第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域方程

第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域方程第1頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

主要內(nèi)容狀態(tài)變量分析的基本概念狀態(tài)方程的建立線性狀態(tài)方程的解析方法狀態(tài)方程的小信號(hào)分析三種方法：稀疏表格法改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法端口分析法第2頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§5-1狀態(tài)變量分析的基本概念

一、狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)方程

電路的狀態(tài)：一組最少數(shù)據(jù)

1、對(duì)于某一任意的時(shí)刻t0，可以根據(jù)t0時(shí)刻的狀態(tài)及t≥t0時(shí)的輸入波形來唯一地確定t＞t0的任一時(shí)刻的狀態(tài)；2、根據(jù)在t時(shí)刻的狀態(tài)及t時(shí)刻的輸入(或者輸入的導(dǎo)數(shù))能夠唯一地確定在t時(shí)刻的任一電路變量的值。::電路的狀態(tài)實(shí)質(zhì)上是指電路的儲(chǔ)能狀況。

第3頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三狀態(tài)變量、狀態(tài)向量和狀態(tài)空間

狀態(tài)變量：描述狀態(tài)的變量

動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)變量是確定動(dòng)態(tài)電路運(yùn)動(dòng)行為的最少一組變量。記作x1(t)

,x2(t)

,…,xn(t)

獨(dú)立完備變量初始狀態(tài):電路在初始時(shí)刻t＝t0的狀態(tài)狀態(tài)向量:將n個(gè)狀態(tài)變量x1(t)、x2(t)、…、xn(t)構(gòu)成的向量x(t)狀態(tài)空間：以狀態(tài)向量的各個(gè)分量x1、x2、…、xn為軸所構(gòu)成的n維歐氏空間第4頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三狀態(tài)方程狀態(tài)方程

(1)線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)A為系數(shù)矩陣，B為控制矩陣(2)線性時(shí)變網(wǎng)絡(luò)(3)非線性網(wǎng)絡(luò)規(guī)范化：變換：時(shí)變網(wǎng)絡(luò)：時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)：第5頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三輸出方程輸出方程聯(lián)系輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的關(guān)系式(1)線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)y為輸出向量,x為狀態(tài)向量,u為輸入向量,C和D為僅與電路結(jié)構(gòu)和元件值有關(guān)的系數(shù)矩陣。(2)線性時(shí)變網(wǎng)絡(luò)(3)非線性網(wǎng)絡(luò)第6頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三規(guī)范型狀態(tài)方程的特征規(guī)范型狀態(tài)方程的特征:(1)每個(gè)方程式的左端只有一個(gè)狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù);(2)每個(gè)方程式右端是激勵(lì)函數(shù)與狀態(tài)變量的某種函數(shù)關(guān)系,但不出現(xiàn)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。半狀態(tài)描述E為奇異矩陣第7頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二、網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度(OrderofComplexity)

定義

網(wǎng)絡(luò)中獨(dú)立初始條件的數(shù)目,即獨(dú)立完備的狀態(tài)變量數(shù)目。線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度uC(或qC)和iL(或ΨL)選作電路的狀態(tài)變量。常態(tài)網(wǎng)絡(luò)

對(duì)于僅由電阻、電感、電容和獨(dú)立電源組成的網(wǎng)絡(luò),如果不存在僅由電容和獨(dú)立電壓源組成的回路(稱為C-E回路)和僅由電感和獨(dú)立電流源構(gòu)成的割集(稱為L(zhǎng)-J割集),則稱為常態(tài)網(wǎng)絡(luò).

第8頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三C-E回路非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)含有C-E回路和／或L-J割集的網(wǎng)絡(luò)稱為非常態(tài)網(wǎng)絡(luò),又叫蛻化網(wǎng)絡(luò)。C-E回路:僅由電容和/或電壓源組成的回路C-E回路又稱為純電容回路或全電容回路第9頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三L-J割集L-J割集:僅由電感和/或電流源組成的割集::常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度就等于網(wǎng)絡(luò)中的儲(chǔ)能元件的數(shù)目。L-J割集又稱為純電感割集或全電感割集第10頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三獨(dú)立電容電壓C-E回路中一個(gè)電容電壓不獨(dú)立第11頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三獨(dú)立電感電流::非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度L-J割集中一個(gè)電感電流不獨(dú)立第12頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三廣義常態(tài)網(wǎng)絡(luò)及其復(fù)雜度廣義常態(tài)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于電阻、電感、電容、D型元件、E型元件和獨(dú)立電源組成的網(wǎng)絡(luò),如果不存在僅由電容、D型元件和獨(dú)立電壓源組成的回路(廣義C－E回路)和僅由電感、E型元件和獨(dú)立電流源構(gòu)成的割集(廣義L－J割集),則稱為廣義常態(tài)網(wǎng)絡(luò),否則稱為廣義非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)。

::廣義常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度第13頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三廣義非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度::廣義非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中不存在僅由D型元件和獨(dú)立電壓源組成的回路和僅由E型元件和獨(dú)立電流源組成的割集時(shí),等號(hào)成立。第14頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三確定C-E回路和L-J割集的拓?fù)浞椒ㄓ猛負(fù)浞Q定獨(dú)立的(廣義)C-E回路和(廣義)L-J割集(1)用開路方法確定(廣義)C-E回路數(shù)(2)用短路方法確定(廣義)L-J割集數(shù)

C-E回路和L-J割集可通過網(wǎng)絡(luò)的等效變換消去對(duì)于含有受控源和負(fù)元件的網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度與網(wǎng)絡(luò)中的元件值有關(guān)。第15頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三三、C-E回路和L-J割集的消去設(shè)網(wǎng)絡(luò)有一個(gè)樹T。T中含有所有的電壓源、盡可能多的電容元件、電阻元件、盡可能少的電感元件等。樹中的電壓源、電容元件和補(bǔ)樹中的電容元件組成C-E回路：（1）如果該回路中連支電容是壓控的，則可開路連支電容,其它電容用等效的荷控電容代替。（2）如果該割集中樹支電感是流控的,則可用短路線代替樹支電感,其它電感用等效鏈控電感代替。第16頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§5-2狀態(tài)方程的建立狀態(tài)方程的建立方法：直接法間接法直接編寫法直觀列寫法系統(tǒng)列寫法網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞ㄩg接編寫法由輸入－輸出方程編寫由轉(zhuǎn)移函數(shù)編寫由信號(hào)流圖(或系統(tǒng)框圖)編寫第17頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三一、狀態(tài)方程的直觀列寫法1、線性動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)方程例題1例題2例題3例題4例題5列寫步驟：(1)選取所有的獨(dú)立電容電壓和獨(dú)立電感電流作為預(yù)選狀態(tài)變量；(2)對(duì)每個(gè)獨(dú)立的電容，選用一個(gè)割集，并依據(jù)KCL和電容的VAR列寫節(jié)點(diǎn)方程；(3)將上述方程中除輸入以外的非狀態(tài)變量用狀態(tài)變量和輸入表示，并從方程中消去，然后整理成標(biāo)準(zhǔn)形。

對(duì)每個(gè)獨(dú)立的電感，選用一個(gè)回路，并依據(jù)KVL和電感的VAR列寫回路方程；第18頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三一、狀態(tài)方程的直觀列寫法（續(xù)）例題2例題3例題4例題5借助拓?fù)鋱D的列寫步驟：(1)包含所有的獨(dú)立電壓源；不包含獨(dú)立電流源。(2)包含盡可能多的電容和壓控型高階元件；(3)包含盡可能少的電感和流控型高階元件；1.選擇樹2.選樹支上電容電壓、壓控型高階元件電壓和連支上電感電流、流控型高階元件電流為預(yù)選狀態(tài)變量3.對(duì)電容樹支的基本割集列寫KCL方程；對(duì)電感連支的基本回路列寫KVL方程。4.借助未利用的基本割集和基本回路將非狀態(tài)變量用狀態(tài)變量和輸入表示，并從方程中消去，整理成標(biāo)準(zhǔn)形。

第19頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2、線性時(shí)變網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程對(duì)時(shí)變電感元件，選磁鏈Ψ(t)作為狀態(tài)變量。例題6狀態(tài)變量的選擇對(duì)時(shí)變電容元件，選電荷qC(t)作為狀態(tài)變量。第20頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

3、非線性動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)方程的列寫非線性電路狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為x為n維狀態(tài)變量向量，F(xiàn)是x的某種非線性函數(shù)向量。狀態(tài)變量的選擇：壓控電容的電壓、荷控電容的電荷流控電感的電流、鏈控電感的磁鏈一般取元件特性的控制量第21頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三元件特性條件表先選樹，再建方程拓?fù)錀l件類型樹支連支電容荷控壓控壓控電感電阻憶阻流控流控荷控鏈控流控鏈控壓控荷控鏈控非線性動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)方程的列寫示例例題7例題8例題9例題10Jump第22頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二、從輸入－輸出方程到狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)：由輸入－輸出方程確定其狀態(tài)空間表示情形1

取為系統(tǒng)的n個(gè)狀態(tài)變量,且設(shè)第23頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三矩陣形式為第24頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三即A為友矩陣第25頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的輸出方程：即第26頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三討論：1、若動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸入函數(shù)為零,那么狀態(tài)方程為2、設(shè)x1、x2、…、xn為所討論系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量,而為該系統(tǒng)的另一組狀態(tài)變量，則第27頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三3、特征方程:——特征方程的根稱為A的特征值或本征值，也稱之為特征方程的特征根。4、由（5）和（3）得：特征方程:第28頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三概括：一個(gè)n階線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)系統(tǒng),若輸入中不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng),則其狀態(tài)方程為若系統(tǒng)的輸入為零,則有齊次狀態(tài)方程

第29頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三情形2若(a)(b)取為狀態(tài)變量第30頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(c)第31頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三（1）如果我們沿用狀態(tài)變量,則所得的n個(gè)一階微分方程為第32頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(2)當(dāng)采用式(b)所表示的一組狀態(tài)變量時(shí),我們可以得到(d)第33頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三再根據(jù)式(b)和式(c),可得第34頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三即

——第35頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出方程為：即——::一個(gè)線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸入中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)并不會(huì)影響矩陣A中各元素,只會(huì)影響矩陣B中各元素。第36頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三情形3若通過定義適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，向量形式::如果該非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為多輸入系統(tǒng),則有第37頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§5-3線性狀態(tài)方程的解析方法分類1：數(shù)值解法解析解法u為系統(tǒng)的輸入，x和u均為t的函數(shù)。一、線性狀態(tài)方程的時(shí)域解法1、線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解法（1）非齊次標(biāo)量微分方程解的形式分類2：時(shí)域解法頻域解法狀態(tài)方程的解法分類第38頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解法在等式兩邊乘以從0_到t積分，得第39頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三矩陣指數(shù)函數(shù)eAt及其性質(zhì)性質(zhì)定義第40頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三狀態(tài)方程的解析解非齊次狀態(tài)方程的矩陣形式:等式兩邊左乘矩陣指數(shù)函數(shù)從0_到t積分，得零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)第41頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三輸出方程的解如果系統(tǒng)運(yùn)行的初始時(shí)間為t0,則輸出方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:矩陣指數(shù)函數(shù)其解為記作零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)第42頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)的性質(zhì)對(duì)于線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)第43頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三沖激響應(yīng)矩陣定義零狀態(tài)響應(yīng)為稱為沖激響應(yīng)矩陣第44頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算(i)化為有限項(xiàng)之和進(jìn)行計(jì)算凱萊-哈密頓(CayleyHamilton)定理一個(gè)n階方陣必定滿足于它自身的特征方程n階方陣A的特征方程為第45頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三第46頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三A的特征值各不相同情況1A的特征值各不相同返回第47頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三的轉(zhuǎn)置稱為范德蒙矩陣?yán)}矩陣形式第48頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三特征根有重根情況2A的特征根λ1為m階重根,其它特征根均為單根。則重根部分方程為：例題返回第49頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

（ii）化A為對(duì)角陣進(jìn)行計(jì)算設(shè)A有n個(gè)彼此相異的實(shí)特征根λ1,λ2,…,λn。定義Λ＝diag［λ1,λ2,…,λn］；若P＝［α(1),α(2),…,α(n)]，則α(k)滿足Aα(k)＝λkα(k)(k＝1,2,…,n)::當(dāng)A為友矩陣時(shí)，P可取范德蒙矩陣?；蛘叩?0頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三取代入狀態(tài)方程例題實(shí)例解耦狀態(tài)方程第51頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2、線性時(shí)變網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解法狀態(tài)方程為狀態(tài)方程的解為輸出方程為其解為第52頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二、狀態(tài)方程的復(fù)頻域解法線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程為令對(duì)狀態(tài)方程兩邊取拉氏變換第53頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三狀態(tài)方程的復(fù)頻域解零輸入響應(yīng)象函數(shù)零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)狀態(tài)方程的時(shí)域解為矩陣(s1－A)－1稱為預(yù)解矩陣第54頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三輸出方程

稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)矩陣?yán)}式中零輸入響應(yīng)象函數(shù)零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)Jump第55頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§5-4狀態(tài)方程的小信號(hào)分析一、自治網(wǎng)絡(luò)的小信號(hào)分析自治網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程——U代表電路中m維直流電源向量。平衡點(diǎn)

對(duì)于任一點(diǎn)xQ,如果在xQ處為零,則把xQ稱為自治狀態(tài)方程的平衡點(diǎn)。第56頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三一、自治網(wǎng)絡(luò)的小信號(hào)分析以狀態(tài)方程為基礎(chǔ)的非線性動(dòng)態(tài)電路的小信號(hào)分析法設(shè)：必須滿足第57頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)F對(duì)x和存在一階偏導(dǎo)數(shù)，并且在所有時(shí)間,足夠?。坏?8頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三第59頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二、非自治網(wǎng)絡(luò)的小信號(hào)分析設(shè)相應(yīng)于時(shí)變偏置源的狀態(tài),Δx(t)相應(yīng)于小信號(hào)輸入Δu(t)的狀態(tài)攝動(dòng)。當(dāng)Δu(t)=0時(shí)，Δx(t)=0。第60頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三在時(shí)變偏置源和小信號(hào)輸入作用下小信號(hào)等效網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程為第61頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三第62頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§5-5稀疏表格法對(duì)于線性動(dòng)態(tài)電路,以p表示微分算子則對(duì)于非線性動(dòng)態(tài)電路對(duì)于流控電感對(duì)于壓控電容第63頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于荷控電容和鏈控電感對(duì)于含有高階元件的電路

對(duì)于憶阻元件第64頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于非線性高階元件對(duì)于線性動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)第65頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于非線性動(dòng)態(tài)電路例題1例題2第66頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§5-6改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法線性動(dòng)態(tài)電路時(shí)域的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓方程式中Yn1、C和D中可能含有一階微分算符這是由網(wǎng)絡(luò)中的貯能元件、憶阻元件和高階元件引起的。例題1例題2第67頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§5-7端口分析法一、線性動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的端口法常態(tài)網(wǎng)絡(luò)多口網(wǎng)絡(luò)方程為第68頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三一、線性動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的端口法或者第69頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于電容組成的p口網(wǎng)絡(luò)p階矩陣C在僅由二端線性電容組成的情況下為一對(duì)角矩陣,q階方陣L在僅由二端線性電感組成的情況下為一對(duì)角矩陣,r階方陣E在僅由二端線性E型元件組成的情況下為一對(duì)角矩陣,對(duì)于電感組成的q口網(wǎng)絡(luò)對(duì)于E型元件組成的r口網(wǎng)絡(luò)第70頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于D型元件組成的s口網(wǎng)絡(luò)第71頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三第72頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三第73頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于RLC非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)(a)(b)(c)端口電壓與電流之間的關(guān)系為第74頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三第75頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二、非線性動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的端口法對(duì)于非線性時(shí)不變RLC網(wǎng)絡(luò),一般網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為第76頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

設(shè)線性(p+q)口電阻網(wǎng)絡(luò)具有下列的混合描述:——YR和XR為非線性電阻p口網(wǎng)絡(luò)的端口變量；YD和ZD為貯能元件構(gòu)成的q口網(wǎng)絡(luò)的端口變量；v1(t)和v2(t)表示網(wǎng)絡(luò)的輸入電源。XD為電容電荷和電感磁鏈組成的列向量設(shè)非線性電阻的賦定關(guān)系為貯能元件的賦定關(guān)系為第77頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三非線性網(wǎng)絡(luò)的方程為THEEND第78頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例題集例1列寫如圖所示電路的狀態(tài)方程。解對(duì)接有電容C的節(jié)點(diǎn)a列寫節(jié)點(diǎn)方程，得選電容電壓uC和電感電流i1、i2為狀態(tài)變量第79頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)含有L1的回路C-L1-uS和含有L2的回路C-L2-R-uS分別列寫回路方程，

第80頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)上述方程進(jìn)行整理并寫成矩陣形式，得返回(back)第81頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例2列寫如圖所示電路的狀態(tài)方程。解

每個(gè)元件作為一條支路，可作出圖示的有向圖(實(shí)線為樹支)。選和為狀態(tài)變量。對(duì)基本割集列寫KCL方程，得第82頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)基本回路列寫KVL方程，得第83頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，得返回(back)第84頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例3列寫圖示電路的狀態(tài)方程。解對(duì)C1、C3和us組成全電容回路對(duì)L2、L4和is構(gòu)成全電感割集故u1和u3兩個(gè)電容電壓只能選其中之一為狀態(tài)變量；電路的有向圖如圖示故i2和i4兩個(gè)電感電流只能選其中之一為狀態(tài)變量。，故選u1和i2為狀態(tài)變量。，應(yīng)用KVL得，應(yīng)用KCL得第85頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)基本回路列寫KVL方程，得第86頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)基本割集列寫KCL方程，得第87頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三消去u3和i4，整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程，有返回(back)第88頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例4列出圖示電路的狀態(tài)方程和輸出方程。設(shè)輸出為電阻電壓u3和u4。解

電路的有向圖如圖示。選取uC、i1和i2為狀態(tài)變量第89頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三含電容的基本割集電流方程為含電感的基本回路電壓方程分別為第90頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)基本割集列寫電流方程，得代入基本回路電壓方程，得對(duì)基本回路列寫電壓方程，得第91頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三狀態(tài)方程的矩陣形式為由和第92頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)歐姆定律：返回(back)輸出方程的矩陣形式為第93頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三含高階元件的電路例題例5試列寫如圖所示網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程。高階元件D的賦定關(guān)系為解

由KVL和電感的VAR得例5試列寫如圖所示網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程。第94頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由KCL和高階元件的賦定關(guān)系及電導(dǎo)的VAR得令第95頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所求的狀態(tài)方程為返回(back)第96頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三線性時(shí)變網(wǎng)絡(luò)例題例6試寫出圖示時(shí)變網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程。解

取電感電流i和電容電荷q為狀態(tài)變量圖中,第97頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三則矩陣形式的狀態(tài)方程為返回(back)若取電感電流i和電容電壓uC為狀態(tài)變量，則電路的狀態(tài)方程為第98頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三非線性動(dòng)態(tài)電路例7列寫圖示電路的狀態(tài)方程。解

選電容電壓uC和電感電流iL作為狀態(tài)變量。由KCL和電容的VAR得由KVL和線性電感的VAR圖中非線性電阻的伏安關(guān)系為第99頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三將非線性電阻的VAR代入上式,并注意到iR＝iL，得返回(back)電路的狀態(tài)方程第100頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例8試列寫圖示電路的狀態(tài)方程。其中,非線性電容的特性方程為uC＝h(q),非線性電感的特性方程為iL＝f(Ψ)。解取電容電荷q和電感磁鏈Ψ作為狀態(tài)變量。按KCL得由KVL得第101頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三將iL＝f(Ψ)和uC＝h(q)代入，消去非狀態(tài)變量返回(back)電路的狀態(tài)方程為第102頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例9圖(a)所示的電路是一個(gè)出現(xiàn)非物理現(xiàn)象的電路。圖中,電感為線性元件,非線性電阻為壓控的,其賦定關(guān)系為iR＝f(uR)＝－uR＋u3R／3。對(duì)圖示電路,應(yīng)選電感支路為連支,電阻支路為樹支。由于樹支電阻為壓控的,不滿足元件特性條件,故無法列出狀態(tài)方程。但我們可以列出其電路方程。(a)第103頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由此可見,uR與總是異號(hào)的,即如圖（b）所示，Q1,Q2為死點(diǎn)(b)第104頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三修正方法：在電路中添加一個(gè)數(shù)值很小的寄生電容如圖(c)所示(對(duì)于實(shí)際電路來說,這種寄生電容總是存在的)。此時(shí)可列出狀態(tài)方程為返回(back)(c)第105頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例10在圖中(a)的電路中,一個(gè)1Ω的線性電阻與一個(gè)賦定關(guān)系為qC＝f(uC)＝－uC＋0.5u3C的壓控非線性電容相連。對(duì)于該電路可列出如下方程

如圖（b）所示，Q1,Q2為死點(diǎn)(a)(b)第106頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三方法：添加一個(gè)D型FNDR元件(D為微量),如圖(c)所示。引入變量，則可得下列標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程返回(back)(c)第107頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三矩陣指數(shù)函數(shù)例

已知解A的特征方程為求。特征根為λ1＝1,λ2＝2。代入上式有第108頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解得返回(back)第109頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例

已知解A的特征方程為特征根λ＝1為二階重根。求。第110頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三據(jù)前式有返回(back)解得第111頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例已知求。解A的特征方程為為了求得變換矩陣P，需要求出對(duì)應(yīng)不同特征值的特征向量。時(shí)，由可得一獨(dú)立方程。第112頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三取，則，即時(shí)，得一獨(dú)立方程取，則，即第113頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三于是矩陣P正好為范德蒙矩陣。返回(back)第114頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三時(shí)域解法例

用狀態(tài)變量法求圖示電路中電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)的單位階躍響應(yīng)。解選uC和iL為狀態(tài)變量則電路的狀態(tài)方程為第115頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以A的特征方程為相應(yīng)的特征根為第116頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三則解得第117頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三電路為零狀態(tài)：uC(0_)＝0，iL(0_)＝0，且us(t)＝ε(t)V返回(back)第118頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三頻域解法且有

us(t)＝100ε(t)V，uC(0_)＝20V，iL(0_)＝0求t≥0時(shí)的uC(t)和iL(t)

。例

電路的狀態(tài)方程為第119頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三則解第120頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(1)求零輸入響應(yīng)取拉氏反變換,得零輸入響應(yīng)為第121頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(2)求零狀態(tài)響應(yīng)第122頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三取拉氏反變換,得零狀態(tài)響應(yīng)為(3)求全響應(yīng)第123頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三即返回(back)第124頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例1在圖(a)所示的線性動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中,高階元件D的伏安關(guān)系為。試寫出該網(wǎng)絡(luò)的表格方程。(a)(b)第125頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三