2022-2023學(xué)年重慶市九校聯(lián)盟高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat14頁(yè)2022-2023學(xué)年重慶市九校聯(lián)盟高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知i是復(fù)數(shù)單位，求=（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由.故選：B2．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式可求得的值.【詳解】由題意知，，故選：D.3．已知平面向量，，且//，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，則.故選：B4．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202—1261）提出“三斜求積”求三角形面積的公式．以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上．余四約之，為實(shí)．一為從隅開(kāi)方得積．如果把以上這段文字寫(xiě)成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，其中為方程的兩根，，則的面積為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由根與系數(shù)關(guān)系及三角形面積公式求的面積即可.【詳解】由題意，則.故選：C5．在中，已知角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，且滿足，為的中點(diǎn)，，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】在和中，利用余弦定理求出和，再利用建立關(guān)系式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，，如圖，在中，根據(jù)余弦定理可得，，在中，根據(jù)余弦定理可得，，又因?yàn)椋怨视?，得到，即，所以，故選：C.6．已知平面向量，滿足，，，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】由求解.【詳解】解：因?yàn)椋瑵M足，，，所以，，所以，故選：A7．已知函數(shù)，且的最小正周期為，給出下列結(jié)論：①函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；②函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；③把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】先將函數(shù)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式，然后利用周期求出的值，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且的最小正周期為，所以，則.因?yàn)?，所以，則函數(shù)在單調(diào)遞減，故①正確；令，解得：，所以直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故②正確；將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到，故③錯(cuò)誤，所以正確的結(jié)論序號(hào)為：①②，故選：.8．已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），是直線外一點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量共線定理推論得，再利用基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)橐驗(yàn)辄c(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理推論、利用基本不等式求最值，考查綜合分析求解能力，屬較難題.二、多選題9．下列敘述中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．已知非零向量與且//，則與的方向相同或相反D．對(duì)任一非零向量是一個(gè)單位向量【答案】CD【分析】A注意即可判斷；B根據(jù)向量的性質(zhì)判斷；C由共線向量的定義判斷；D由單位向量的定義判斷.【詳解】A：若時(shí)，不一定有，錯(cuò)誤；B：向量不能比較大小，錯(cuò)誤；C：非零向量與且//，則與的方向相同或相反，正確；D：非零向量，則是一個(gè)單位向量，正確.故選：CD10．已知復(fù)數(shù)則（

）A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 B．復(fù)數(shù)的實(shí)部為C． D．復(fù)數(shù)的虛部為【答案】BC【分析】求解復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)，依次判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題意得，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；易知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，故B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，故C選項(xiàng)正確；因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC．11．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則的面積是15 D．若，則外接圓半徑是【答案】AD【分析】設(shè)，，，，求出，，，根據(jù)正弦定理可判斷A正確；根據(jù)平面向量數(shù)量積和余弦定理可判斷B不正確；根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可判斷C不正確；根據(jù)余弦定理和正弦定理可判斷D正確.【詳解】設(shè)，，，，則，，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，若，則，，，所以，所以，所以的面積是，故C不正確；對(duì)于D，若，則，則，則，，，所以，，所以外接圓半徑為.故D正確.故選：AD12．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線的長(zhǎng)為3，則的可能取值有（

）A．21 B．24 C．27 D．36【答案】CD【分析】由正弦定理和余弦定理得到，結(jié)合三角形面積列出方程，得到，再由基本不等式求出最值，驗(yàn)證后得到答案.【詳解】在中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，而，則，角A的內(nèi)角平分線的長(zhǎng)為3，由得,，即，因此，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值27．若，又，聯(lián)立得到，因?yàn)?，結(jié)合韋達(dá)定理，得到兩根之和，兩根之積均大于0，故方程有正根，故滿足要求.故選：CD三、填空題13．在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，滿足，設(shè)，則______________（用表示）．【答案】【分析】根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的位置及數(shù)量關(guān)系用表示出，即可得結(jié)果.【詳解】如下圖示，.故答案為：14．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的面積為_(kāi)_________.【答案】【分析】本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計(jì)算求解，本題屬于常見(jiàn)題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查．【詳解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【點(diǎn)睛】本題涉及正數(shù)開(kāi)平方運(yùn)算，易錯(cuò)點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開(kāi)方導(dǎo)致錯(cuò)誤．解答此類問(wèn)題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計(jì)算．15．已知是銳角，且，則___________．【答案】/【分析】根據(jù)角的范圍及正余弦值求得、，再由及差角正弦公式求值即可.【詳解】由題設(shè)，則，而，所以.故答案為：16．（理）在直角坐標(biāo)系x、y中，已知點(diǎn)A(0，1)和點(diǎn)B(－3，4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，且||＝2，求的坐標(biāo)為_(kāi)____________________．【答案】【分析】根據(jù)向量加法平行四邊形法則以及菱形性質(zhì)得,再根據(jù)||＝2，求t,即得結(jié)果.【詳解】由題意可設(shè)所以，因?yàn)閨|＝2，所以,即的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】與共線的向量為，當(dāng)時(shí)，為同向；當(dāng)時(shí)，為反向；與共線的單位向量為；與垂直的向量為.與平分線共線的向量為.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z=m（m+2）+（m2+m-2）i．(1)若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)m=0(2)（0，1）【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的概念，讓實(shí)部等于零，虛部不等于零，列方程求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，得到實(shí)部大于零，虛部小于零，列不等式求解即可.【詳解】（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得或且，，所以.（2）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則，解得，故的取值范圍為.18．已知函數(shù).（1）求的最小正周期和的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)x的值.【答案】（1）π；；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為．【分析】（1）利用二倍角降冪公式、輔助角公式可得出，利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的最小正周期，解方程可得出函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)；解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由，計(jì)算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出該函數(shù)的最小值以及對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為.由，可得，函數(shù)的對(duì)稱中心為；解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期、對(duì)稱中心、單調(diào)區(qū)間以及最值的求解，解題的關(guān)鍵就是要將三角函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，借助正弦函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.19．已知向量,.(1)當(dāng)時(shí),求；(2)當(dāng)，，求向量與的夾角.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）向量,，則，.由,可得即，即，解得或,當(dāng),則,則,所以，當(dāng)，，，綜上

.（2）由,,則由,可得,解得,所以,,又,所以.20．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，.（1）求；（2）求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）7.【詳解】試題分析：（I）在中，利用外角的性質(zhì)，得即可計(jì)算結(jié)果；（II）由正弦定理，計(jì)算得，在中，由余弦定理，即可計(jì)算結(jié)果．試題解析：（I）在中，∵，∴∴（II）在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：∴【解析】正弦定理與余弦定理．21．已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，其中，為常數(shù)，且，．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求函數(shù)在區(qū)間，上的取值范圍．【答案】(1)(2)，【分析】(1)通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用對(duì)稱軸求出，求解函數(shù)的周期．(2)通過(guò)的范圍求出相位的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）向量，，，函數(shù)，所以，由直線是圖像的一條對(duì)稱軸，可得，所以，即．又，，所以時(shí)，．所以的最小正周期是．（2）由(1)可知，若的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則，解得，所以，由，得，所以，得，故函數(shù)在區(qū)間，上的取值范圍為，．22．一個(gè)，它的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.(1)如果這個(gè)三角形為銳角三角形，且滿足，求的取值范圍；(2)若內(nèi)部有一個(gè)圓心為P，半徑為1的圓，它沿著的邊內(nèi)側(cè)滾動(dòng)一周，且始終保持與三角形的至少一條邊相切.現(xiàn)用21米的材料剛好圍成這個(gè)三角形，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種的圍成方案，使得P經(jīng)過(guò)的路程最大并求出該最大值.（說(shuō)明理由）【答案】(1)(2)設(shè)計(jì)方案答案見(jiàn)解析，路程最大值為，理由見(jiàn)解析【分析】由利用余弦定理消去參數(shù)，化簡(jiǎn)得到