讓問(wèn)題情境啟迪數(shù)學(xué)思維 論文

讓問(wèn)題情境啟迪數(shù)學(xué)思維

新課程改革，使教師更加深入研究教學(xué)過(guò)程中的每一個(gè)教學(xué)行為。一節(jié)完整的數(shù)學(xué)新授課一般分為情境導(dǎo)入、新課講授、鞏固練習(xí)和總結(jié)反思。在這些環(huán)節(jié)中，情境導(dǎo)入是教學(xué)的至關(guān)重要的，直接決定了一節(jié)課的好壞，也是我們教師專業(yè)能力的體現(xiàn)。當(dāng)我們利用學(xué)生日常身邊的實(shí)例或是一些有趣故事作為引例時(shí)，不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，喚起他們的求知欲，而且可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于的生活，并能利用所學(xué)的知識(shí)去解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。在上學(xué)期的教學(xué)中，選擇性必修二教材中課題為《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》的教學(xué)過(guò)程中筆者就發(fā)現(xiàn)問(wèn)題情境導(dǎo)入的重要性。對(duì)于數(shù)學(xué)公式的教學(xué)不僅要讓學(xué)生記住結(jié)果，更要體現(xiàn)公式發(fā)生的過(guò)程和本質(zhì)。現(xiàn)在部分老師不注重公式的推導(dǎo)過(guò)程，而是將更多的時(shí)間放在公式的運(yùn)用上，以至于當(dāng)高考考到公式的證明時(shí)，學(xué)生就會(huì)一籌莫展。2010年四川省高考考到了兩角和差余弦公式的證明，大部分同學(xué)不會(huì)；2011年陜西省高考考了余弦定理的證明，均分不到5分（滿分12分）；2012年陜西省繼續(xù)考察了三垂線定理和逆定理的證明，結(jié)果差強(qiáng)人意。雖然全國(guó)卷對(duì)定理、公式證明的考查的很少，但可以看出學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中往往就會(huì)忽略公式的推導(dǎo)過(guò)程，這也是我們老師在平時(shí)教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題。事實(shí)上，定理、公式的證明和推導(dǎo)是各個(gè)章節(jié)的精華，它的推導(dǎo)過(guò)程比任何練習(xí)題有更好的示范作用，掌握公式的證明過(guò)程，即使公式忘記了，也能推導(dǎo)出來(lái)?，F(xiàn)將本節(jié)課的課堂問(wèn)題情境導(dǎo)入部分教學(xué)過(guò)程記錄如下，不當(dāng)之處懇請(qǐng)批評(píng)指正。 情境導(dǎo)入

印度國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他有什么要求，發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放1顆麥粒，在第2個(gè)格子里放2顆麥粒，在第3個(gè)格子里放4顆麥粒，在第4個(gè)格子里放8顆麥粒，依次類推，每個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子，請(qǐng)給我足夠的糧食來(lái)實(shí)現(xiàn)上述要求?！蹦阏J(rèn)為國(guó)王有能力滿足發(fā)明者的上述要求嗎？【設(shè)計(jì)意圖】課堂情境的設(shè)置要有啟發(fā)性、趣味性、挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性，要能突出本節(jié)課的主題，為后面的新知識(shí)做好鋪墊。本節(jié)課以印度國(guó)王獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋發(fā)明者的故事為引例，能夠充分引起學(xué)生的好奇心，并使得學(xué)生迫切的想去解決這個(gè)問(wèn)題。這樣就會(huì)從內(nèi)在去激發(fā)學(xué)生自覺(jué)的去探索學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，只要學(xué)生能積極主動(dòng)的參與到課堂的教學(xué)中來(lái)，課堂的效率就會(huì)有明顯提升，這就是情境導(dǎo)入在一節(jié)新授課中之所以重要的原因。問(wèn)題1：若把各格所放的麥?？闯梢粋€(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是什么數(shù)列？通項(xiàng)公式是什么？問(wèn)題2：國(guó)王能否滿足發(fā)明者要求的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)怎樣的數(shù)列問(wèn)題？問(wèn)題3：類比等差數(shù)列求和的方法，能否利用倒序相加法求該數(shù)列的和？【設(shè)計(jì)意圖】新課程標(biāo)準(zhǔn)要求教師在教學(xué)過(guò)程中注重六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中就包括數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。此處設(shè)置的三個(gè)問(wèn)題實(shí)際上就是讓學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程。問(wèn)題1引導(dǎo)學(xué)生將故事中的麥粒數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)列，而且是已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的特殊數(shù)列——等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比可以寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于數(shù)學(xué)建模中的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。問(wèn)題2讓學(xué)生分析問(wèn)題、提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到這是一個(gè)數(shù)列求和的問(wèn)題，并讓學(xué)生寫出具體的表達(dá)式S64=++22+23+L+2,63讓學(xué)生明確這是一個(gè)等比數(shù)列求前64項(xiàng)和的問(wèn)題。問(wèn)題3引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列求和的方法——倒序相加法，并想讓學(xué)生利用該方法來(lái)解決新的問(wèn)題，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已有的數(shù)學(xué)方法不能解決當(dāng)前問(wèn)題時(shí)，更能激發(fā)學(xué)生的求知欲，使得學(xué)生能更積極的參與課堂的討論，從而達(dá)到解決問(wèn)題的效果。問(wèn)題4：請(qǐng)同學(xué)們幫這位國(guó)王算算S64=++22+23+L+263的結(jié)果。2粒，再與第三格相加就有32【預(yù)設(shè)答案1】將第一格改為2粒，與第二格相加就有2粒，依次類推，可以得到1+S64=264，所以S64=264-1。263=262=L=22=2有：【預(yù)設(shè)答案2】由等比數(shù)列的定義262261211263=262′2,262=261′2,L2=′21，兩邊相加有263+262+L+=22(62+261+L+1)；即S64-1=2(S64-263)，解得S64=264-1.【預(yù)設(shè)答案3】對(duì)于已經(jīng)預(yù)習(xí)過(guò)教材的同學(xué)，又得到以下的方法：S64=++22+23+L+2,632S64=+22+23+L+263+2,64后式減前式有：S64=264-1.【設(shè)計(jì)意圖】因?yàn)榈剐蛳嗉硬荒芙鉀Q等比數(shù)列的求和問(wèn)題，所以學(xué)生需要尋求其他途徑解決問(wèn)題。學(xué)生在初中處理過(guò)一些數(shù)學(xué)中找規(guī)律的問(wèn)題，對(duì)于這個(gè)具體的數(shù)列，可以從找規(guī)律的角度來(lái)打開解題的思路，比如與這答案中的1和2。對(duì)于學(xué)生不同的解題方法，都能對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維起到很好的鍛煉。在預(yù)設(shè)的三種解法里，第三種方法是比較簡(jiǎn)潔的，也是教材中采用的解題方法，但是在課堂教學(xué)時(shí)，學(xué)生往往不會(huì)直接想到，所以課堂中鼓勵(lì)學(xué)生尋求情境中的邏輯線索和關(guān)系，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。 問(wèn)題5：通過(guò)剛才的具體的實(shí)例，請(qǐng)同學(xué)們想想如何求一般的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和呢？【預(yù)設(shè)答案1】由Sn=a1+a2+a3+L+an=a1+qa(1+aq1+L+aq-12)=a1+qa(1+aq1+L+aq1n-2+aq1n-1)-aq1n=a1+qSn-aq1n;即(1-qS)n=a1(1-qn).當(dāng)q11時(shí)，Sn=a11(-qn)；當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.1-q【預(yù)設(shè)答案2】由a2=aqa1 3=aq2,L,an+1=aqn，等式兩邊相加有a2+a3+L+an+an+1=aq1+aq2+L+an-1q+aqn，即Sn-a1+an+1=qSn，所以a11(-qn)(=-qS)n當(dāng)q11時(shí)，Sn=a11(-qn)；當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.1-q【預(yù)設(shè)答案3】由Sn=a1+aq1+aq12+L+aq1n-2+aq1n-1,則qSn=aq1+aq12+aq13+L+aq1n-1+aq1n,后式減前式有(1-qS)n=a1(1-qn)，所以a11(-qn)(=-qS)n當(dāng)q11時(shí)，Sn=a11(-qn)；當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.1-q【設(shè)計(jì)意圖】課本在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法時(shí)，采用的是預(yù)設(shè)答案3的方法——錯(cuò)位相減法。課堂要強(qiáng)調(diào)錯(cuò)位相減法，它的思路就是等式兩邊同時(shí)乘公比，再將項(xiàng)錯(cuò)開相減，這種方法在以后解決一類數(shù)列求和時(shí)會(huì)用到錯(cuò)位相減法。但是作為一種數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，在強(qiáng)調(diào)錯(cuò)位相減法的同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)還有其他很好的方法也可以解決該問(wèn)題，這些方法都可以通過(guò)前面的“情境導(dǎo)入”中的探究的方法為參照，將具體問(wèn)題一