2023屆福建省莆田市仙游縣楓亭中學(xué)高三年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆福建省仙游縣楓亭中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的解法求得集合，結(jié)合集合并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由不等式，解得，所以，且，根據(jù)集合并集的概念及運(yùn)算，可得.故選：C.2．已知a=，b=，c=，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．b<c<a【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性，借助中間量即可比較大小.【詳解】解：由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故.故選：A.3．設(shè)，則（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】先利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡得到，代入即可求解.【詳解】由誘導(dǎo)公式，可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡、求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.4．曲線在處的切線的斜率為（

）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】先求解出導(dǎo)函數(shù)，然后代入到導(dǎo)函數(shù)中，所求導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率.【詳解】因?yàn)?，所以，所以切線的斜率為.故選：D.5．設(shè)定義在R上的奇函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析出函數(shù)在上是增函數(shù)，由得出，分和解不等式，即可得出原不等式的解集.【詳解】解：由于奇函數(shù)在上是增函數(shù)，則該函數(shù)在上也是增函數(shù)，且，，，由可得，即.當(dāng)時，得，解得；當(dāng)時，可得，解得.因此，原不等式的解集為或.故選：D.6．某學(xué)生在“撿起樹葉樹枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動中拾到了三支小樹枝（視為三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個三角形，經(jīng)測量，其長度分別為、、，則（

）A．能作出一個銳角三角形 B．能作出一個直角三角形C．能作出一個鈍角三角形 D．不能作出這樣的三角形【答案】C【分析】計算出三角形三邊的比值，并計算出三角形中最大角的余弦值，可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)高分別為、、對應(yīng)的底邊長分別為、、（單位：），則，設(shè)，則，，由三角形三邊關(guān)系可知，這樣的三角形存在，設(shè)該三角形的最大內(nèi)角為，則，則為鈍角，故能作出一個鈍角三角形.故選：C.7．已知，若，，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．5【答案】C【分析】利用1的代換和基本不等式即可得到的最小值.【詳解】由，得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：C.8．已知是定義在上的函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，則曲線在處的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目所給的對稱性得到，進(jìn)一步得到，再求出時的解析式，再求導(dǎo)代入即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即.用代換上式中的，即可得到，所以關(guān)于直線對稱.由得，若，則，當(dāng)時，，，，，所以曲線在處的切線方程是:,即.故選：C.【點(diǎn)睛】函數(shù)的對稱性與分段函數(shù)的解析式求解結(jié)合的問題邏輯推理要求高，平時對于函數(shù)關(guān)于直線的對稱問題要注重推理與積累.二、多選題9．下列選項中，正確的有（

）A．已知命題，則B．若角的終邊過點(diǎn)且，則；C．若扇形的周長為，半徑為，則其圓心角的大小為弧度D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特征命題可判斷A，根據(jù)三角函數(shù)的定義可判斷B,根據(jù)扇形弧長公式可求解C，根據(jù)誘導(dǎo)公式可判斷D.【詳解】命題，則，故A正確，角的終邊過點(diǎn)且，又因?yàn)?，所以，故B錯誤，設(shè)扇形的圓心角為，則由扇形的周長為可得，故C正確；，故D錯誤，故選：AC10．已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，圖象在軸上的截距為．則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．的最大值為2C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．為偶函數(shù)【答案】BC【解析】由周期求，由五點(diǎn)法作圖求出的值，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出A，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】由圖知，的最小正周期，則.由，得.由，得，則，所以.當(dāng)時，，則單調(diào)遞增.因?yàn)椋瑒t不是偶函數(shù)，故選：BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會根據(jù)圖象求解析式.11．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．當(dāng)時，的面積最大值為D．當(dāng)時，為直角三角形【答案】BD【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合兩角和的正弦和正切公式可判斷A錯誤，B正確，結(jié)合均值不等式可判斷C，根據(jù)余弦定理的邊的關(guān)系，代入可得三邊關(guān)系滿足勾股定理，可判斷D.【詳解】由以及正弦定理得：,進(jìn)而得：，即，由于在三角形中，故,由，故A錯誤；B正確，若，由得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，即面積的最大值為，故C錯誤；由得將其代入中得：，進(jìn)而得，，故，進(jìn)而可得：，所以滿足，故為直角三角形，D正確.故選：BD12．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，則下列選項正確的有（

）A． B．函數(shù)有兩個零點(diǎn)C． D．【答案】ACD【分析】問題化為在上有兩個變號零點(diǎn)，討論參數(shù)a研究的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷區(qū)間零點(diǎn)情況，進(jìn)而求出a的范圍，再研究的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個數(shù)，且可得，最后應(yīng)用對數(shù)均值不等式判斷C、D.【詳解】由題設(shè)，在上有兩個變號零點(diǎn)，令，則，若，則，即遞增，此時不可能存在兩個零點(diǎn)；所以，則時，遞增；時，遞減；故，而，要存在零點(diǎn)，則，可得，則，此時x趨向于正無窮時趨于負(fù)無窮，則在各有一個零點(diǎn)，滿足題設(shè)，A正確；由上，不妨設(shè)，在上，遞減；在上，遞增，且，所以x趨向于時趨于0，，，故上無零點(diǎn)，上不一定存在零點(diǎn)，B錯誤；由對數(shù)均值不等式，證明如下：令，要證，即證，若，則，故在上遞減，所以，即，故得證；令要證，即證，若，則，故在上遞增，所以，即，故得證；綜上，，故，C正確；，，即恒成立，，又因?yàn)镃選項，所以，故，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】注意將問題化為在上有兩個變號零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題，由此得到的的單調(diào)性和零點(diǎn)情況判斷的單調(diào)性和零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)得到，利用對數(shù)均值不等式求證不等式.三、填空題13．函數(shù)定義域?yàn)開_______【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可得即可求解．【詳解】，所以，即函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椤军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．14．若，則_________.【答案】5【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，直接代值計算作答.【詳解】因函數(shù)，所以.故答案為：515．已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則___________.【答案】##0.5【分析】根據(jù)函數(shù)的周期即可求解.【詳解】由得，故是以2為周期的周期函數(shù)，所以，故答案為：16．炎炎夏日，在古代人們乘涼時習(xí)慣用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形ABC的面積S為，若，則當(dāng)該紙疊扇的周長C最小時，BD的長度為___________.【答案】【分析】設(shè)扇形ABC的半徑為rcm，弧長為lcm，根據(jù)扇形ABC的面積S為，由得到，然后由紙疊扇的周長，利用基本不等式求解.【詳解】解：設(shè)扇形ABC的半徑為rcm，弧長為lcm，則扇形面積.由題意得，所以.所以紙疊扇的周長，當(dāng)且僅當(dāng)即，時，等號成立，所以.又，所以，所以，故.故答案為：四、解答題17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間的值域；【答案】(1)最小正周期為，遞增區(qū)間為，；(2)【分析】（1）由二倍角公式，結(jié)合輔助角公式得，再利用周期、正弦型函數(shù)單調(diào)性求結(jié)果；（2）由的范圍求的范圍，進(jìn)而可求出的范圍，從而可求的值域.【詳解】（1），∴函數(shù)的最小正周期為.令，，則，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）∵，則，∴，∴，故函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?18．已知中，角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角的大??；(2)若的面積，且，求的周長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）利用面積公式求出，由余弦定理求出，由，進(jìn)而求三角形周長；【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，由余弦定理得，故，因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以，由，即，所以，所以，故的周長為.19．已知函數(shù)在處取得極大值為9.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意，列出方程組求解，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，確定函數(shù)極大值與極小值，再計算出端點(diǎn)值，比較大小，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：，，解得：.當(dāng)時，，，當(dāng)和時，；當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，滿足題意.（2）由（1）得：的極大值為，極小值為，又，，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)，以及由導(dǎo)數(shù)的方法求最值，屬于?？碱}型.20．在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，(1)求角B﹔(2)求的范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化成邊，整理得到，再利用余弦定理得到，即可求；（2）利用正弦定理將轉(zhuǎn)化成，再利用和差公式和輔助角公式整理得，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)和的范圍求的范圍即可.【詳解】（1），又，所以，因?yàn)?，所?（2）在中，由（1）及，得，故，，因?yàn)椋瑒t，﹒所以的范圍為.21．已知函數(shù)，.（1）判斷的奇偶性和單調(diào)性；（2）若對任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增；（2）.【分析】（1）結(jié)合對數(shù)的真數(shù)大于零求得的定義域，由判斷出為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的知識來判斷出的單調(diào)性.（2）將問題轉(zhuǎn)化為，先求得，然后對進(jìn)行分類討論，由列不等式來求得的取值范圍.【詳解】（1）要使有意義，只需，解得，所以的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.又因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù).因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）對任意，存在，使得不等式成立，等價于，由（1）知在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，，函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，，則，解得，所以，當(dāng)時，，則，解得，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.22．已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)求的最值；(3)若時，，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，點(diǎn)斜式得切線方程；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分兩種情況討論，易知時無最值，時求極值即可得最值；（3）不等式成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，分，兩類情況求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，故，又，所以在處的切線方程為，即（2），.①當(dāng)時，，則在R上單調(diào)遞增，所以無最值；②當(dāng)時，令，得.當(dāng)時，;當(dāng)時，,在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值為無最大值.綜上，當(dāng)時，無最值；當(dāng)時，有最小值為，無最大值.（3）由題意得對于任意的恒成立，且當(dāng)x=0時，等號成立.令則，①若，則.令,則，顯然在[0，+∞)上恒成立，在[0，十∞)上單調(diào)遞增，即在[0，十∞)上單調(diào)