經(jīng)濟數(shù)學(xué)泰勒級數(shù)與冪級數(shù)

經(jīng)濟數(shù)學(xué)泰勒級數(shù)與冪級數(shù)第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒級數(shù)的概念由泰勒公式知,如果函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù),則對于該領(lǐng)域內(nèi)的任意一點,有其中介于與之間.第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四定理1設(shè)在區(qū)間內(nèi)存在任意階的導(dǎo)數(shù),冪級數(shù)的收斂區(qū)間為則在區(qū)間內(nèi)成立的充分必要條件是:在該區(qū)間內(nèi)式右邊的級數(shù)稱為在點處的泰勒級數(shù).第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四麥克勞林級數(shù)時的泰勒級數(shù)稱為的麥克勞林級數(shù).注:由上節(jié)定理可知,如果函數(shù)能在某個區(qū)間內(nèi)展開成冪級數(shù),則它必定在這個區(qū)間內(nèi)的每一點處具有任意階的導(dǎo)數(shù).即沒有任意階導(dǎo)數(shù)的函函數(shù)的麥克勞林級數(shù)數(shù)是不可能展開成冪級數(shù)的.是的冪級數(shù),可以證明,如果能展開成的第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四是的冪級數(shù),可以證明,如果能展開成的冪級數(shù),則這種展開式是唯一的,的麥克勞林級數(shù).它一定等于由函數(shù)的展開式的唯一性可知,展開成的冪級數(shù),克勞林級數(shù).但是,反過來如果的麥克勞林級它卻不一定收斂于數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)收斂,如果能則這個冪級數(shù)就是的麥第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例如,函數(shù)在點任意階可導(dǎo),所以的麥克勞林級數(shù)為該級數(shù)在內(nèi)和函數(shù)顯然,的麥?zhǔn)霞墧?shù)處處不收斂于且除外,第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四因此,雖然當(dāng)在處具有各階導(dǎo)數(shù)時,的麥克勞林級數(shù)能被作出來,是否能在某個區(qū)間內(nèi)收斂,卻需要進一步考慮.但這個級數(shù)以及是否收斂于第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四二、將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法步驟:(一)直接法第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四既：把函數(shù)展開成泰勒級數(shù),可按下列步驟進行:計算寫出對應(yīng)的泰勒級數(shù)并求出該級數(shù)的收斂區(qū)間驗證在內(nèi),寫出所求函數(shù)的泰勒級數(shù)及其收斂區(qū)間.完第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例1解（麥克勞林級數(shù)）

第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例2解第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例3級數(shù).解所以于是的麥克勞林級數(shù)為將函數(shù)展開成的冪第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四該級數(shù)相鄰兩項的系數(shù)之比的絕對值因此,該級數(shù)的收斂半徑收域區(qū)間為第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四——牛頓二項展開式注意:第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四雙階乘第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四（二）間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導(dǎo),逐項積分等方法,求展開式.例如第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例1解而在上式兩端從

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到逐項積分,得因為上式右端的冪級數(shù)當(dāng)將函數(shù)展成的冪級數(shù).因為上式對也成立.時收斂,在而上式左端的函數(shù)處有定義且連續(xù).第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例2解所以將函數(shù)展開成的冪級數(shù).當(dāng)時,級數(shù)收斂;當(dāng)時,級數(shù)收斂.且當(dāng)時,函數(shù)連續(xù),第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例3解由于所以將函數(shù)且成的冪級數(shù).展開第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例4解將函數(shù)展開成的冪級數(shù).而第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四所以第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四掌握了函數(shù)展開成麥克勞林級數(shù)的方法后,轉(zhuǎn)化成的表達式,把看成變量要把函數(shù)展開成的冪級數(shù)時,即得的冪級數(shù).對于較復(fù)雜的可作變量替換于是當(dāng)只需把展開的冪級數(shù),成函數(shù),第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例5解第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例6解第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四例7解第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四注：常用函數(shù)的麥克勞林級數(shù)第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四二、小結(jié)函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法.1.將函數(shù)展開成的冪級數(shù)2.將函數(shù)展開成的冪級數(shù)3.常用函數(shù)的麥克勞林級數(shù)第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四思考題什么叫冪級數(shù)的間接展開法？第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期四思考題解答從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運算或逐項求導(dǎo)、逐項積分等辦法,求出給定函數(shù)