過定點．21．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，分別解不等式、可得出函數(shù)的減區(qū)間和增區(qū)間；（2）令，令，分析可知在恒成立即可，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，驗證對任意的能否恒成立，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)解：當(dāng)時，的定義域為，.由可得，由可得.所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)解：當(dāng)時，不等式即，可化為：，令，因為，則，即，設(shè)，，則只需在恒成立即可.，①當(dāng)時，且不恒為零，此時在上單調(diào)遞減，所以，與題設(shè)矛盾；②當(dāng)時，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，，不合乎題意；③當(dāng)時，則，且不恒為零，故在上單調(diào)遞增，所以恒成立.綜上.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，注意換元，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，注意到，結(jié)合端點效應(yīng)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可.22．在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求直線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2)若點，分別在直線和曲線上，且直線的一個方向向量為，求線段長度的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用消參方法消參即可，再利用極坐標和直角坐標互化公式即可求直角方程；（2）根據(jù)題意得的傾斜角為，所以直線與直線的夾角為，過作，垂足為，則，求出即可求解.【詳解】(1)消去參數(shù)得直線的普通方程為，再將代入直線的普通方程，得直線的極坐標方程為．