2023屆江西省吉安市泰和縣高三下學(xué)期第一次?？紨?shù)學(xué)（理）試題

泰和縣2023屆高三下學(xué)期第一次模考數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．已知，，且，滿(mǎn)足這樣的集合的個(gè)數(shù)（

）A．6 B．7 C．8 D．92．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C．1 D．3．由國(guó)家信息中心“一帶一路”大數(shù)據(jù)中心等編寫(xiě)的《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報(bào)告（2017）》到2016年這六年中，中國(guó)與“一帶一路”沿線(xiàn)國(guó)家出口額和進(jìn)口額圖表如下，下列說(shuō)法中正確的是（

）中國(guó)與“一帶一路”沿線(xiàn)國(guó)家出口額和進(jìn)口額（億美元）A．中國(guó)與沿線(xiàn)國(guó)家貿(mào)易進(jìn)口額的極差為億美元B．中國(guó)與沿線(xiàn)國(guó)家貿(mào)易出口額的中位數(shù)不超過(guò)5782億美元C．中國(guó)與沿線(xiàn)國(guó)家貿(mào)易順差額逐年遞增（貿(mào)易順差額＝貿(mào)易出口額－貿(mào)易進(jìn)口額）D．中國(guó)與沿線(xiàn)國(guó)家前四年的貿(mào)易進(jìn)口額比貿(mào)易出口額更穩(wěn)定4．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，且，記的前項(xiàng)和為，則等于（）A．1025 B．1024C．10250 D．202405．“數(shù)列（）滿(mǎn)足（其中為常數(shù)）”是“數(shù)列（）是等比數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件6．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．7．若圓柱的底面半徑是1，其側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．8．已知向量，滿(mǎn)足，，，那么與的夾角為（

）A． B． C． D．9．設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．10．如圖是某幾何體挖去一部分后得到的三視圖，其中主視圖和左視圖相同都是一個(gè)等腰梯形及它的內(nèi)切圓，俯視圖中有兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為2和8的正方形且圖中的圓與主視圖圓大小相等并且圓心為兩個(gè)正方形的中心.問(wèn)該幾何體的體積是A． B． C． D．11．已知曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則實(shí)數(shù)的值為()A． B．或 C． D．或12．若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿(mǎn)足：和恒成立，則稱(chēng)此直線(xiàn)為和的“隔離直線(xiàn)”，已知函數(shù)，，有下列命題：①在內(nèi)單調(diào)遞增；②和之間存在“隔離直線(xiàn)”，且的最小值為；③和之間存在“隔離直線(xiàn)”，且的取值范圍是；④和之間存在唯一的“隔離直線(xiàn)”．其中真命題的個(gè)數(shù)有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。)13．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－2))＝________.14．滿(mǎn)足不等式組的點(diǎn)所圍成的平面圖形的面積為_(kāi)_______．15．某單位安排A，B，C，D，E，F(xiàn)等6名工作人員到4個(gè)不同的地方開(kāi)展工作，每個(gè)地方至少需安排一名工作人員，其中A，B被安排到同一個(gè)地方工作，D，E不能被安排到同一個(gè)地方工作，則不同的分配方法共有______種．16．給出下列命題：①是奇函數(shù)；②若是第一象限角，且，則；③函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是；④函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，其中正確命題的序號(hào)是____________（把正確命題的序號(hào)都填上）.三、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過(guò)程。)17．公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.18．袋中有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，5個(gè)黃球，這10個(gè)小球除顏色外完全相同.(1)從袋中任取3個(gè)球，求恰好取到2個(gè)黃球的概率；(2)從袋中任取2個(gè)球，記取到紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布列、期望和方差.19．如圖，四棱錐中，底面ABCD，且底面ABCD為平行四邊形，若，，（1）求證：；（2）若，求直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值．20．已知橢圓的離心率，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，.(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上存在兩點(diǎn)，使，，求面積的最大值.21．設(shè)，函數(shù).(1)若，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；(2)若無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：請(qǐng)從下面所給的22、23兩題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分.22．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上且滿(mǎn)足點(diǎn)的軌跡為.（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求面積的最小值.23．選修4-5：不等式選講已知函數(shù).(1)若的最小值為，求的值；(2)在（1）的條件下，，，為正實(shí)數(shù)，且，求證：.

1．B【分析】先判斷出中必有的元素，余下元素構(gòu)成的集合為的非空子集，利用非空子集個(gè)數(shù)的計(jì)算方法可得滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)椋是?，又，故中除了這兩個(gè)元素，余下元素構(gòu)成的集合為的非空子集，故滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的包含關(guān)系及非空子集的個(gè)數(shù)計(jì)算，注意根據(jù)包含關(guān)系明確集合中哪些元素是明確的，再找出不確定的元素滿(mǎn)足的條件，另外，要掌握有限集的子集（非空子集、真子集、非空真子集等）個(gè)數(shù)的計(jì)算公式.2．B【分析】復(fù)數(shù)的分式運(yùn)算，同乘共軛復(fù)數(shù)，利用模長(zhǎng)公式即可得到答案.【詳解】,,故選：B.3．D【分析】根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，結(jié)合統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)概念逐一計(jì)算判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A,中國(guó)與沿線(xiàn)國(guó)家貿(mào)易進(jìn)口額的極差為．所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由已知圖中的數(shù)據(jù)可得出口額額的中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，2011年至2016年的貿(mào)易順差額依次為，，，，，，2016年開(kāi)始下降，故C錯(cuò)誤；由圖表可知中國(guó)與沿線(xiàn)國(guó)家前四年的貿(mào)易出品額比貿(mào)易進(jìn)口額波動(dòng)性更大，故D正確．故選：D．4．C【分析】由已知可推出是等比數(shù)列，求出公比，再利用片段和的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】∵，∴，且，∴為等比數(shù)列，且公比，∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義以及前和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5．B【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，，但此時(shí)數(shù)列（）不是等比數(shù)列，但當(dāng)數(shù)列（）是等比數(shù)列時(shí)，必定滿(mǎn)足，故選B.考點(diǎn)：充分條件與必要條件.6．A【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以故選：A7．A【分析】側(cè)面展開(kāi)圖的面積就是側(cè)面積．【詳解】由題意側(cè)面展開(kāi)圖的邊長(zhǎng)不，面積為．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積，考查圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，矩形的一邊是圓柱的高，另一邊長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)．8．B【解析】根據(jù)模的向量運(yùn)算，將平方后化簡(jiǎn)，即可由平面向量的數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】向量，滿(mǎn)足，，，則所以，代入，，可求得，由平面向量數(shù)量積定義可知，設(shè)與的夾角為，則，則，因?yàn)椋?，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量夾角的求法，平面向量數(shù)量積定義及模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得雙曲線(xiàn)方程的漸近線(xiàn)方程為，由題意可得，又，即，解得，，即可得到所求雙曲線(xiàn)的方程.【詳解】解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為可得雙曲線(xiàn)即為的漸近線(xiàn)方程為由題意可得，即又，即解得，.即雙曲線(xiàn)的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線(xiàn)的方程，屬于中檔題.10．B【詳解】解：由題意可知：該幾何體是一個(gè)正四棱臺(tái)內(nèi)切一個(gè)球，且上平面的邊長(zhǎng)為2，下平面的邊長(zhǎng)為8，由平面幾何關(guān)系可知球的半徑為，據(jù)此可得組合體的體積：.本題選擇B選項(xiàng).11．C【分析】根據(jù)已知求得切線(xiàn)方程，又該切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，聯(lián)立得一元方程有唯一解，即可得實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：由，求導(dǎo)得，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，其也為曲線(xiàn)的切線(xiàn)．由，得，此方程只有唯一解，所以當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，舍去；當(dāng)時(shí)，，解得或(舍)，所以.故選：C.12．C【分析】對(duì)于命題①，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷出函數(shù)在的單調(diào)性；對(duì)于命題②，③，因?yàn)槭牵母綦x直線(xiàn)，所以分別構(gòu)造不等式和，從而得到關(guān)于和的不等式，從而求出范圍；對(duì)于命題④，因?yàn)榇嬖诟綦x直線(xiàn)，從而分別構(gòu)造不等式，通過(guò)一元二次不等式在上恒成立，從而判斷不等式是否成立，以及構(gòu)造不等式，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷不等式是否在上恒成立.【詳解】對(duì)于命題①，，，，在內(nèi)單調(diào)遞增，故①正確；對(duì)于命題②，③，設(shè)，的隔離直線(xiàn)為，則對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，即有，又對(duì)一切成立，則，即，，，即有且，所以，即同理，可得，故②正確，③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此存在和的隔離直線(xiàn)，那么該直線(xiàn)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線(xiàn)的斜率為，則隔離直線(xiàn)方程為，即，由，可得，當(dāng)恒成立，則，只有，此時(shí)直線(xiàn)方程為，下面證明，令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取到極小值，極小值是，也是最小值，，則，函數(shù)和存在唯一的隔離直線(xiàn)，故④正確，真命題的個(gè)數(shù)有三個(gè)，故選：C13．3【詳解】∵f(x)＝∴f(－2)=，∴f(f(－2))＝f()=故答案為3點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，屬于中檔題.對(duì)于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動(dòng)向之一，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)，對(duì)抽象思維能力要求高，因此解決這類(lèi)題一定要層次清出，思路清晰.本題解答分兩個(gè)層次：首先求出f(－2)的值，進(jìn)而得到f(f(－2))的值.14．【分析】畫(huà)出約束條件表示的可行域，利用微積分基本定理求出可行域的面積．【詳解】畫(huà)出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分，由題意不等式組，表示的平面區(qū)域如圖所示，其中解得：或，即，,所以平面圖形的面積為：．故答案為：．15．216##【分析】采用先分組后排序的方法計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】第一步，將6名工作人員分成4組，要求A，B在同一組，D，E不在同一組．若分為3，1，1，1的四組，則A，B必須在3人組，有（種）分組方法；若分為2，2，1，1的四組，則A，B必須在兩人組，有（種）分組方法．則一共有（種）分組方法．第二步，將分好的四組全排列，分配到四個(gè)地方，有（種）分配方法．故不同的分配方法共有（種）．故答案為：16．①③【分析】對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行一一驗(yàn)證.【詳解】①因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，令，故①正確；②若，但，故②不正確；③函數(shù)的所有對(duì)稱(chēng)中心為，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)中心為，故③正確；④函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)即的圖象，故④不正確.17．(1)(2)，【分析】（1）由已知利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合（1）可得，,根據(jù)分組求和法，利用等比數(shù)列與等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.（1）由，得．又∵成等比數(shù)列，

∴，即，解得或（舍去），

∴，故．（2）由題意，所以，所以．故：，.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及等比數(shù)列的求和公式，利用“分組求和法”求數(shù)列前項(xiàng)和，屬于中檔題.利用“分組求和法”求數(shù)列前項(xiàng)和常見(jiàn)類(lèi)型有兩種：一是通項(xiàng)為兩個(gè)公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減；二是通項(xiàng)為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減.18．(1)；(2)的分布列見(jiàn)解析，期望為，方差為.【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)結(jié)合題意寫(xiě)出可能的取值，分別求出相應(yīng)的概率即可得到的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.【詳解】(1)從袋中任取3個(gè)球，共有種情況，若從袋中任取3個(gè)球中，恰好取到2個(gè)黃球共有種，故從袋中任取3個(gè)球，求恰好取到2個(gè)黃球的概率為；(2)由題意可知，可能取值為，0，1，2，，，，故的分布列如下表：012從而期望，方差.19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）由平面知識(shí)可先證明出，即可證出平面PAD，即可得；（2）過(guò)B作于H，連接PH，易證直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角，再解三角形，即可求出直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值．【詳解】（1）∵，，∴即，．∵平面ABCD，平面ABCD∴，又．∴平面PAD∵平面PAD，∴．（2）過(guò)B作于H，連接PH∵平面ABCD，平面ABCD∴又∵，∴平面PCD∴直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角易求，又∵，，∴易證：，∴∴∴直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值．【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面垂直的定義和判定定理應(yīng)用，線(xiàn)面角的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，通過(guò)，以及橢圓的離心率，A在橢圓上，列出方程求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓方程；（2）設(shè)，，中點(diǎn)為，利用，得到方程組，利用E,F在橢圓上，代入橢圓方程，利用平方差法求出的斜率，得到直線(xiàn)的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出，求出三角形的高，表示出三角形的面積，利用基本不等式求出最值．【詳解】（1）根據(jù)題意，不妨設(shè)，則，，∴，，，，解得：，，∴橢圓的方程為：.（2）設(shè)，，中點(diǎn)為，由（1），∵，∴，∵橢圓上，則，相減可得，，∴直線(xiàn)的方程為：，即，代入整理得：，∴，，，∵原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.21．(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線(xiàn)斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程；（2）對(duì)分三種情況討論得解；（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據(jù)零點(diǎn)條件可得，令，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，即得，逆推可得結(jié)論.（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則切線(xiàn)方程為，即切線(xiàn)方程為.（2）解：①若時(shí)，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，∵，，∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；②若，有唯一零點(diǎn)；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)