《正弦定理和余弦定理》新課程高中數(shù)學(xué)高三第一輪學(xué)案和測評復(fù)習(xí)課件

?正弦定理和余弦定理?新課程高中數(shù)學(xué)高三第一輪學(xué)案和測評(cèpínɡ)復(fù)習(xí)課件第一頁，共40頁。2.三角形常用面積公式(1)S=ah(h表示三角形長為a的邊上的高）.(2)S=ah=acsinB=bcsinA=absinC.(3)S=r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑）.3.余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即

或第二頁，共40頁。典例分析(fēnxī)題型一正弦定理(dìnglǐ)和余弦定理(dìnglǐ)的應(yīng)用分析兩邊和其中一邊的對角的解三角形問題，可運(yùn)用正弦(zhèngxián)定理來求解，但應(yīng)注意解的情況.或借助余弦定理，先求出邊c后，再求出角C與角A.4.勾股定理是余弦定理的特殊情況在余弦定理表達(dá)式中分別令A(yù)、B、C為90°,則上述關(guān)系式分別化為：,,.【例1】在△ABC中，已知a=,b=,B=45°，求A、C和c.第三頁，共40頁。解方法(fāngfǎ)一:∵B=45°<90°,且b<a,∴問題有兩解.由正弦定理，得sinA=∴A=60°或A=120°.(1)當(dāng)A=60°時(shí)，C=180°-A-B=75°,∴c=(2)當(dāng)A=120°時(shí)，C=180°-A-B=15°,∴c=故A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.第四頁，共40頁。方法二:由余弦定理有即整理得解得c=或c=.又cosA=①當(dāng)a=,b=,c=時(shí),由①可得cosA=-,故A=120°;當(dāng)a=,b=,c=時(shí)，由①可得cosA=,故A=60°.故A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.第五頁，共40頁。學(xué)后反思對于解三角形，假設(shè)兩邊和其中(qízhōng)一邊的對角，要注意解的個(gè)數(shù)，往往需要分類討論.用正弦定理，那么對角進(jìn)行分類討論；用余弦定理，那么對邊進(jìn)行分類討論.舉一反三(jǔyīfǎnsān)1.在△ABC中，a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角C的正弦(zhèngxián)值.解析:∵a>c>b,∴角A為最大角.由余弦定理有cosA=∴A=120°，∴sinA=,再根據(jù)正弦定理，有∴sinC=第六頁，共40頁。題型二三角形的面積(miànjī)問題分析三角形外接圓的直徑是和正弦定理聯(lián)系在一起的，已經(jīng)知道了A=60°,只要再能求出邊a,問題就解決了，結(jié)合條件(tiáojiàn)求邊a是解決問題的關(guān)鍵.【例2】在△ABC中，A=60°,b=1,其面積為,則△ABC外接圓的直徑是.解由題意知，=bcsinA,所以c=4.由余弦定理知：a=再由正弦定理2R=即△ABC外接圓的直徑是.第七頁，共40頁。舉一反三(jǔyīfǎnsān)學(xué)后反思要注意正弦定理的統(tǒng)一形式：(其中R為三角形外接圓的半徑），這個(gè)定理還可以寫成a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC,或等形式.2.（2009·北京）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,B=,cosA=,b=.(1)求sinC的值；（2）求△ABC的面積.第八頁，共40頁。解析〔1〕∵角A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且B=，cosA=,∴(2)由〔1〕知.又∵B=,b=,∴在△ABC中，由正弦定理(dìnglǐ)得.于是△ABC的面積S=12absinC=.題型三判斷(pànduàn)三角形的形狀【例3】在△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,試判斷(pànduàn)三角形的形狀.第九頁，共40頁。分析判定三角形的類型(lèixíng)，一般是從題設(shè)條件出發(fā)，依正弦定理、余弦定理和面積公式，運(yùn)用三角函數(shù)式或代數(shù)式的恒等變形導(dǎo)出角或邊的某種特殊關(guān)系，從而判定三角形的類型(lèixíng).解方法一:由正弦定理，設(shè)=k>0，∴a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,代入已知條件得ksinAcosA+ksinBcosB=ksinCcosC,即sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC.根據(jù)二倍角公式得sin2A+sin2B=sin2C,sin［(A+B)+(A-B)］+sin［(A+B)-(A-B)］=2sinCcosC,∴2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC.∵A+B+C=πA+B=π-C,∴sin(A+B)=sinC≠0,∴cos(A-B)=cosC,∴cos(A-B)+cos(A+B)=0,∴2cosAcosB=0cosA=0或cosB=0,即A=90°或B=90°,∴△ABC是直角三角形.第十頁，共40頁。方法二:由余弦定理知cosA=cosB=cosC=代入已知條件得a·+b·+c·=0,通分得展開整理得即或.根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形.學(xué)后反思（1）判斷三角形的形狀，主要有兩條思路：一是化角為邊，二是化邊為角.（2）若等式兩邊是關(guān)于三角形的邊或內(nèi)角正弦函數(shù)齊次式，則可以根據(jù)正弦定理互相轉(zhuǎn)化.如asinA+bsinB=csinC第十一頁，共40頁。舉一反三(jǔyīfǎnsān)答案(dáàn)：C3.△ABC中，,判斷三角形的形狀是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析：由正弦定理得,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.又因?yàn)锳,B∈(0,π),所以A=B或A+B=90°.第十二頁，共40頁。題型四正、余弦定理(yúxiándìnɡlǐ)的綜合應(yīng)用【例4】(12分)△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且（1）求角A的大小；（2）若a=,求bc的最大值；（3）求的值.分析（1）由的結(jié)構(gòu)形式，可聯(lián)想余弦定理，求出cosA,進(jìn)而求出A的值.（2）由a=及,可求出關(guān)于b,c的關(guān)系式，利用不等式即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可實(shí)現(xiàn)將邊化角的功能，從而達(dá)到化簡求值的目的.第十三頁，共40頁。解

(1)∵cosA=……………1′∴A=120°…………………..2′(2)由a=,得…….3′又∵≥2bc(當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號）,∴3-bc≥2bc(當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號），………………..4′即當(dāng)且僅當(dāng)c=b=1時(shí),bc取得最大值為1…..6′(3)由正弦定理，得…….7′∴

……………..12′第十四頁，共40頁。學(xué)后反思(1)在三角形中求角，往往選擇先求該角的余弦值，然后利用余弦函數(shù)在〔0，π〕上的單調(diào)性求角.(2)正、余弦定理均能實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，在解題時(shí)一定要注意根據(jù)條件(tiáojiàn)的形式，選擇轉(zhuǎn)化方式.舉一反三(jǔyīfǎnsān)4.在△ABC中，A、B、C所對的邊長分別為a、b、c.設(shè)a、b、c滿足條件和,求A和tanB的值.解析：由余弦定理cosA=,因此A=60°.在△ABC中，C=180-A-B=120°-B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理,得解得cotB=2,從而tanB=.第十五頁，共40頁。易錯(cuò)警示(jǐnɡshì)【例】在△ABC中，若C=3B,求的取值范圍.錯(cuò)解∵錯(cuò)解分析上面解答忽視了隱含條件B的范圍.∵C=3B,A=π-4B>0,即0<B<,∴0<sinB≤1.第十六頁，共40頁?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)演練正解∵A+B+C=π,∴C=3B，∴A=π-4B>0，∴0<B<,∴0<<.又∵∴1<3-4<3，∴1<<3.(2010·東營模擬）在△ABC中，BC=a,AC=b,a、b是方程的兩根且2cos(A+B)=1,則AB=

.解析(jiěxī):設(shè)AB=c,第十七頁，共40頁。11.在△ABC中，sinC=2sin(B+C)cosB,判斷(pànduàn)△ABC的形狀.解析：方法一：由sinC=2sin(B+C)cosB,得sinC=2sinA·cosB.再結(jié)合正、余弦定理，得,整理得,所以△ABC是等腰三角形.方法二：由sinC=2sinAcosB,得sin(A+B)=2sinAcosB,整理得sin(A-B)=0,從而(cóngér)A=B,所以△ABC是等腰三角形.12.(2009·浙江)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,且滿足,AB·AC=3.(1)求△ABC的面積；（2）若b+c=6,求a的值.第十八頁，共40頁。解析(jiěxī)：〔1〕∵,∴.由AB·AC=3，得bccosA=3,∴bc=5.∴S△ABC=bcsinA=2.(2)由〔1〕知，bc=5,又b+c=6,∴b=5,c=1或b=1,c=5.由余弦定理，得,∴a=.第十九頁，共40頁。第八節(jié)正、余弦定理的應(yīng)用(yìngyòng)舉例根底(gēndǐ)梳理1.解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.2.解三角形的類型（1）已知三邊求三角，用余弦定理；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角，用余弦定理；（3）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角，用正弦定理；（4）已知兩邊和一邊的對角，求第三邊和其他兩角，用正弦定理.第二十頁，共40頁。典例分析(fēnxī)題型一正、余玄定理的綜合(zōnghé)應(yīng)用【例1】如圖，在△ABC中，BC=5，AC=4，cos∠CAD=且AD=BD，求△ABC的面積(miànjī).分析解答此題可先由余弦定理求出CD的長，再利用正弦定理求∠C的正弦值，最后根據(jù)S=BC·AC·sinC求解△ABC的面積解設(shè)CD=x，則AD=BD=5-x，在△CAD中，由余弦定理可知：,解得x=1.在△CAD中，由正弦定理可知：第二十一頁，共40頁。∴S△，∴三角形ABC的面積為.學(xué)后反思(1)求三角形的面積時(shí)，要充分挖掘題目中的條件將其轉(zhuǎn)化為求兩邊(liǎngbiān)及夾角正弦的問題，要注意方程思想在解題中的應(yīng)用.〔2〕由α+β=180°，得cosα=-cosβ和sinα=sinβ，這是解三角形中經(jīng)常用到的等量關(guān)系.第二十二頁，共40頁。舉一反三(jǔyīfǎnsān)如圖，在四邊形ABCD中，BC=a,DC=2a,四個(gè)內(nèi)角(nèijiǎo)A、B、C、D的度數(shù)之比為3∶7∶4∶10，求AB的長.解析：設(shè)四個(gè)內(nèi)角A、B、C、D的大小為3x、7x、4x、10x(x>0),由四邊形內(nèi)角和為360°，得3x+7x+4x+10x=360°,∴x=15°,

即A=45°,B=105°,C=60°,D=150°.連接BD，在△BCD中，由余弦定理，得.此時(shí)，,∴△BCD為直角三角形，且∠BDC=30°，∴∠ADB=150°-30°=120°.在△ABD中，∵,第二十三頁，共40頁。題型二構(gòu)造(gòuzào)三角形模型解應(yīng)用題分析“最快截住〞是指“機(jī)器人從點(diǎn)B沿直線(zhíxiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)和足球在直線(zhíxiàn)AD上的點(diǎn)C處相遇〞，此時(shí)CD=2BC，將問題歸結(jié)到△ABC中，用余弦定理解決.【例2】(12分)一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)1號機(jī)器人由點(diǎn)A開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng).如圖所示，已知AB=dm,AD=17dm,∠BAC=45°.若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在何處截住足球？∴第二十四頁，共40頁。學(xué)后反思此題中機(jī)器人在從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)必須選擇一個(gè)方向，在這個(gè)方向上沿直線運(yùn)動(dòng)恰好(qiàhǎo)與足球在直線AD上的點(diǎn)C相遇，這樣才能到達(dá)“最快截住〞的目的，否那么就不是“最快截住〞.這樣就可以把問題歸結(jié)到一個(gè)三角形中，用正、余弦定理來解決問題.解設(shè)該機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球，點(diǎn)C在線段AD上，設(shè)BC=xdm,由題意知，CD=2xdm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得，-2AB·AC·cosA，即-2××(17-2x)·cos45°.解得=5dm,=dm，∴AC=17-2x=7dm或-dm(不合題意，舍去).所以該機(jī)器人最快可在線段AD上離點(diǎn)A7dm的點(diǎn)C處截住足球.第二十五頁，共40頁。舉一反三(jǔyīfǎnsān)2.如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里.問：乙船每小時(shí)航行多少海里？解析：方法一：如圖，連接，由已知

,∴.又=180°-120°=60°,∴△是等邊三角形，∴由已知,=20,∠=105°-60°=45°,在△1中，由余弦定理得第二十六頁，共40頁。因此，乙船的速度為×60=（海里/小時(shí)）.方法二:如圖，連接,由已知=20,∠=105°,cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=在△中，由余弦定理，得第二十七頁，共40頁。由正弦定理得,即∠=60°-45°=15°,cos15°=sin105°=在△中，由已知由余弦定理得∴乙船的速度為（海里/小時(shí)）.第二十八頁，共40頁?！纠?】(12分)某觀測站C在A城的南偏西20°的方向(fāngxiàng).由A城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測得公路上B處有一人距C為31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到達(dá)D處，此時(shí)CD間的距離為21千米，問這人還要走多少千米可到達(dá)A城？分析(fēnxī)此題為解斜三角形的應(yīng)用問題，要求這人要走多少路可到達(dá)A城，也就是要求AD的長，在△ADC中，CD=21千米，∠CAD=60°，只需再求出一個(gè)量即可.解設(shè)∠ACD=α,∠CDB=β,在△CDB中，由余弦定理得：

,……4′則sinβ=,………5′而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-cosβsin60°=,………….7′在△ADC中，由正弦定理得第二十九頁，共40頁。∴AD==15(千米(qiānmǐ))……………11′答：這個(gè)(zhège)人再走15千米就可到達(dá)A城………………12′學(xué)后反思測量距離問題(wèntí)的解題思路是把所要求的問題(wèntí)轉(zhuǎn)化到三角形中，然后利用正弦定理、余弦定理求解.常見錯(cuò)誤：〔1〕讀不懂題意，從而不能準(zhǔn)確作圖、建模；〔2〕算法不簡練，算式不工整，計(jì)算不準(zhǔn)確；〔3〕有單位時(shí)漏單位或不作答.3.（2009·遼寧）如圖，A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點(diǎn)與D點(diǎn)的仰角均為60°，AC=0.1km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，≈1.414,≈2.449）.舉一反三第三十頁，共40頁。解析：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°-∠DAC=30°，∴CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,∴CB是△CAD底邊(dǐbiān)AD的中垂線，∴BD=BA，即B、D間的距離與A、B間的距離相等.在△ABC中,因此,BD=≈0.33〔km〕.∴B、D的距離約為0.33km.第三十一頁，共40頁。題型三三角形與函數(shù)的綜合(zōnghé)問題【例3】在△ABC中，若AB=AC，則cosA+cosB+cosC的取值范圍為()A.B.C.D.分析易用余弦定理把原式化成“邊”的形式，又AB=AC，即b=c,B=C,則可把cosA+cosB+cosC轉(zhuǎn)化為以為自變量的二次函數(shù).解由于AB=AC,所以b=c,B=C,由余弦定理得cosA+cosB+cosC=由于b+c＞a,即2b＞a,所以0＜＜2,于是1＜≤.故選B.第三十二頁，共40頁。舉一反三(jǔyīfǎnsān)學(xué)后反思

解決三角形中的有關(guān)問題時(shí)，主要通過正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化，但也要注意一些隱含條件的利用.例如，在三角形中，兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,大邊對大角,最大內(nèi)角的取值范圍是[,π),最小內(nèi)角的取值范圍是(0,]等.3.在△ABC中，已知內(nèi)角A=，邊BC=,設(shè)內(nèi)角B=x,周長為y.（1）求函數(shù)y=f(x)的解析式和定義域；（2）求y的最大值.解析：(1)△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π,由A=,B＞0,C＞0得0＜B＜.應(yīng)用正弦定理知.∵y=AB+BC+AC,∴y=4sinx+(0＜x＜).第三十三頁，共40頁。(2)∵y=4(sinx+cosx+sinx)+=,∴當(dāng)x+=,即x=時(shí)，y取得最大值.考點(diǎn)(kǎodiǎn)演練解析:由AD=3DB，可知(kězhī)D為OB中點(diǎn).設(shè)圓的半徑為R，那么OD=，CD⊥AB，CD=.在直角三角形COD中，，所以.答案(dáàn):10.(2009·深圳模擬)如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，CD⊥AB于點(diǎn)D，且AD=3DB，設(shè)∠COD=θ，則