中考復(fù)習(xí)專題二次函數(shù)經(jīng)典分類講解復(fù)習(xí)及練習(xí)題含

中考復(fù)習(xí)專題二次函數(shù)經(jīng)典分類講解復(fù)習(xí)及練習(xí)題含中考復(fù)習(xí)專題二次函數(shù)經(jīng)典分類講解復(fù)習(xí)及練習(xí)題含PAGE/PAGE15中考復(fù)習(xí)專題二次函數(shù)經(jīng)典分類講解復(fù)習(xí)及練習(xí)題含PAGE1、二次函數(shù)的定義

定義：y=ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）

定義重點：①a≠0②最高次數(shù)為2③代數(shù)式必然是整式

練習(xí)：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5x2，y=3x2-2x3+5,此中是二次函數(shù)的有____個。

m2m2.當(dāng)m_______時,函數(shù)y=(m+1)χ-2χ+1是二次函數(shù)？

2、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

y

0

拋物線

極點坐標(biāo)

x

y=ax2+bx+c(a>0)

b4acb22a,4a

y

0x

y=ax2+bx+c(a<0)

b4acb22a,4ab直線x

直線x

b

對稱軸

地點

張口方向

增減性

最值

2a

由a,b和c的符號確立

a>0,張口向上

在對稱軸的左邊,y跟著x的增大而減小.

在對稱軸的右邊,y跟著x的增大而增大.當(dāng)xb時,y最小值為4acb22a4a

2a

由a,b和c的符號確立

a<0,張口向下

在對稱軸的左邊,y跟著x的增大而增大.在對稱軸的右邊,y跟著x的增大而減小.當(dāng)xb時,y最大值為4acb22a4a

例2：已知二次函數(shù)y1x232x21）求拋物線張口方向，對稱軸和極點M的坐標(biāo)。

2）設(shè)拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，求C，A，B的坐標(biāo)。

3）x為什么值時，y隨的增大而減少，x為什么值時，y有最大（?。┲?，這個最大（?。┲凳嵌嗌?？

4）x為什么值時，y<0？x為什么值時，y>0？

3、求拋物線解析式的三種方法1、一般式：已知拋物線上的三點，平時設(shè)解析式為________________y=ax2+bx+c(a≠0)2,極點式：已知拋物線極點坐標(biāo)（h,k），平時設(shè)拋物線解析式為_______________求出表達(dá)式后化為一般形式.y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交點式:已知拋物線與x軸的兩個交點(x1,0)、(x2,0),平時設(shè)解析式為_____________求出表達(dá)式后化為一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)練習(xí)：依據(jù)以下條件，求二次函數(shù)的解析式。(1)、圖象經(jīng)過(0，0)，(1，-2)，(2，3)三點；(2)、圖象的極點(2，3)，且經(jīng)過點(3，1)；(3)、圖象經(jīng)過(0，0)，(12，0)，且最高點的縱坐標(biāo)是3。例1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象極點在直線y=x+1上，而且圖象經(jīng)過點（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函數(shù)的最大值是2

∴拋物線的極點縱坐標(biāo)為2

又∵拋物線的極點在直線y=x+1上

∴當(dāng)y=2時，x=1∴極點坐標(biāo)為（1，2）∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又∵圖象經(jīng)過點（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x

4、a，b，c符號的確定

拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：

（1）a的符號：由拋物線的張口方向確立

（2）C的符號：由拋物線與y軸的交點地點確立.

（3）b的符號：由對稱軸的地點確立

（4）b2-4ac的符號：由拋物線與x軸的交點個數(shù)確立

（5）a+b+c的符號：由于x=1時,y=a+b+c,因此a+b+c的符號由x=1時，對應(yīng)的y值決定。

當(dāng)x=1時，y>0,則a+b+c>0當(dāng)x=1時，y<0，則a+b+c<0當(dāng)x=1時，y=0，則a+b+c=0

(6)a-b+c的符號：由于x=-1時,y=a-b+c,因此a-b+c的符號由x=-1時，對應(yīng)的y值決定。

當(dāng)x=-1，y>0,則a-b+c>0當(dāng)x=-1，y<0,則a-b+c<0當(dāng)x=-1，y=0,則a-b+c=0

練習(xí)１、二次函數(shù)≠0)的圖象以以以下圖，則

A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0

C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<0

a、b、c

的符號為（

）

2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象以以以下圖，則a、b、c的符號為（）

A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0

C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=0

3、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象以以以下圖，則a、b、c、△的符號為（）

A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0

C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0

嫻熟掌握a，b，c，△與拋物線圖象的關(guān)系(上正、下負(fù)）(左同、右異)4.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過原點和二、三、四象限，判斷a、b、c的符號情況：a0,b0,c0.

拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過原點,且它的極點在第三象限，

則a、b、c滿足的條件是：a0,b0,c0.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，假如a>0，b<0，c<0，那么這個二次函數(shù)

圖象的極點必在第象限

先依據(jù)題目的要求畫出函數(shù)的草圖，再依據(jù)圖象以及性質(zhì)確立結(jié)果（數(shù)形聯(lián)合的思想）

7.已知二次函數(shù)的圖像以以以下圖，以下結(jié)論。⑴a+b+c=0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0

⑷b=2a

此中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）

A1個B2個C3個D4個

重點：追求思路時，要重視觀察拋物線的張口方向，對稱軸，極點的地點，拋物線與x軸、y軸的交點的地點，注意運用數(shù)形聯(lián)合的思想。

5、拋物線的平移

左加右減，上加下減

練習(xí)⑴二次函數(shù)y=2x2的圖象向平移個單位可獲得y=2x2-3的圖象；二次函數(shù)y=2x2的圖象向平移個單位可獲得y=2(x-3)2的圖象。⑵二次函數(shù)y=2x2的圖象先向平移個單位，再向平移個單位可獲得函數(shù)y=2(x+1)2+2的圖象。引申：y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+2（3）由二次函數(shù)y=x2的圖象經(jīng)過如何平移可以獲得函數(shù)y=x2-5x+6的圖象.y=x2-5x+6(x5)21245)21y=x2y(x24二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程根的情況與b2-4ac的關(guān)系我們知道:代數(shù)式b2-4ac關(guān)于方程的根起重視點的作用.bb24ac.當(dāng)b24ac0時,方程ax2bxc0a0有兩個不相等的實數(shù)根x1,22a當(dāng)b2ac時方程ax2bxca有兩個相等的實數(shù)根b40,00:x1,2.2a當(dāng)b24ac0時,方程ax2bxc0a0沒有實數(shù)根二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象和x軸交點的橫坐標(biāo)，即是對應(yīng)的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解。二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點有三種情況:(1)有兩個交點b2–4ac>0(2)有一個交點b2–4ac=0(3)沒有交點b2–4ac<0若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點,則b2–4ac≥0例(1)假如關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根,則m=＿＿＿＿,此時拋物線y=x2-2x+m與x軸有＿＿＿＿個交點.

已知拋物線y=x2–8x+c的極點在x軸上,則c=＿＿＿＿.

(3)一元二次方程3x2+x-10=0的兩個根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函數(shù)y=3x2+x-10與x軸的交點坐標(biāo)是＿

.

鑒別式：二次函數(shù)圖象

b2-4acy=ax2+bx+c

a≠0）

b2-4ac＞0與x軸有兩個不

同的交點

（x1，0）

（x2，0）

y

x

一元二次方程

ax2+bx+c=0

（a≠0）的根

有兩個不一樣樣的解

x=x1，x=x2

b2-4ac=0與x軸有獨一個y有兩個相等的解交點bx1=x2=b(,0)O2a2axb2-4ac＜0與x軸沒有

交點

沒有實數(shù)根

yx

二次函數(shù)的綜合運用

1.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同,極點在直線x=1上,且極點到x軸的距離為5,請寫出滿足此條件的拋物線的解析式.

解:拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同a=1或-1

又極點在直線x=1上,且極點到x軸的距離為5,

極點為(1,5)或(1,-5)

因此其解析式為:

(1)y=(x-1)2+5(2)y=(x-1)2-5

(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5

張開成一般式即可.

2.若a+b+c=0,a0,把拋物線y=ax2+bx+c向下平移4個單位,再向左平移5個單位所到的新拋物線的極點是(-2,0),

求原拋物線的解析式.

解析:

由a+b+c=0可知,原拋物線的圖象經(jīng)過(1,0)

新拋物線向右平移5個單位,

再向上平移4個單位即得原拋物線

練習(xí)題

1．直線y＝3x－1與y＝x－k的交點在第四象限，則k的范圍是（（A）k＜1（B）1＜k＜1（C）k＞1（D）k＞1或k＜133

1kx

）

y3x1，解得21k1【提示】由xk13k因點在第四象限，故＞0，y2y.21∴＜k＜1．3

3k

2

＜0．

【答案】B．

【談?wù)摗勘绢}應(yīng)用了兩函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法，聯(lián)合了不等式組的解法、象限內(nèi)點的坐標(biāo)符號特色等．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖，則以下各式中成立的個數(shù)是（）b（1）abc＜0；（2）a＋b＋c＜0；（3）a＋c＞b；（4）a＜－．2

（A）1（B）2（C）3（D）4

【提示】由圖象知a＜0，－b＞0，故b＞0，而c＞0，則abc＜0．當(dāng)x＝1時，y＞0，即a＋c－b＞0；當(dāng)x＝－1時，y＜0，2a

即a＋c－b＜0．

【答案】B．【談?wù)摗勘绢}要綜合運用拋物線性質(zhì)與解析式系數(shù)間的關(guān)系．因a＜0，把（4）a＜－b兩邊同除以a，得1＞－b，即－b22a2a＜1，因此（4）是正確的；也可以依據(jù)對稱軸在x＝1的左邊，判斷出－ba，得a＜－b＜1，兩邊同時乘，知（4）是正確的．2a23．若一元二次方程x2－2x－m＝0無實數(shù)根，則一次函數(shù)y＝（m＋1）x＋m－1的圖象不經(jīng)過（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

【提示】由＝4＋4m＜0，得m＋1＜0，則m－1＜0，直線過第二、三、四象限．

【答案】A．

【談?wù)摗勘绢}綜合運用了一元二次方程根的鑒別式及一次函數(shù)圖象的性質(zhì)．注意，題中問的是一次函數(shù)圖象

不經(jīng)過的象限．

24．如圖，已知A，B是反比率函數(shù)y＝的圖象上兩點，設(shè)矩形APOQ與矩形MONB的面積為S1，S2，x則（）

（A）S1＝S2（B）S1＞S2（C）S1＜S2（D）上述（A）、（B）、（C）都可能【提示】由于SAPOQ＝|k|＝2，SMONB＝2，故S1＝S2．

【答案】A．

【談?wù)摗勘绢}可以推行為：從雙曲線上隨意一點向兩坐標(biāo)軸引垂線，由這點及兩個垂足和原點構(gòu)成的矩形的面積都等于|k|．

k2＋15．若點A（1，y1），B（2，y2），C（，y3）在反比率函數(shù)y＝－的圖象上，則（）x

（A）y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3（B）y1＜y2＜y3（C）y1＞y2＞y3（D）y1＞y3＞y2【提示】因－（k2＋1）＜0，且－（k2＋1）＝y(tǒng)1＝2y2＝y(tǒng)3，故y1＜y2＜y3．或用圖象法求解，因－（k2＋1）＜0，且x都大于0，取第四象限的一個分支，找到在y軸負(fù)半軸上y1，y2，y3的相應(yīng)地點即可判斷．【答案】B．k2＋1）＜0．【談?wù)摗勘绢}是反比率函數(shù)圖象的性質(zhì)的應(yīng)用，圖象法是最常用的方法．在解析時應(yīng)注意本題中的－（6．直線y＝ax＋c與拋物線y＝ax2＋bx＋c在同一坐標(biāo)系內(nèi)大體的圖象是（）

（A）（B）（C）（D）

【提示】兩個解析式的常數(shù)項都為c，表示圖象交于y軸上的同一點，除去（A），（B）．再從a的大小去判斷．

【答案】D．

【談?wù)摗勘绢}綜合運用了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)．（B）錯誤的原由是由拋物線張口向上，知a＞0，此時直線必過第一、三

象限．7．已知函數(shù)y＝x2－1840x＋1997與x軸的交點是（m，0）（n，0），則（m2－1841m＋1997）（n2－1841n＋1997）的值是（）（A）1997（B）1840（C）1984（D）1897x2－1840x＋1997＝0的兩個根．因此m2－1840m＋1997【提示】拋物線與x軸交于（m，0）（n，0），則m，n是一元二次方程0，n2－1840n＋1997＝0，mn＝1997．原式＝［（m2－1840m＋1997）－m］［（n2－1840n＋1997）－n］＝mn＝1997．【答案】A．

【談?wù)摗勘绢}揭示了二次函數(shù)與一元二次方程間的聯(lián)系，應(yīng)用了方程的根的定義、根與系數(shù)的關(guān)系等知識點，并要靈巧地把所求代數(shù)式進(jìn)行合適的變形．

8．某鄉(xiāng)的糧食總產(chǎn)量為a（a為常數(shù)）噸，設(shè)這個鄉(xiāng)均勻每人據(jù)有糧食為y（噸），人口數(shù)為x，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系

為（）

（A）（B）（C）（D）

a【提示】糧食總產(chǎn)量必然，則人均據(jù)有糧食與人口數(shù)成反比，即y＝．又由于人口數(shù)不為負(fù)數(shù)，故圖象只好是第一象限內(nèi)的

一個分支．x【答案】D．【談?wù)摗勘绢}觀察反比率函數(shù)圖象在實詰問題中的應(yīng)用．（A）錯在畫出了x＜0時的圖象，而本題中x不可以能小于0．（二）填空題（每題4分，共32分）9．函數(shù)y＝2x1的自變量x的取值范圍是____________．1＋x11【提示】由2x－1≥0，得x≥x的取值范圍．；又x－1≠0，x≠1．綜合可確立12【答案】x≥，且x≠1．210．若點P（a－b，a）位于第二象限，那么點Q（a＋3，ab）位于第_______象限．【提示】由題意得a＞0，a－b＜0，則b＞0．故a＋3＞0，ab＞0．【答案】一．

11．正比率函數(shù)y＝k（k＋1）xk2k1的圖象過第________象限．【提示】由題意得k2－k－1＝1，解得k1＝2，k2＝－1（舍去），則函數(shù)為y＝6x．【答案】一、三．【談?wù)摗孔⒁馇蟪龅膋＝－1使比率系數(shù)為0，應(yīng)舍去．12．已知函數(shù)y＝x2－（2m＋4）x＋m2－10與x軸的兩個交點間的距離為22，則m＝___________．【提示】拋物線與x軸兩交點間距離可應(yīng)用公式|a|來求．本題有＝(2m4)24(m210)＝16m56＝22，故m＝－3．【答案】－3．【談?wù)摗繏佄锞€與x軸兩交點間距離的公式為，它有著寬泛的應(yīng)用．|a|13．反比率函數(shù)y＝k的圖象過點P（m，n），此中m，n是一元二次方程x2＋kx＋4＝0的兩個根，那么P點坐標(biāo)是_____________．x【提示】P（m，n）在雙曲線上，則k＝xy＝mn，又mn＝4，故k＝4．

【答案】（－2，－2）．

【談?wù)摗勘绢}是反比率函數(shù)、一元二次方程知識的綜合應(yīng)用．由題意得出k＝mn＝4是重點．

14．若一次函數(shù)y＝kx＋b的自變量x的取值范圍是－2≤x≤6，相應(yīng)函數(shù)值y的范圍是－11≤y≤9，則函數(shù)解析式是___________．

112kbk5【提示】當(dāng)k＞0時，有296kb，解得b6.116kbk5當(dāng)k＜0時，有292k，解得bb4.55【答案】y＝x－6或y＝－x＋4．22【談?wù)摗恳騥是待定字母，而k的不一樣樣取值，以致線段分布象限不一樣樣樣，自變量的取值與函數(shù)取值的對應(yīng)關(guān)系也就不一樣樣．故本例要分k＞0時自變量最大值對應(yīng)函數(shù)最大值，與k＜0時自變量最大值對應(yīng)函數(shù)最小值兩種情況談?wù)摚?5．公民的月收入超出800元時，超出部分須依法繳納個人收入調(diào)理稅，當(dāng)超出部分不足500元時，稅率（即所納稅款占超出部分的百分?jǐn)?shù)）相同．某人本月收入1260元，納稅23元，由此可得所納稅款y（元）與這人月收入x（元）(800＜x＜1300)間的函數(shù)關(guān)系為____________．23【提示】因1260－800＝460，＝5%，故在800＜x＜1300時的稅率為5%．【答案】y＝5%（x－800）．460【談?wù)摗勘绢}是與實詰問題相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，解題時應(yīng)注意其實不是每個人月收入的所有都必然納稅，而是超出800元的部分才納稅，故列函數(shù)式時月收入x須減去800．h＝－10t2＋20t，經(jīng)過_________秒，16．某種火箭的飛機(jī)高度h（米）與發(fā)射后游覽的時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是火箭發(fā)射后又回到地面．【提示】火箭返回地面，即指游覽高度為0，則－10t2＋20t＝0，故t＝0或t＝20．【答案】20．【談?wù)摗孔⒁猓簍＝0應(yīng)舍去的原由是此時火箭雖在地面，但未發(fā)射，而不是返回地面．

（三）解答題17．（6分）已知y＝y(tǒng)1＋y2，y1與x成正比率，y2與x成反比率，而且x＝1時y＝4，x＝2時y＝5，求當(dāng)x＝4時y的值．【解】設(shè)y1＝k1x，y2＝k2，則y＝k1x＋k2．xx把x＝1時y＝4，x＝2時y＝5分別代入上式，得

4k1k252k1

解得

k12

k22.

k2，

2∴函數(shù)解析式為y＝2x＋2．x217當(dāng)x＝4時，y＝2×4＋＝．1742．∴所求的y值為2y1，y2與x的函數(shù)解析式．注意兩個比率系數(shù)應(yīng)分別用【談?wù)摗勘绢}觀察用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．重點在于正確設(shè)出k1，k2表示出來，而不可以僅用一個k值表示．18．（6分）若函數(shù)y＝kx2＋2（k＋1）x＋k－1與x軸只有一個交點，求k的值．【提示】本題要分k＝0，k≠0兩種情況談?wù)摚窘狻慨?dāng)k＝0時，y＝2x－1，是一次函數(shù)，此時，直線與x軸必有一個交點．當(dāng)k≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，

此時，＝4（k＋1）2－4k（k－1）

12k＋4＝0．

1∴k＝－．3∴1．所求的k值為0或－30．函數(shù)圖象與x軸有一個交點包【談?wù)摗孔⒁?，?dāng)問題中未指明函數(shù)形式，而最高次項系數(shù)含字母時，要注意這個系數(shù)能否為括兩種情況：當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時，直線與x軸必只有一個交點；當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時，在＝0的條件下，圖象與x軸只有一個交點．19．（8分）已知正比率函數(shù)y＝4k．（1）當(dāng)k為什么值時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個交點？k為什么值時，這x，反比率函數(shù)y＝x兩個函數(shù)的圖象沒有交點？（2）這兩個函數(shù)的圖象能否只有一個交點？如有，求出這個交點坐標(biāo)；若沒有，請說明原由．【解】由y＝4x和y＝k，得x4x2－k＝0，＝16k．（1）當(dāng)＞0，即k＞0時，兩函數(shù)圖象有兩個交點；當(dāng)＜0，即k＜0時，兩函數(shù)圖象沒有交點；（2）∵比率系數(shù)k≠0，故≠0．∴兩函數(shù)圖象不可以能只有一個交點．20．（8分）如圖是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標(biāo)系中的一個表示圖，橫斷面的地平線為x軸，橫斷面的對稱軸為y軸，橋拱的D′GD部分為一段拋物線，極點G的高度為8米，AD和AD′是雙側(cè)高為5.5米的立柱，OA和OA′為兩個方

向的汽車通行區(qū)，寬都為15米，線段CD和CD′為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為1∶4．（1）求橋拱DGD′所在拋物線的解

析式及CC′的長．（2）BE和B′E′為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應(yīng)的AB和A′B′為兩個方向的行人及非靈巧車通

行區(qū)，試求AB和A′B′的寬．（3）按規(guī)定，汽車經(jīng)過橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不可以小于0.4米，今有一大型運

貨汽車，裝載上大型設(shè)備后，其寬為4米，車載大型設(shè)備的頂部與地面的距離為7米，它能否從OA（OA′）安全經(jīng)過？請說明

原由．

【解析】欲求函數(shù)的解析式，重點是求出三個獨立的點的坐標(biāo)，此后由待定系數(shù)法求之．因此重點是由題中線段的長度計算出D、G、D′的坐標(biāo)，自然也可由對稱軸x＝0解之．至于求CC′、AB、A′B′的數(shù)值，則重點是由坡度的定義求解之；終歸能否安全經(jīng)過，則只要在拋物線的解析式中令x＝4，求出相應(yīng)的y值，即可作出明確的判斷．y＝ax2＋c．【解】（1）由題意和拋物線的對稱軸是x＝0，可設(shè)拋物線的解析式為由題意得G（0，8），