2023屆全國(guó)乙卷高三上學(xué)期第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試題

2023屆全國(guó)乙卷高三上學(xué)期第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解集合與集合的補(bǔ)集，利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)槿?，集合，，則，，故.故選：B.2．設(shè)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則及模的運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意，，，．故選：A.3．已知向量，，且//，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的平行關(guān)系來(lái)求參數(shù)即可.【詳解】由題可知，，因?yàn)椤?，所以有故選：D4．已知等差數(shù)列，，，…，，，前6項(xiàng)和為10，最后6項(xiàng)和為110，所有項(xiàng)和為360，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)（

）A．26 B．30 C．36 D．48【答案】C【分析】由、，兩式相加得，再利用等差數(shù)列的求和公式求和可得答案.【詳解】由題意知，，兩式相加得，所以，又，所以．故選：C．5．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】A【分析】由題設(shè)條件可得，從而利用換底公式的推論可得，代入要求最小值的代數(shù)式中，消元，利用均值不等式求最值【詳解】又，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)故選：A6．如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，則與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐，利用等體積法求到面的距離，結(jié)合線(xiàn)面角的定義求與平面所成角的大小.【詳解】將棱臺(tái)補(bǔ)全為如下棱錐，由，，，易知：，，由平面，平面，則，，所以，，故，所以，若到面的距離為h，又，則，可得，綜上，與平面所成角，則，即.故選：A7．為推動(dòng)就業(yè)與培養(yǎng)有機(jī)聯(lián)動(dòng)、人才供需有效對(duì)接，促進(jìn)高校畢業(yè)生更加充分更高質(zhì)量就業(yè)，教育部今年首次實(shí)施供需對(duì)接就業(yè)育人項(xiàng)目．現(xiàn)安排甲、乙兩所高校與3家用人單位開(kāi)展項(xiàng)目對(duì)接，若每所高校至少對(duì)接兩家用人單位，則兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型與對(duì)立事件的概率公式求解即可【詳解】因?yàn)槊克咝Ｖ辽賹?duì)接兩家用人單位，所以每所高校共有種選擇，所以甲、乙兩所高校共有種選擇，其中甲、乙兩所高校的選擇涉及兩家用人單位的情況有種，所以甲、乙兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為，故選：D8．已知數(shù)列的各項(xiàng)互異，且，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由題意得可得，代入化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】由題意，得，則，即，所以.故選：C.9．千百年來(lái)，我國(guó)勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語(yǔ)，如“天上鉤銷(xiāo)云，地上雨淋林”“日落云里走，雨在半夜后”……小明同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下列聯(lián)表：夜晚天氣日落云里走下雨不下雨出現(xiàn)255不出現(xiàn)2545臨界值表并計(jì)算得到，下列小明對(duì)地區(qū)天氣判斷正確的是（

）A．夜晚下雨的概率約為B．未出現(xiàn)“日落云里走”，但夜晚下雨的概率約為C．出現(xiàn)“日落云里走”，有99.9%的把握認(rèn)為夜晚會(huì)下雨D．有99.9%的把握認(rèn)為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)【答案】D【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可對(duì)A,B選項(xiàng)判斷,根據(jù)對(duì)立性檢驗(yàn)即可判斷C,D.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知,夜晚下雨的概率約為,所以A錯(cuò).未出現(xiàn)“日落云里走”，但夜晚下雨的概率約為,故B錯(cuò).,對(duì)照臨界值表可知,有99.9%的把握認(rèn)為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān),但不能說(shuō)有99.9%的把握認(rèn)為夜晚會(huì)下雨,故C錯(cuò),D對(duì).故選:D10．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中不正確的是（）A．若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線(xiàn)段B．存在Q點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】B【分析】取中點(diǎn)，證明平面，得動(dòng)點(diǎn)軌跡判斷A，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，由與此法向量平行確定點(diǎn)位置，判斷B，利用空間向量法求得到到平面距離的最大值，確定點(diǎn)位置判斷C，利用勾股定理確定點(diǎn)軌跡，得軌跡長(zhǎng)度判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，分別取中點(diǎn)，連接，，由與，平行且相等得平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，連接，，，所以，同理平面，，平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，所以平面，即點(diǎn)軌跡是線(xiàn)段，A正確；選項(xiàng)B，以為原點(diǎn)，據(jù)直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)（），，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，若平面，則，所以存在，使得，同，解得，因此正方形內(nèi)（含邊界）不存在點(diǎn)，使得平面，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，，到平面的距離為，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最大值1，時(shí)，，時(shí)，有最大值，綜上，時(shí)，取得最大值1，故與重合時(shí)，取得最大值，三棱錐的體積最大，C正確；選項(xiàng)D，平面，平面，，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，圓心角是，軌跡長(zhǎng)度為，D正確．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，解題關(guān)鍵是勾畫(huà)出過(guò)且與平面平行的平面，由體積公式，在正方形內(nèi)的點(diǎn)到平面的距離最大，則三棱錐體積最大．11．已知雙曲線(xiàn)：（，），過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在右支上），雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)（異于點(diǎn)）滿(mǎn)足，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）.A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】由題意設(shè)（），，由點(diǎn)差法可得，而，，化簡(jiǎn)可得，從而可求出雙曲線(xiàn)的離心率【詳解】由題意設(shè)（），，則，兩式相減得，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以離心率，故選：A12．定義域?yàn)镽的函數(shù)滿(mǎn)足：①對(duì)任意，都有；②函數(shù)的圖象關(guān)于ys，t滿(mǎn)足，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】現(xiàn)根據(jù)題目對(duì)函數(shù)性質(zhì)的描述得出函數(shù)是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而得到，去絕對(duì)值得到不等式組，利用線(xiàn)性規(guī)劃求解即可.【詳解】由題，由條件①結(jié)合單調(diào)性定義可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由條件②可知，函數(shù)向左平移2個(gè)單位關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)則說(shuō)明關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；所以是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的函數(shù)；若實(shí)數(shù)s，t滿(mǎn)足，結(jié)合圖像，則說(shuō)明橫坐標(biāo)距離越近，函數(shù)值就越?。凰钥傻藐P(guān)于實(shí)數(shù)s，t的不等式，兩邊平方得所以得：①或②；令,畫(huà)出不等式組可行域：聯(lián)立方程組得點(diǎn)；，令，由此的范圍可看作點(diǎn)A與B，C兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率的范圍，即，所以所以故選：A二、填空題13．設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】11【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線(xiàn)，觀察該直線(xiàn)在軸上截距最大值即可求出答案.【詳解】作出不等式組所表示的可行域，如下圖，平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最大值．聯(lián)立，解得：，所以z取得最大值為：11.故答案為：11.14．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為9，則a的值為_(kāi)_____．【答案】1【分析】由題得，再借助二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)分兩種情況討論得解.【詳解】解：，且展開(kāi)式的通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的系數(shù)為.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的系數(shù)為.展開(kāi)式中的系數(shù)為，．故答案為：115．函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為_(kāi)________【答案】【分析】根據(jù)的對(duì)稱(chēng)中心為可求解.【詳解】令，，解得，所以對(duì)稱(chēng)中心為.故答案為:.16．已知，若存在，使得，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】先討論、與1的大小關(guān)系確定、，進(jìn)而確定的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.【詳解】①當(dāng)時(shí)，則，，又由，得，所以，則；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以不存在，使得；③?dāng)時(shí)，則，，又由，得，則，，令，則在上單調(diào)遞增，所以，則；綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.三、解答題17．某企業(yè)招聘，一共有名應(yīng)聘者參加筆試他們的筆試成績(jī)都在內(nèi)，按照，，…，分組，得到如下頻率分布直方圖：(1)求圖中的值；(2)求全體應(yīng)聘者筆試成績(jī)的平均數(shù)；（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表）(3)該企業(yè)根據(jù)筆試成績(jī)從高到低進(jìn)行錄取，若計(jì)劃錄取人，估計(jì)應(yīng)該把錄取的分?jǐn)?shù)線(xiàn)定為多少.【答案】(1)(2)(3)65分【分析】（1）由所有頻率和為1，列方程求出的值，（2）由平均數(shù)公式求解即可，（3）設(shè)分?jǐn)?shù)線(xiàn)定為，根據(jù)頻率分布直方圖可知，列出方程估計(jì)錄取的分線(xiàn)【詳解】(1)由題意得，解得(2)這些應(yīng)聘者筆試成績(jī)的平均數(shù)為(3)根據(jù)題意，錄取的比例為，設(shè)分?jǐn)?shù)線(xiàn)定為，根據(jù)頻率分布直方圖可知，則，解得，所以估計(jì)應(yīng)該把錄取的分?jǐn)?shù)線(xiàn)定為65分18．在平面五邊形ABCDE中，已知，(1)當(dāng)時(shí)，求DC；(2)當(dāng)五邊形ABCDE的面積時(shí)，求BC的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)余弦定理，結(jié)合五邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)五邊形的面積，結(jié)合梯形面積公式進(jìn)行求解即可；【詳解】(1)連結(jié)EB，在中，，，由余弦定理可得，，所以，同時(shí)可得，，又由五邊形內(nèi)角和可求得，所以，進(jìn)而四邊形BCDE為等腰梯形過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BE于M，可求得，進(jìn)而；(2)，又，所以，設(shè)邊長(zhǎng)為x，所以，則化簡(jiǎn)整理得，解得，或，又，，所以BC的取值范圍是.19．如圖，正方形與直角梯形所在平面相互垂直，，，.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)題目條件可證明出四邊形為平行四邊形，則，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可證明出平面；（2）利用等體積法先計(jì)算三棱錐的體積，然后計(jì)算出，利用計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】解：（1）設(shè)，取中點(diǎn)，連接、，∵四邊形是正方形，∴是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形是直角梯形，，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面，即平面；（2）∵，平面，平面，∴平面，∵，平面平面，平面，平面平面，∴平面，∴，∵平面，平面，∴，，∵，平面平面，平面，平面平面，∴平面，又平面，∴，在中，，，，在中，，，∴，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得：，即，∴.【點(diǎn)睛】計(jì)算空間點(diǎn)到面距離的一般方法有：（1）定義法：過(guò)已知點(diǎn)作面的垂線(xiàn)，計(jì)算垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度即可；（2）利用等體積法求解；（3）空間向量法：求解點(diǎn)到平面的距離時(shí)，先計(jì)算平面的法向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，利用求解即可.20．已知函數(shù)．（Ⅰ）設(shè)函數(shù)在和處的切線(xiàn)交直線(xiàn)于兩點(diǎn)，求；（Ⅱ）設(shè)為函數(shù)的最小值，求證：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，得切線(xiàn)方程，然后求得交點(diǎn)坐標(biāo)后可得線(xiàn)段長(zhǎng)；（Ⅱ）由零點(diǎn)存在定理得存在一個(gè)零點(diǎn)，并求出最小值，利用化簡(jiǎn)后根據(jù)可證上得結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．

所以．又因?yàn)?，因此在和處的切線(xiàn)方程分別為和．

令，可得和的坐標(biāo)分別為和，故．

（Ⅱ）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，而，所以必然存在，滿(mǎn)足，

且當(dāng)）時(shí)，當(dāng)時(shí)．

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值．

由可得，所以．

當(dāng)時(shí)，，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．求最值時(shí)在極值點(diǎn)不能直接求出時(shí)，對(duì)極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）進(jìn)行定性分析：確定其取值范圍，利用注意得出滿(mǎn)足的性質(zhì)，代入化簡(jiǎn)表達(dá)式后再求解．21．如圖，橢圓的兩頂點(diǎn)，，離心率，過(guò)y軸上的點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)Q.(1)當(dāng)且時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P異于A，B兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)分別為，，是否存在常數(shù)使成立，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)或(2)存在，【分析】（1）先求得橢圓的方程，再以設(shè)而不求的方法即可求得直線(xiàn)l的方程；（2）先以設(shè)而不求的方法得到的解析式，再去計(jì)算是否為定值即可解決.【詳解】(1)橢圓的方程，由題可得；由，結(jié)合，得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，，與題意不符，故設(shè)直線(xiàn)l的方程為，代入橢圓方程整理得，設(shè)，，，；，解得.則直線(xiàn)l的方程為或.(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l與y軸重合，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，不符合題意；由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程：代入橢圓方程，得；設(shè)，，，；①直線(xiàn)的方程為②則直線(xiàn)的方程為③由②③得由①代入，得，解得，即；且知；（常數(shù)）即點(diǎn)P與點(diǎn)Q22．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心坐標(biāo)為且過(guò)原點(diǎn)，橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的普通方程；（2）若曲線(xiàn)與圓相交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）求出圓的普通方程，再利用普通方程與極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系可得出圓的極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可求得曲線(xiàn)的普通方程；（2）求出的值，設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離，由三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】（1）依題意：圓的半徑，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，得，由，，，得的極坐標(biāo)方程為，由，得的普通方程為；（2）由（1）知的極坐標(biāo)方程為，的普通方程為，將代入得，.設(shè)，則到的距離（其中）,，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，.【點(diǎn)睛】在已知極坐標(biāo)方程求曲線(xiàn)交點(diǎn)、距離、線(xiàn)段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí)，如果不能直接用極