實(shí)施“尊重學(xué)生認(rèn)知邏輯”的數(shù)學(xué)教學(xué) 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選實(shí)施“尊重學(xué)生認(rèn)知邏輯”的數(shù)學(xué)教學(xué)——以“勾股定理（第一課時(shí)）教學(xué)為例摘要：本文試圖探索實(shí)施“尊重學(xué)生認(rèn)知邏輯”的數(shù)學(xué)教學(xué)的路徑、方法與一些思考。就“勾股定理”這節(jié)課設(shè)計(jì)教學(xué)新路徑，突出學(xué)生的主體與教師的主導(dǎo)地位。以教程為依據(jù)，挖掘知識(shí)間的邏輯關(guān)系，兼顧學(xué)生的認(rèn)知及心理水平地開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)，試圖賦予數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有邏輯的自然生長(zhǎng)性。關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計(jì)，勾股定理，邏輯，理解，問(wèn)題，探究，證明一、緣起從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)多年，總體感覺(jué)對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)于理性有點(diǎn)“冷”，很多學(xué)生是存在畏懼心理的，究其根本的原因筆者認(rèn)為是對(duì)知識(shí)理解的表面化、碎片化，極其容易在整體與局部、本質(zhì)與現(xiàn)象之間眼花繚亂的關(guān)系迷失方向。我嘗試實(shí)施“尊重學(xué)生認(rèn)知邏輯”的數(shù)學(xué)教學(xué)，將教學(xué)引向理解，追求基于理解的教學(xué)，致力于提供給學(xué)生有助于理解概念的某種框架，促使其獲得可遷移的概念理解力、解決復(fù)雜問(wèn)題的思考力和創(chuàng)造新觀點(diǎn)的生長(zhǎng)力，從而使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)的溫度。為此，我?guī)ьI(lǐng)胡志杰教育名師工作室成員從課堂觀察的研究入手，積極探索，希望對(duì)習(xí)慣性的教學(xué)方法進(jìn)行改變，真正做到“尊重學(xué)生認(rèn)知邏輯”，隨著研究的深入，工作室于2020年申請(qǐng)了安徽省教育信息技術(shù)研究課題《大數(shù)據(jù)視閾下初中數(shù)學(xué)教師聽(tīng)課評(píng)課的策略研究》，采用AI平臺(tái)開(kāi)展課堂觀察，利用該平臺(tái)進(jìn)行課堂數(shù)據(jù)的捕捉、管理和處理。 二、根據(jù)

1.布魯納(J.S.Bruner)認(rèn)知心理學(xué)

美國(guó)著名的心理學(xué)家和教育家，是20世紀(jì)50年代認(rèn)知革命的倡導(dǎo)者。他的學(xué)習(xí)理論倡導(dǎo)：任何學(xué)科以一定的知識(shí)的適當(dāng)形式，能有效地教給處于任何發(fā)展時(shí)期的任何兒童。知識(shí)是由概念、命題、基本原理及彼此之間的相互聯(lián)系組成的。促使認(rèn)知發(fā)展的學(xué)習(xí)應(yīng)該以學(xué)習(xí)“學(xué)科知識(shí)的結(jié)構(gòu)”為主要任務(wù)，幫助學(xué)生在知識(shí)的整體與局部、本質(zhì)與現(xiàn)象的聯(lián)系之中掌握知識(shí)。任何一門(mén)學(xué)科都有一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，即具有內(nèi)在的規(guī)律性.不論教什么學(xué)科，都必須理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。2.皮亞杰(J.Piaget)建構(gòu)主義

知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到，而是學(xué)習(xí)者在一定的情景即社會(huì)文化背景下，借助12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選其他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)材料，通過(guò)意義建構(gòu)的方式獲得。學(xué)習(xí)環(huán)境中的四大要素是情境、協(xié)作、會(huì)話和意義建構(gòu)。教學(xué)過(guò)程就是教師、學(xué)生、課程和媒體交互作用的動(dòng)態(tài)過(guò)程，并存在兩個(gè)主體（教師與學(xué)生）及其共同活動(dòng)。學(xué)生是信息加工的主體、是意義的主動(dòng)建構(gòu)者，在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮主體作用。三、教學(xué)設(shè)計(jì) 下面筆者以“勾股定理（第一課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)的三次修改為例來(lái)具體談?wù)勛约阂恍┎怀墒斓南敕ㄅc做法。勾股定理（第一課時(shí)）選自上?？茖W(xué)技術(shù)出版社義務(wù)教育教科書(shū)八年級(jí)下冊(cè)。直角三角形是一種特殊的三角形，勾股定理反映的是直角三角形三邊的關(guān)系，它是平面幾何中的一個(gè)重要定理。在本節(jié)之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的部分性質(zhì)、一個(gè)三角形是直角三角形的條件及三角形的三邊關(guān)系。本節(jié)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明，運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 教學(xué)目標(biāo)具體如下：

（1）讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)教師提供的背景材料的觀察、分析、一般化等思維活動(dòng)，體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程。 （2）理解證明的必要性，體驗(yàn)勾股定理的證明方法與證明過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。（3）會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。（4）結(jié)合“勾股定理”的歷史介紹，培養(yǎng)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義的思想情感。本節(jié)的重點(diǎn)是勾股定理的探究過(guò)程、內(nèi)容及應(yīng)用。難點(diǎn)是面積證法。筆者設(shè)計(jì)了五個(gè)環(huán)節(jié)：（1）設(shè)置情境，導(dǎo)入新課。（2）合作探究，獲得猜想。（3）尋找方法，證明猜想。（4）運(yùn)用勾股定理，解決實(shí)際問(wèn)題。（5）歸納總結(jié)，反思提升。筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況，先后對(duì)教學(xué)進(jìn)行三次設(shè)計(jì)。1.第一次設(shè)計(jì)

第一次設(shè)計(jì)基本按課本內(nèi)容安。（1）探究：如圖②、圖③，觀察獲得S1、S2、S3的值，并尋找它們之間的關(guān)系。（2）猜想：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。（3）證明：用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖⑦的正方形，通過(guò)面積計(jì)算來(lái)證明。（4）應(yīng)用：選擇課本中例1。22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選圖① 2.第二次設(shè)計(jì)

結(jié)合第一次設(shè)計(jì)，基于知識(shí)的結(jié)構(gòu)，考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)及邏輯，在開(kāi)頭增加情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)，問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)如下：

問(wèn)題（1）在△ABC中，三邊為a、b、c的數(shù)量關(guān)系？問(wèn)題（2）如果△ABC是直角三角形呢？ 問(wèn)題（3）在直角三角形這個(gè)特殊的三角形中，其三邊有無(wú)較|a-b|<c<a+b更為特殊的關(guān)系呢?問(wèn)題（4）在一次的狀態(tài)下受阻，可以作什么樣順其自然的考慮呢？問(wèn)題（5）觀察a2+b2-2ab<c2<a2+b2+2ab,猜想a、b、c之間的等量關(guān)系。 3.第三次設(shè)計(jì)

針對(duì)第一次設(shè)計(jì)中的證明環(huán)節(jié)，在授課時(shí)感覺(jué)主線不明確，特別是證明思路的獲得很突然，有“強(qiáng)推”給學(xué)生的感覺(jué)，通過(guò)大數(shù)據(jù)課堂觀察數(shù)據(jù)收集及課后學(xué)生反饋分析，證明過(guò)程的理解沒(méi)有難度，但為什么是這個(gè)面積計(jì)算法呢？為了解決這個(gè)問(wèn)題，使教學(xué)過(guò)程更加流暢，筆者設(shè)計(jì)了從圖①圖②圖③圖④圖⑤圖⑥的圖形變化鏈，圍繞以斜邊c為邊的正方形面積S3的獲得，從特殊到一般討論探究，直至獲得 32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選面積計(jì)算的等量關(guān)系。 四、教學(xué)反思

1.打通新舊知識(shí)邏輯生長(zhǎng)的路徑

古話說(shuō)得好，溫故而知新。教學(xué)中一定要關(guān)注學(xué)情生情，引領(lǐng)學(xué)生從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)探究新知，就如同萬(wàn)丈高樓平地起一層一層向上生長(zhǎng)。本節(jié)課的主題是探究直角三角形的三邊關(guān)系，因此我設(shè)計(jì)如下兩個(gè)問(wèn)題：1、在△ABC中，三邊為a、b、c的數(shù)量關(guān)系？2、直角三角形呢？此時(shí)最好的答案是|a-b|<c<a+b.我不失時(shí)機(jī)地提示：相較第一問(wèn)，第二問(wèn)里注入直角元素形成直角三角形，這種特殊性是否會(huì)給我們帶來(lái)更特殊的三邊關(guān)系，當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，我又適時(shí)提示，在一次方的情形下不行，可以考慮二次方情形，于是就有如下的師生對(duì)話，師：如果需要一個(gè)等式表示a、b、c之間的關(guān)系，你覺(jué)得最有可能的是什么？生：a2+b2=c2(通過(guò)思考討論，大部分學(xué)生都能給出),師:說(shuō)說(shuō)你這樣猜的理由,生:因?yàn)檫@個(gè)不等式成對(duì)稱(chēng)性，c2最完美的狀態(tài)應(yīng)該是在中點(diǎn)處，c2最有可能等于兩端值的平均數(shù)。這是一個(gè)非常大膽且美妙的猜想，這是基于已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)有邏輯的方法引領(lǐng)而來(lái)。全過(guò)程憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的歸納類(lèi)比，很好地培養(yǎng)學(xué)生的合情推理意識(shí)與能力。 2.借助幾何直觀，追求簡(jiǎn)明形象

面對(duì)直角三角形，如何去描述a2、b2、c2的大小呢？我啟發(fā)學(xué)生從圖形的角度去思考尋找，最終找到用以△ABC為邊的正方形面積來(lái)表示：S1=a2，S2=b2，S3=c2(如圖①所示)，下面的尋找面積的目標(biāo)任務(wù)就很清楚了。 3.由特殊到一般經(jīng)歷思考探究

（1）對(duì)于學(xué)生來(lái)講首先想到的是直接獲得面積，于是我選擇了直角邊為3個(gè)單位長(zhǎng)度的等腰直角三角形的格點(diǎn)圖形，括號(hào)如圖③所示，學(xué)生很容易就數(shù)出了S1、S2、S3并獲得S3=S1+S2即a2+b2=c2。（2）如圖③展示直角邊為3個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的直角三角形的格點(diǎn)圖形，42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選學(xué)生直接獲得S1與S2，但S3就很難直接獲得了，此時(shí)我設(shè)計(jì)小組合作探究S3大小的環(huán)節(jié)。學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，很快就提出用割補(bǔ)這兩種方法，獲得S3的思路（如圖④⑤）繼續(xù)驗(yàn)證得到S1+S2=S3即a2+b2=c2，同時(shí)獲得等量關(guān)系S大正方形=S小正方形+4Rt△ABC （3）把圖③中的背景格隱去，提出問(wèn)題：此時(shí)如何獲得S3，此時(shí)的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生思考并明晰：沒(méi)有了格子后雖然無(wú)法直接獲得邊長(zhǎng)，但是依然保留S大正方形=S小正方形+4Rt△ABC這樣的等量關(guān)系，這一點(diǎn)是至關(guān)重要，這將引發(fā)從特殊到一般的跨越，如圖⑥所示 1

可獲得（a+b）2=c2+4×ab化簡(jiǎn)得a2+b2=c2。 2

（3）引出勾股定理的一般性證明，用4個(gè)全等直角三角形圍成如圖⑦的EFGH和A1B1C1D1一大一小兩個(gè)正方形，這樣就可以很輕松的完成勾股定理的證明。關(guān)于圖⑤的割法證明可以交由學(xué)生課后自主完成?；仡櫿麄€(gè)探究過(guò)程，我首先從特殊情形入手，驗(yàn)證并發(fā)現(xiàn)不變的等量關(guān)系，并以此搭建了由特殊到一般的邏輯階梯，從而使一般情形下的論證水到渠成，一蹴而就。 4.引領(lǐng)從一般到具體應(yīng)用的邏輯回歸

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，把直角三角形中的形的特征（三角形中一個(gè)角是直角）化為三邊的數(shù)量關(guān)系，括號(hào)三邊之間滿足a2+b2=c2，建立了形與數(shù)的關(guān)系，為我們提供了一個(gè)等量關(guān)系，簡(jiǎn)言之就是知兩邊可求第三邊。這奠定了直角三角形在初中數(shù)學(xué)幾何中的重要地位，在教學(xué)中我特別強(qiáng)調(diào)要善于發(fā)現(xiàn)直角三角形，并利用它來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，從而完成從一般結(jié)論到具體應(yīng)用的邏輯回歸。這里我使用書(shū)上的例1、具體如下：現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車(chē)上的云梯救人，如圖⑧.已知云梯最多只能伸長(zhǎng)到10m，消防車(chē)高3m.救人時(shí)云梯伸至最長(zhǎng)，在完成從9m高處救人后，還要從12m高處救人，這時(shí)消防車(chē)要從原處再向著火的樓房靠近多少米？（精確到0.1m） 圖⑧

在本題中，我試圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中所示的Rt△ABO與