高三一輪復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積

第三節(jié)平面(píngmiàn)向量的數(shù)量積與平面(píngmiàn)向量應(yīng)用舉例第一頁，共69頁。第二頁，共69頁。2．范圍 向量(xiàngliàng)夾角θ的范圍是，a與b同向時，夾角θ＝；a與b反向時，夾角θ＝．3．向量(xiàngliàng)垂直 如果向量(xiàngliàng)a與b的夾角是，那么a與b垂直，記作．0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b第三頁，共69頁。二、平面向量數(shù)量積1．兩個非零向量a與b，那么數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝，其中θ是a與b的夾角． 規(guī)定0·a＝0. 當(dāng)a⊥b時，θ＝90°，這時a·b＝．2．a(chǎn)·b的幾何意義(yìyì)： 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影的乘積．|a||b|cosθ0|b|cosθ第四頁，共69頁。a·b＝0

|a|2

≤

第五頁，共69頁。四、數(shù)量(shùliàng)積的運算律1．交換律：a·b＝．2．分配律：(a＋b)·c＝．3．對λ∈R，λ(a·b)＝＝．b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)第六頁，共69頁。a1b1＋a2b2

a1b1＋a2b2＝0

第七頁，共69頁。第八頁，共69頁。第九頁，共69頁。第十頁，共69頁。第十一頁，共69頁。第十二頁，共69頁。[關(guān)鍵要點點撥]1．對兩向量夾角的理解 (1)兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，假設(shè)起點不同，應(yīng)通過移動，使其起點相同，再觀察夾角． (2)兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別當(dāng)兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向(fǎnxiànɡ)時，其夾角為π. (3)在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的范圍．第十三頁，共69頁。2．向量運算與數(shù)量運算的區(qū)別 (1)假設(shè)a，b∈R，且a·b＝0，那么有a＝0或b＝0，但a·b＝0卻不能得出a＝0或b＝0. (2)假設(shè)a，b，c∈R，且a≠0，那么由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0卻不能推出b＝c. (3)假設(shè)a，b，c∈R，那么a(bc)＝(ab)c(結(jié)合律)成立，但對于(duìyú)向量a，b，c，而(a·b)·c與a·(b·c)一般是不相等的，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的． (4)假設(shè)a，b∈R，那么|a·b|＝|a|·|b|，但對于(duìyú)向量a，b，卻有|a·b|≤|a||b|，等號當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時成立．第十四頁，共69頁。[典題導(dǎo)入](1)假設(shè)向量(xiàngliàng)a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，那么x＝()A．6B．5C．4 D．3平面向量數(shù)量(shùliàng)積的運算第十五頁，共69頁。[聽課記錄(jìlù)]8a－b＝8(1，1)－(2，5)＝(6，3)，所以(8a－b)·c＝(6，3)·(3，x)＝30.即18＋3x＝30，解得x＝4.答案C第十六頁，共69頁。第十七頁，共69頁。第十八頁，共69頁。第十九頁，共69頁。[規(guī)律方法]平面向量數(shù)量積問題的類型及求法(1)向量a，b的模及夾角θ，利用公式(gōngshì)a·b＝|a||b|·cosθ求解；(2)向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解．第二十頁，共69頁。第二十一頁，共69頁。第二十二頁，共69頁。答案(dáàn)2第二十三頁，共69頁。[典題導(dǎo)入](1)|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角(jiājiǎo)為120°，a＋b＋c＝0，那么a與c的夾角(jiājiǎo)為()A．150°B．90°C．60°D．30°兩平面向量(xiàngliàng)的夾角與垂直第二十四頁，共69頁。[聽課(tīnɡkè)記錄]∵a·b＝1×2×cos120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.∴a與c的夾角為90°.答案B第二十五頁，共69頁。(2)(2013·大綱版全國(quánɡuó)高考)向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，假設(shè)(m＋n)⊥(m－n)，那么λ＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1第二十六頁，共69頁。[聽課記錄]∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝0.∴|m|2－|n|2＝0，即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0.∴λ＝－3.應(yīng)選(yīnɡxuǎn)B.答案B第二十七頁，共69頁。第二十八頁，共69頁。[規(guī)律方法]1．求兩非零向量的夾角時要注意： (1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律； (2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于(děngyú)0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角．2．當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系．第二十九頁，共69頁。[跟蹤訓(xùn)練]2．(1)設(shè)向量a＝(x－1，1)，b＝(－x＋1，3)，那么(nàme)a⊥(a－b)的一個充分不必要條件是() A．x＝0或2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝±2第三十頁，共69頁。第三十一頁，共69頁。(2)向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如下(rúxià)圖，那么()A．存在λ>0，使得向量c與向量d垂直(chuízhí)B．存在λ>0，使得向量c與向量d夾角為60°C．存在λ<0，使得向量c與向量d夾角為30°D．存在λ>0，使得向量c與向量d共線第三十二頁，共69頁。第三十三頁，共69頁。平面(píngmiàn)向量的模第三十四頁，共69頁。答案(dáàn)A第三十五頁，共69頁。第三十六頁，共69頁。第三十七頁，共69頁。第三十八頁，共69頁。第三十九頁，共69頁。平面(píngmiàn)向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用第四十頁，共69頁。第四十一頁，共69頁。第四十二頁，共69頁。[規(guī)律方法]向量與其它知識結(jié)合，題目新穎(xīnyǐng)而精巧，既符合考查知識的“交匯處〞的命題要求，又加強了對雙基覆蓋面的考查，特別是通過向量坐標(biāo)表示的運算，利用解決平行、垂直、夾角和距離等問題的同時，把問題轉(zhuǎn)化為新的函數(shù)、三角或幾何問題．第四十三頁，共69頁。第四十四頁，共69頁。第四十五頁，共69頁。第四十六頁，共69頁。第四十七頁，共69頁。第四十八頁，共69頁。3．坐標(biāo)法我們可以利用相互(xiānghù)垂直的兩腰所在直線建立平面直角坐標(biāo)系，這樣就可以根據(jù)條件求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，再利用平面向量的坐標(biāo)運算進行驗證．第四十九頁，共69頁?！窘馕觥拷夥ㄒ唬涸O(shè)直角三角形ABC的兩腰長都為4，如下圖，以C為原點建立平面直角坐標(biāo)(zhíjiǎozuòbiāo)系，那么A(4，0)，B(0，4)，因為D為AB的中點，所以D(2，2)．因為P為CD的中點，第五十頁，共69頁。第五十一頁，共69頁。第五十二頁，共69頁。第五十三頁，共69頁。第五十四頁，共69頁。第五十五頁，共69頁。第五十六頁，共69頁?！敬鸢?dáàn)】D第五十七頁，共69頁。第五十八頁，共69頁。3．利用坐標(biāo)計算向量模的問題(wèntí)，是最常用有效的方法，建立坐標(biāo)系時，應(yīng)注意利用圖形特點．4．以上根據(jù)向量數(shù)與形的根本特征，結(jié)合題目中的選項以及直角三角形的條件，從三個方面提出了不同的解法，涉及向量的根本運算、坐標(biāo)運算等相關(guān)知識，在尋找解題思