弦圖到黃金分割點(diǎn) 論文

從弦圖到黃金分割點(diǎn)[摘要]：本文首先是由八年級上冊課本中一個練習(xí)題有感而發(fā)，繼而想到了勾股定理，想到了勾股定理中趙爽弦圖的拼圖證明方法，而安徽中考題對弦圖的考察涉及到了黃金分割點(diǎn)，因此對弦圖進(jìn)行了深入了解。再借助幾何畫板對數(shù)學(xué)書中關(guān)于弦圖的題目進(jìn)行建模分析，得出弦圖中存在的黃金分割點(diǎn)。[關(guān)鍵詞]：初中數(shù)學(xué)、正方形，弦圖，黃金分割點(diǎn)[引言]：最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是我國三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個典范。在每年的中考中對弦圖的考察也是比較多的。新課改下的教育理念讓我們深入了解課本，因此對弦圖的數(shù)學(xué)應(yīng)用展開深入的分析研究在數(shù)學(xué)中有巨大的價值。一、例題再現(xiàn) 八上數(shù)學(xué)書62頁第13題：如圖,E,F,M,N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn),且AE＝BF＝CM＝DN.試判斷四邊形EFMN是什么圖形,并證明你的結(jié)論.1由題意，我們可以證明△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM（SAS）,從而得出四邊形EFMN正方形，反之，若給出四邊形EFMN與四邊形ABCD都是正方形，也可以證明△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM(AAS)從而得出AE＝BF＝CM＝DN。本題是基于弦圖中的內(nèi)弦圖和外弦圖進(jìn)行考察的。而在考試中對弦圖的考察也是非常多的。二、例題改編例1：如圖四邊形ABCD是正方形，AE⊥BF交于點(diǎn)G,求證：AE=BF∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC∠ABC＝∠C＝90°∴∠ABG＋∠FBC＝90°∵AE⊥BF∴∠EAB＋∠ABG∴∠EAB=∠FBC∴△ABE≌△BCF(ASA）∴AE＝BF變式1：如圖四邊形ABCD是正方形，AE=BF且交于點(diǎn)G,求證：AE⊥BF∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC∠ABC＝∠C＝90°∵AE=BF∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL）∴∠BAE=∠FBC∵∠ABF+∠FBC=90°∴∠ABF+∠FBC=90°2∴∠ABF+∠BAE=90°∴∠AGB=90°∴AE⊥BF此題中線段BF與線段AE都是過正方形的頂點(diǎn)，且在正方形內(nèi)部的線段。這兩個線段也可以平移到如下圖所示的情況：類型一、線段與正方形交在邊上變式2：如圖1，四邊形ABCD是正方形，且JK=HI,求證JK⊥HI（JK⊥HI,求證JK=HI）證明：過點(diǎn)H,J作HL⊥ABJM⊥BC由題意可知HL=JM∵JK=HL∴Rt△HLI≌Rt△JMK(HL）∴∠MJK=∠LHI∵∠HNJ=90°圖1∴∠HGJ=90°∴JK⊥HI變式3：如圖2，四邊形ABCD是正方形，JK⊥HI,求證JK=HI證明：∵JK⊥HI,∴∠MJK=∠LHI∵JM=HL∠HLI=∠JMK=90°3∴Rt△HLI≌Rt△JMK∴HI=JK 圖2此類問題考察除了可以像上面這種解法外，還可以利用平移把線段JK，HI平移至BF,AE的位置，如下圖所示：利用例1的證明方法證明出來，然后利用四邊形HIBF和四邊形AEKJ是平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等來證。類型二、線段與正方形延長線有交點(diǎn)變式4：如圖，G,H在DC與AB延長線上，且GH=AE求證GH⊥AE(或GH⊥AE求證GH=AE)4解決此類問題，方法很多，除了像變式3那樣做輔助線以外，其中有一種也是平移，平移至正方形內(nèi)部使這兩條線段分別過一個正方形端點(diǎn)，另一個線段頂點(diǎn)在邊上，如下圖，證明按照例1證明即可。上述題目的證明過程就是利用平移構(gòu)造弦圖的方法就行。如下圖：小正方形IYGK是大正方形的內(nèi)弦圖，大正方形ABCD是小正方形YGKI的外弦圖。這個圖也趙爽弦圖，2002年作為北京數(shù)學(xué)家大會的會徽，這個弦圖在幾何應(yīng)用中考察的非常多。5 三、弦圖應(yīng)用

問題1：四邊形ABCD為正方形，AE=BF.當(dāng)E為BC中點(diǎn)時，證明DG=AD證明：找AB中點(diǎn)M,易證△ABE≌△BCF,∵E為BC中點(diǎn)?！郌為DC中點(diǎn)F

易證四邊形DMBF為平行四邊形，

∵BF⊥AE，∴DM⊥AE

∵∠AGB等于90°，M為斜邊AB中點(diǎn)。∴AM=GM

∴MD垂直平分AG∴DA=DG問題2：連接CG,若正方形邊長為4，求CG最小值？分析：∵∠AGB＝90°∴點(diǎn)G在以AB為直徑的半圓上，如圖所示6取AB中點(diǎn)M，當(dāng)C，G，M三點(diǎn)共線時此時CG最小。問題:3：這個圖形中還有哪些隱圓？分析：DAMF四點(diǎn)也共圓問題4：連接AC與BF交點(diǎn)記為P求AP

的值？AC分析：把直角△ABC抽離出來，如圖所示：這是一個半弦圖。我們在解決這個問題時，可以把半弦圖補(bǔ)全來解，以下提供兩種解法：解法1：如圖：過點(diǎn)C作AB的平行線，與過點(diǎn)A作BC的平行線交于點(diǎn)D,易證四邊形ABCD為正方形?！唷鰽PB∽△CPFABAP∴CF=PC由前面模型可知△ABE≌△BCF∴BE=CF

∵E為BC中點(diǎn)∴F為DC中點(diǎn)∴CF=1CD=1AB22∴AP=AB=2∴AP2PCCFAC3解法2：延長GE到點(diǎn)Q使GE=EQ連接CQ.過點(diǎn)C作GQ的平行線交BG的延長線于點(diǎn)M7易證△BGE≌△CQE四邊形GMCQ是正方形

∵四邊形GMCQ是正方形

∴∠MGC=∠CGQ=45°

∵由已證明模型可知BM⊥AE

∴∠AGP=∠BGQ=90°

∴∠AGC=∠BGC=135°

∴∠GAC+∠GCA=45°

∵∠GCA+∠GCB=45°

∴∠GAC=∠GCA∴△GAC∽△GCBGAGCAC∴GCGBBCAC=2∴GA=2GB∵△ABC為等腰直角三角形∴BC∵GB=CQ=GQ∴AG=2GQ∴AG2AQ3∵PG∥CQ

∴△APG∽△ACQAPAG2∴ACAQ3通過兩種證明方法都可以說明，此時點(diǎn)P為線段AC的黃金分割點(diǎn)

（黃金分割點(diǎn)：是指把一條線段AB分割為兩部分，并使其中一部分AQ與全長AB之比，等于另一部分QB與這部分AQ之比。計算結(jié)果，其比值是一個無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示則為5-1，取小數(shù)點(diǎn)后面三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例2設(shè)計的多方面的造型人們感覺十分和諧、美麗，故稱為‘黃金分割’，也稱為‘中外比’。此類題目在中考中考察也是非常的多，接下來我們看兩個中考題：（2013年安徽省中考23題）已知正方形ABCD，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)8（1）如圖1，點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn)，且∠AGB=90°，延長AG,BG分別與邊BC,CD交于E,F

①求證BE=CF②求證BEBC?CEBEBC?CE，連接AE交CM于點(diǎn)G,連接BG，(2)如圖2，在邊BC上取一點(diǎn)E,滿足并延長CD于點(diǎn)F，求tan∠CBF的值。證明：（1）①∵四變形ABCD為正方形

∴AB=BC∠ABC=∠BCD=90°∴∠ABF+∠FBC=90°∵∠AGB=90°∴∠GAB+∠GBA=90°∴∠GAB=∠FBC∴△ABE≌△BCF（ASA）∴BE=CF

②∵∠AGB=90°M為AB中點(diǎn)∴MA=MG∴∠MAG=∠AGM∵∠AGM=∠CGE∴∠MAG=∠CGE

由（1）知∠GAB=∠FBC∴∠FBC=∠CGE∴△CGE∽△CBG∴CGCE∴CGCB?CECBCG∵GM=BM∴∠MGB=∠MBG=∠CFG=∠CGF∴CF=CG=BE∴BECB?CE9由（1）知BE=CF設(shè)BE=CF=X正方形邊長為a ∴CE=a-x∵BEBC?CE，ax-a20∴x-a5a∴xa(a-x)∴x22∴x1-a-5a（舍去）x2-a5a225（點(diǎn)E是線段BC的黃金分割點(diǎn)）-a5a-1∴tan∠CBF=CFx2

aCBa2（2019年安徽中考23題）

如圖。Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

∠APB=∠BPC=135°

（1）求證：△PAB∽△PBC

（2）求證PA=2PC（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB,BC,CA的距離分別為h1，h2，h3，求證：h12h2?h3∵∠ACB=90°，AC=BC

∴∠ABC=45°即∠ABP+∠CBP=45°

∵∠APB＝135°∴∠PAB+∠PBA=45°∴∠PAB=∠CBP∴△PAB∽△PBC

∵∠ACB=90°，AC=BC10∴△ABC為等腰直角三角形∴AB2BC由（2）知∵△PAB∽△PBC∴PBPCAB=2PAPBBC∴PA=2PC

解法1：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB交BC,AC,AB于點(diǎn)D,E,F所以PF=h1，PD=h2，PE=h3∵∠CPB+∠APB=135°＋135°=270°

∴∠APC=90°

∴∠EAP+∠ACP=90°

∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°

∴∠EAP=∠PCD

∴Rt△AEP∽Rt△CDP∴PEAP2即h32∴h2hDPPCh322∵△PAB∽△PBC∴h1ABBC22?h2=h2h3h2∴h12h22hh122h22∴解法2：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB交BC,AC,AB于點(diǎn)D,E,F∴PF=h1，PD=h2，PE=h3∵∠CPB+∠APB=135°＋135°=270°11∴∠APC=90°

由（2）知PA=2PC

設(shè)PC=XPA=2X∴AC=BC=5x∵△ABC為等腰直角三角形∴ABAC2BC2=10xAB?h∵S△ABCS△APCS△BPCS△APB∴1AC?BC=1AC?h3+1BC?h2+122221∴2h1h3h25x1AC?PE∵在Rt△APC中S△APC=1AP?PC=22∴h3255x∵在Rt△CPE中PC=xPE=h3∴CE=x2-h325x5x5易證四邊形EPDC為矩形∴h2=PD=CE=5∵2h1h3h25x∴h1=10x512h12（10x）210x22x2∴52552255x?5x=10x22xh2?h35255∴h12h2?h3趙爽弦圖在實(shí)際應(yīng)用和考察中是非常多的，弦圖也