2023屆山東省青島市即墨區(qū)高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

2023屆山東省青島市即墨區(qū)高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則集合中元素的個數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】用列舉法寫出集合的元素即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所以集合中元素為，?個.故選：C2．已知，i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，再由實(shí)部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【詳解】解：復(fù)數(shù)，對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則，解得：．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．3．設(shè)向量，，且，則實(shí)數(shù)（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，故選:B.4．24小時內(nèi)降落在某面積上的雨水深度（無滲漏、蒸發(fā)、流失等，單位：mm）叫做日降雨量，等級如下劃分：降水量（mm）等級小雨、陣雨中雨大雨暴雨某同學(xué)用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖所示，則那天降雨屬于哪個等級（

）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】C【分析】利用圓錐內(nèi)積水的高度，求出圓錐內(nèi)積水部分的半徑，求出積水的體積，再求出平面上積水的深度，由此確定降雨等級.【詳解】作截面圖如下，由已知，，，，設(shè)圓錐內(nèi)積水部分的底面半徑為，則，故，由錐體體積公式可得積水的體積，因?yàn)槭占晁钠降孛娣e為圓錐的底面，故其面積所以對應(yīng)的平地上的積水深度為所以該天降雨的等級為大雨.故選：C.5．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，即可判斷．【詳解】不等式等價于，由可推出，由不一定能推出，例如時，，但，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由誘導(dǎo)公式把化為，再用二倍角公式變形，從而求出，再求出.把變形為再用和差角公式即可計(jì)算.【詳解】由得所以.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，所?故選：A7．函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件分段求解析式及對應(yīng)函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】因，又當(dāng)時，，當(dāng)，，時，，則，，當(dāng)，，時，，則，，作出函數(shù)的大致圖象，對任意，都有，設(shè)的最大值為，則，且所以，解得所以m的最大值為.故選：A.8．已知，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法結(jié)合基本不等式可得出、的大小關(guān)系，利用中間值結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以，，則，因?yàn)?，所以，，則，所以因?yàn)?，即，因此?故選：C.二、多選題9．a(chǎn)，b為兩條直線，，為兩個平面，則以下命題不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，，則 D．若，，則【答案】ABC【分析】對A，注意判斷的情況；對B，注意可能相交或異面；對C，討論a，b的相交情況，即可判斷；對D，根據(jù)平面平行的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對A，由，，可得或，A錯誤；對B，由，，可得直線可能相交，異面或平行，B錯誤；對C，，則當(dāng)相交時，；當(dāng)平行時，則或相交，C錯誤；對D，由，，根據(jù)平行平面的性質(zhì)可得，D正確，故選：ABC.10．圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于、兩點(diǎn)，且，則（

）A．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．圓關(guān)于直線對稱C．經(jīng)過點(diǎn)與圓相交弦長最短的直線方程為D．若是圓上一動點(diǎn)，則的最大值為【答案】BC【分析】求出圓的方程，可判斷A選項(xiàng)；判斷圓心與直線的位置關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)；求出過點(diǎn)與圓相交弦長最短的直線方程，可判斷C選項(xiàng)；由圓的幾何性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)閳A與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于、兩點(diǎn)，則圓心的橫坐標(biāo)為，且圓心在第一象限，設(shè)圓心，其中，則圓的半徑為，圓心到軸的距離為，所以，，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A錯；對于B選項(xiàng)，圓心為，因?yàn)?，所以，圓心在直線，所以，圓關(guān)于直線對稱，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，點(diǎn)在圓內(nèi)，記點(diǎn)，則，當(dāng)與過點(diǎn)的弦垂直時，經(jīng)過點(diǎn)與圓相交弦長最短，此時弦所在直線的斜率為，故所求直線的方程為，即，C對；對于D選項(xiàng)，記點(diǎn)，因?yàn)?，則點(diǎn)在圓外，，由圓的幾何性質(zhì)可知，所以，，D錯.故選：BC.11．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，方程有兩個解【答案】AC【分析】結(jié)合在定義域內(nèi)單調(diào)性，判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在單調(diào)性，由此判斷B；判斷函數(shù)，在上的單調(diào)性，由此判斷C；，舉反例判斷D.【詳解】在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，，所以，故A正確；當(dāng)時，要證明，只需證明，故考慮構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，所以B錯誤；設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，C正確；取可得，方程等價于，解得，即時，方程只有一個解，D錯誤.故選：AC.12．?dāng)?shù)列共有M項(xiàng)（常數(shù)M為大于5的正整數(shù)），對于任意正整數(shù)，都有，且當(dāng)時，，記的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．對任意小于M的正整數(shù)i，j，一定存在正整數(shù)p，q，使得D．對中任意一項(xiàng)，必存在中兩項(xiàng)，使，，按照一定的順序排列可以構(gòu)成等差數(shù)列.【答案】ACD【分析】根據(jù)題中的條件可得數(shù)列具有對稱性，故通過對稱性及根據(jù)對稱性舉例來判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，故，所以，A正確；對于B，因?yàn)椋?，所以，又?dāng)時，，所以，B錯誤，對于C，當(dāng)為偶數(shù)時，由可得若，則，則，同理可得若，則，，當(dāng)為奇數(shù)時，由可得若，則，則，同理可得若，則，，所以要證明對任意小于M的正整數(shù)i，j，一定存在正整數(shù)p，q，使得，只需證明對任意的小于等于的正整數(shù)，一定存在正整數(shù)p，q，使得，又當(dāng)時，，所以原命題成立，C正確；對于D，當(dāng)為偶數(shù)時，若，則，取，，此時成等差數(shù)列，若，則，取，，此時成等差數(shù)列，若，則，取，，此時成等差數(shù)列，當(dāng)時，可得，，因?yàn)榇嬖谂c所以存在與按照一定的順序排列可以構(gòu)成等差數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，只需考慮的情況，（其它情形與為偶數(shù)的情況一樣），此時取，，可得成等差數(shù)列，D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】知識點(diǎn)點(diǎn)睛：本題為數(shù)列綜合問題，主要考查等差數(shù)列的概念，等比數(shù)列的求和公式和數(shù)列的性質(zhì)，屬于較難題，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力.三、填空題13．偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，則________．【答案】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的對稱性可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得，即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，又由函數(shù)為偶函數(shù)，則，故；故答案為：．14．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是__________.【答案】【分析】先判斷出，且.令，利用判別式法求出的最小值.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b滿足，所以，且.令，則，所以，代入，則有，所以關(guān)于b的一元二次方程有正根，只需，解得：.此時，關(guān)于b的一元二次方程的兩根，所以兩根同號，只需，解得.綜上所述：.即的最小值是（此時，解得：）.故答案為：.15．設(shè)函數(shù)，其中，且，將的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原米的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到圖象，則在區(qū)間上的最小值為________.【答案】/【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換求出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以，將的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原米的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得，再將得到的圖象向左平移個單位，得到圖象，則，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時，有最小值為，故答案為:.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線l傾斜角為，交C于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作C的切線，，其交點(diǎn)為，，與x軸的交點(diǎn)分別為，則四邊形的面積為________.【答案】4【分析】設(shè)出和切線，的方程，聯(lián)立切線方程和拋物線方程，利用，得到，，進(jìn)而求出直線方程，從而求出，再利用，將問題轉(zhuǎn)化求的長度，利用條件得出，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè),，易知過兩點(diǎn)的拋物線C的切線，斜率均存在，不妨設(shè)，，聯(lián)立，消得到，即，所以，又，所以，得到，所以，即，也即，同理可得直線為，又因?yàn)橹本€與交于，所以可得，，從而得到直線的方程為，又因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)且傾斜角為，所以得到，即，且直線直線的方程為又由，令，得到，即，由，令，得到，即，又由，消得到，由韋達(dá)定理得，所以，又易知，所以四邊形的面積為，故答案為：4.四、解答題17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，；為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)，求的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）把，基本量化，從而可求得；利用和與項(xiàng)的關(guān)系可求解；（2）求得，從而裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為則解得，，（），（）滿足，（2）因?yàn)?，所?18．某超市正在銷售一種飲品，銷售人員發(fā)現(xiàn)日銷量與當(dāng)日的氣溫有關(guān)，隨著氣溫的升高，銷售量也有明顯的增加，下表是該商場連續(xù)五天的日銷售情況：溫度溫度變量12345銷售量（萬份）1其中，溫度變量對應(yīng)的銷售量為.(1)建立銷售量關(guān)于溫度變量的一元線性回歸模型，并估計(jì)溫度在，（）區(qū)間時的該飲品的日銷售量；（附：）(2)為了了解消費(fèi)群體中男女對該飲品的喜歡程度，銷售人員隨機(jī)采訪了220名消費(fèi)者，將他們的意見進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到了2×2列聯(lián)表為：喜歡一般合計(jì)女9020110男7040110合計(jì)16060220依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡程度與性別有關(guān)聯(lián)？附：，.k(3)超市銷售該飲品一個階段后，統(tǒng)計(jì)了100天的日銷售量，將100個樣本數(shù)據(jù)分成，，，，（單位：百份）五組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100天的日均銷售量.【答案】(1)，萬份(2)能認(rèn)為喜歡程度與性別有關(guān)聯(lián)(3)份【分析】(1)根據(jù)表格所給的數(shù)據(jù)求出，，,代入公式計(jì)算，，即可求出回歸方程，再把代入所求的回歸方程即得；(2)根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)求出，再結(jié)合題目所給的表格的數(shù)據(jù)判斷；(3)根據(jù)直方圖所給的數(shù)據(jù)代入平均數(shù)公式即可計(jì)算.【詳解】（1）,，銷售量關(guān)于溫度變量的回歸方程為：當(dāng)，所以，溫度在區(qū)間時的該冷品的日銷售量估計(jì)為萬份.（2）所以，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為喜歡程度與性別有關(guān)聯(lián).（3）設(shè)天的日均銷售量為，則，這天的日均銷售量約為份·19．如圖，在中，，在邊上.(1)若，求的長；(2)若，求DC長.【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用余弦定理解三角形即可；（2）先應(yīng)用兩角和的正弦值，再應(yīng)用正弦定理求解即得.【詳解】（1）在中，由余弦定理·，在中，由余弦定理·（2）由（1）知，，，，·，在由正弦定理得解得·20．已知平面四邊形ABCE（圖1）中，，均為等腰直角三角形，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，，，沿AC將翻折至位置（圖2），拼成三棱錐D-ABC.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)二面角的二面角為60°時，①求直線與平面所成角的正弦值；②求C點(diǎn)到面ABD的距離.【答案】(1)證明見解析(2)①；②【分析】（1）證明，由線面垂直判定定理證明平面，再由面面垂直判定定理證明平面平面；（2）①證明為二面角的平面角，取的中點(diǎn)，由面面垂直判定定理證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量和平面的法向量，利用向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值；②求向量在平面的法向量上的投影向量的長度即可.【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)?，所?又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，?）①因?yàn)椋跃褪嵌娼堑钠矫娼?，由已知，因?yàn)闉橐詾樾边叺牡妊苯侨切?，為的中點(diǎn)，所以，又，所以為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以面如圖，以直線為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)面的一個法向量則有，所以，取，則，所以為平面的一個法向量，，所以，所以直線與面所成角的正弦值為·②，點(diǎn)到面的距離21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若存在，使成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)先求導(dǎo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)方程得切線的斜率，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程，由方程求出切線與軸的交點(diǎn)即可求出三角形的面積.(2)令，則只要函數(shù)在區(qū)間的最小值小于的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值，最后求出a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，，所以曲線在處的切線的斜率，又，切線方程為.與軸的交點(diǎn)分別是，切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積·（2）存在，使即，即.即存在，使成立.令，因此，只要函數(shù)在區(qū)間的最小值小于即可·下面求函數(shù)在區(qū)間的最小值.，令，因?yàn)?，所以為上的增函?shù)，且.在恒成立·在遞調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間的最小值為，，得.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵點(diǎn)在于把不等式能成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，在這類問題中，最容易