2023屆廣東省燕博園高三下學(xué)期綜合能力數(shù)學(xué)試題

2023屆廣東省燕博園高三下學(xué)期綜合能力數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的運算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義計算即可.【詳解】，則.故選：B2．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式可得集合，再根據(jù)交集定義求解.【詳解】由解得，所以，因為，所以，所以，故選:C.3．已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)量積運算律及向量夾角公式可得，后可得.【詳解】由題可知，，所以，，則為銳角，得，則.故選：D4．某次投籃比賽中，甲、乙兩校都派出了10名運動員參加比賽，甲校運動員的得分分別為8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，這些成績可用下圖中的（1）所示，乙校運動員的得分可用下圖中的（2）所示．則以下結(jié)論中，錯誤的是（

）A．甲校運動員得分的中位數(shù)為8 B．甲校運動員得分的平均數(shù)小于8C．乙校運動員得分的75%分位數(shù)為10 D．甲校運動員得分的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校運動員得分的標(biāo)準(zhǔn)差【答案】D【分析】先計算出甲校派出的10名運動員參賽成績的中位數(shù)，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；再計算出乙校派出的10名運動員參賽成績的75%分位數(shù)，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差即可;【詳解】甲校派出的10名運動員參賽成績：中位數(shù)為：，平均數(shù)為：，標(biāo)準(zhǔn)差為：.乙校派出的10名運動員參賽成績分別為：6，7，8，9，9，9，9，10，10，10，則其平均數(shù)為：，75%分位數(shù)為：，標(biāo)準(zhǔn)差為：.由以上數(shù)據(jù)得知：D錯誤.故選：D5．已知經(jīng)過點，半徑為1．若直線是的一條對稱軸．則k的最大值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由條件確定點的位置特征，由此列不等式求的范圍.【詳解】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，因為經(jīng)過點，半徑為1，所以，故點在圓上，又直線是的一條對稱軸，所以，故點在直線上所以圓與直線有交點，所以，所以，所以，所以k的最大值為，故選：D.6．若函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，對進行分類討論，再分別解之即可.【詳解】函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，則①當(dāng)時，則，則由得，故，則無解.②當(dāng)時，則，則由得，故，則有.綜上①②知：.故選：B7．已知四棱錐的五個頂點都在球面O上，底面ABCD是邊長為4的正方形，平面平面ABCD，且，則球面O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取中點為E，三角形外接圓圓心為，正方形ABCD外接圓圓心為，過做平面，底面ABCD垂線，則兩垂線交點為四棱錐外切球球心O.由題目條件，可證得四邊形為矩形，設(shè)外接球半徑為R，則.后可得答案.【詳解】如圖，取中點為E，三角形外接圓圓心為，正方形ABCD外接圓圓心為，過作平面，底面ABCD垂線，則兩垂線交點為四棱錐外接球球心O.因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面，則平面ABCD.又平面ABCD，則.因，則四邊形為矩形.設(shè)三角形外接圓半徑為，則，又則.則，設(shè)外接球半徑為R，則，又，則，則球O表面積為：.故選：C.8．已知，，，則下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，進而得出大小關(guān)系.【詳解】比較b、c只需比較，設(shè)，則，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以.比較a、b只需比較，設(shè)，則，因為單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，，所以在，，所以，即.綜上，.故選：A二、多選題9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則以下結(jié)論中，正確的是（

）A．是的對稱中心 B．是增函數(shù)C．是偶函數(shù) D．最大值與最小值的和為2【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式、定義域，求解導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)對稱性、最值、單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得答案.【詳解】對A，已知函數(shù)，則，所以，因此關(guān)于點對稱，故A正確；對B，又，則，所以不是增函數(shù)，故B不正確；對C，又，所以是偶函數(shù)，故C正確；對D，又函數(shù)在閉區(qū)間上有最值，又關(guān)于點對稱，所以最大值與最小值的和為2，故D正確.故選：ACD.10．已知雙曲線：（，），的左、右焦點分別為，，為上一點，則以下結(jié)論中，正確的是（

）A．若，且軸，則的方程為B．若的一條漸近線方程是，則的離心率為C．若點在的右支上，的離心率為，則等腰的面積為D．若，則的離心率的取值范圍是【答案】AD【分析】由雙曲線上一點，及軸，可得的值，即可求得雙曲線方程，從而判斷A；根據(jù)雙曲線漸近線方程與離心率的關(guān)系即可判斷B；根據(jù)雙曲線的離心率與焦點三角形的幾何性質(zhì)即可求得等腰的面積，從而判斷C；由已知結(jié)合正弦定理與雙曲線的定義、焦半徑的取值范圍即可求得雙曲線離心率的范圍，從而判斷D.【詳解】對于A，若，且軸，則，，所以，則，所以，則的方程為，故A正確；對于B，若的一條漸近線方程是，則，離心率，故B不正確；對于C，若的離心率為，則，所以，若點在的右支上，為等腰三角形，則，連接，如圖，則是直角三角形，所以，故C不正確；對于D，若，由正弦定理得，可知點在雙曲線的左支上，故，則，又，所以，整理得，解得，所以的離心率的取值范圍是，故D正確.故選：AD.11．已知某養(yǎng)老院75歲及以上的老人占60%．75歲以下的老人中，需要有人全天候陪同的占10%；75歲及以上的老人中，需要有人全天候陪同的占30%．如果從該養(yǎng)老院隨機抽取一位老人，則以下結(jié)論中，正確的是（

）A．抽到的老人年齡在75歲以下的概率為35%B．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率為22%C．抽到的老人年齡在75歲以下且需要有人全天候陪同的概率為4%D．抽到的老人年齡大于等于75歲且不需要有人全天候陪同的概率為40%【答案】BC【分析】不妨設(shè)共有100名老人，則根據(jù)題意作出表格，根據(jù)表格數(shù)據(jù)逐項進項判斷即可.【詳解】不妨設(shè)共有100名老人，則根據(jù)題意可作出如下表格：需要陪同不需要陪同合計75歲及以上18426075歲以下43640合計2278100所以如果從該養(yǎng)老院隨機抽取一位老人，抽到的老人年齡在75歲以下的概率為40%，故選項錯誤；抽到的老人需要有人全天全天候陪同的概率為22%，故選項正確；抽到的老人年齡在75歲以下且需要有人全天候陪同的概率為4%，故選項正確；抽到的老人年齡大于等于75歲且不需要有人全天候陪同的概率為42%，故選項錯誤，故選：.12．已知一個四面體中，任意兩條異面的棱，長度相等．則下列結(jié)論中，正確的有（

）A．該四面體任意兩條異面的棱一定垂直B．該四面體任意兩組異面的棱，中點連線圍成的四邊形都是菱形C．以該四面體任意兩條棱中點為端點的線段，長度小于所有棱長中的最大值D．該四面體的任何一個面都是銳角三角形【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，將該四面體放置于長方體中，根據(jù)圖形逐項進行驗證即可求解.【詳解】因為四面體中，任意兩條異面的棱，長度相等.所以可將該四面體放置于如圖所示的長方體中，由圖可知，與不一定垂直，故選項A錯誤；兩組異面的棱的中點為長方體相對的面的中心，由圖可知四邊形為菱形，故選項B正確；以該四面體任意兩條棱中點為端點的線段的長度，為長方體的棱長，而四面體的棱長為，，，所以以該四面體任意兩條棱中點為端點的線段，長度小于所有棱長中的最大值，故選項C正確；如圖，，，，則，所以為銳角，同理可證為銳角，為銳角，所以為銳角三角形，同理可證該四面體的任何一個面都是銳角三角形，故選項D正確，故選：BCD.三、填空題13．在展開式中，的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意可得，然后由的展開式通項即可得到結(jié)果.【詳解】因為，且的展開式通項為，所以的系數(shù)是與展開式中的項的乘積的和，所以有，故答案為:14．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線交軸于點，過點的直線交該拋物線于兩點，則直線與直線的斜率之和為________．【答案】【分析】過分別作軸與準(zhǔn)線的垂線，利用直角三角形的邊角關(guān)系以及直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可得直線與直線的斜率之和.【詳解】如圖，過作的垂線，垂足為，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，則，，因為，所以，即.故答案為：.15．如圖是一種科赫曲線，其形態(tài)似雪花，又稱雪花曲線．其做法是：從一個正三角形（記為）開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間線段為底邊，分別向外作正三角形，再把此中間線段去掉，得到圖形；把的每條邊三等份，以各邊的中間線段為底邊，向外作正三角形后，再把此中間線段去掉，得到圖形；依此下去，得到圖形序列，，，，，，設(shè)的邊長為1，圖形的周長為，若，則n的值為________．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】16【分析】根據(jù)題意，先分析邊長之間的變化規(guī)律，再分析邊數(shù)的變化規(guī)律即可求出圖形的周長,從而求出n的值.【詳解】由題意可知，圖形的邊長為1，圖形的邊長為上一個圖形邊長的，圖形的邊長又是上一個圖形邊長的，……，所以各個圖形的邊長構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以圖形的邊長為，由圖可知，各個圖形的邊數(shù)構(gòu)成首項為3，公比為4的等比數(shù)列，所以圖形的邊數(shù)為，所以圖形的周長為，即，所以;故答案為：16.16．曲線與的公共切線的條數(shù)為________．【答案】2【分析】設(shè)公切線關(guān)于兩函數(shù)圖像的切點為，則公切線方程為：，則，則公切線條數(shù)為零點個數(shù).【詳解】設(shè)公切線關(guān)于兩函數(shù)圖像的切點為，則公切線方程為：，則，注意到，，則由，可得.則公切線條數(shù)為方程的根的個數(shù)，即函數(shù)的零點個數(shù).，令，則，得在，則，使得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又注意到，，則，使得，得有2個零點，即公共切線的條數(shù)為2.故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及研究兩函數(shù)公切線條數(shù)，難度較大.本題關(guān)鍵為將求公切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為求相關(guān)函數(shù)零點個數(shù)，又由題有范圍，故選擇消掉，構(gòu)造與有關(guān)的方程與函數(shù).四、解答題17．已知中，內(nèi)角的對邊分別為，且，，．(1)求；(2)若與在同一個平面內(nèi)，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）過作邊上的高，其中為垂足，分析可得，由及直角三角形的三邊關(guān)系，可得，即可得的值；（2）當(dāng)取得最大值時，與分別位于兩側(cè)，設(shè)，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角恒等變換可得，利用正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)即可得的最大值．【詳解】（1）因為，，所以為銳角，則如圖，過作邊上的高，其中為垂足，在線段上，因為，，所以為等腰直角三角形，則，又，所以從可知，所以，所以.（2）當(dāng)取得最大值時，與分別位于兩側(cè)，此時設(shè)，則，則，因此在中，由正弦定理得：，所以，因此由余弦定理得：，故當(dāng)時，取得最大值，由此可得，因此的最大值為．18．已知甲、乙兩地區(qū)2016年至2022年這七年某產(chǎn)業(yè)收入（億元）的數(shù)據(jù)如下圖所示．(1)如果從甲、乙兩地的這七年收入中各隨機抽取一年的收入，求抽得的甲地收入大于乙地收入的概率；(2)利用統(tǒng)計模型估計該產(chǎn)業(yè)2023年乙地收入會比甲地收入多多少億元．附：回歸系數(shù)、回歸方程的截距計算公式：，【答案】(1)；(2)6.3；【分析】（1）隨機抽樣的概率問題.（2）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出，即可得解；將代入（1）中回歸方程，即可得解.【詳解】（1）記從甲、乙兩地的這七年收入中各隨機抽取一年的收入為事件A；記抽得的甲地收入大于乙地收入為事件B；則事件A有種；事件B有14種，故（2）由題中統(tǒng)計表得，，所以，則，;所以甲地：y關(guān)于x的線性回歸方程為；代入（2023年）由題中統(tǒng)計表得；；所以則；所以乙地：y關(guān)于x的線性回歸方程為；代入（2023年）故估計2023年乙地收入會比甲地收入多6.3億元.19．如圖，已知平行六面體中，所有棱長均為2，底面ABCD是正方形，側(cè)面是矩形，點P為的中點，且．(1)求證：平面ABCD；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由證，又，從而得證；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值，進而求得正弦值.【詳解】（1）因為四邊形是平行四邊形，又點P為的中點，且，所以,又，所以，即因為側(cè)面是矩形，所以又平面所以平面（2）由(1)可知，平面，又所以兩兩垂直，如圖以為原點，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以設(shè)平面的一個法向量因為所以，令則所以平面的一個法向量；設(shè)平面的一個法向量因為所以，令則所以平面的一個法向量.記二面角的平面角為，所以，故二面角的正弦值20．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，且數(shù)列的前n項和為，求證：當(dāng)時，．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，后由可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，，后由數(shù)學(xué)歸納法可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題，時，有，則，則.注意到，則.（2）由（1）可得，則當(dāng)時，.故所證結(jié)論相當(dāng)于，，.當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；假設(shè)時，結(jié)論成立，則，當(dāng)時，因，，則.綜上，結(jié)論成立.21．已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為．點，直線：．(1)證明：直線與橢圓相交于兩點，且每一點與的連線都是橢圓的切線；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，與直線交于點，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知求得橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，即可證得線與橢圓相交于兩點，設(shè)交點，得直線的方程為，代入橢圓方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，即可證明的連線都是橢圓的切線；（2）根據(jù)四點共線，要證即證，設(shè)，不妨設(shè)，則證明轉(zhuǎn)化為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與直線，直線與橢圓，利用坐標(biāo)關(guān)系即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，因此，則橢圓方程為：因為由消去可得，，則該方程有兩個不相等的實根，所以直線