2023屆白山市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末達標測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某研究機構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個變量和進行統(tǒng)計分析時，得到的數(shù)據(jù)如下表所示．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點中任取一點，該點落在回歸直線上方的概率為（）4681012122.956.1A． B． C． D．無法確定2．已知向量是空間的一組基底，則下列可以構(gòu)成基底的一組向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，3．正方體中，直線與平面所成角正弦值為（）A． B． C． D．4．定義域為的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．5．已知，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到的圖象關(guān)于軸對稱，則為（）A． B． C． D．6．若，則，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為（）A．15 B．16 C． D．7．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A． B． C． D．9．甲乙丙丁4名師范院校的大學(xué)生分配至3所學(xué)校實習(xí)，每所學(xué)校至少分配一名大學(xué)生，且甲、乙兩人不能分配在同一所學(xué)校，則不同分配方法數(shù)為（）A．30 B．42 C．50 D．5810．的值為（）A．0 B．2 C．－1 D．111．設(shè)為虛數(shù)單位，則的展開式中含的項為（）A． B． C． D．12．某市一次高二年級數(shù)學(xué)統(tǒng)測,經(jīng)抽樣分析,成績近似服從正態(tài)分布,且,則()A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則______．14．將一顆骰子拋擲兩次，用表示向上點數(shù)之和，則的概率為______.15．從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）16．已知函數(shù)，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，能被7整除．18．（12分）閱讀：已知a、b∈(0,+∞)，a+b=1，求y=1解法如下：y=1當且僅當ba=2a則y=1a+應(yīng)用上述解法，求解下列問題：（1）已知a,b,c∈(0,+∞)，a+b+c=1，求y=1（2）已知x∈(0,12)（3）已知正數(shù)a1、a2、a3求證：S=a19．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知圓經(jīng)過極點，且其圓心的極坐標為.（1）求圓的極坐標方程；（2）若射線分別與圓和直線交于點，（點異于坐標原點），求線段的長.20．（12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)（）.（1）求實數(shù)的值；（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益（單位：萬元）繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開始計數(shù)的.廣告投入/萬元12345銷售收益/萬元23257（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；（Ⅱ）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到上表：表中的數(shù)據(jù)顯示與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）若廣告投入萬元時，實際銷售收益為萬元，求殘差.附：，22．（10分）已知函數(shù)f(x)=e（Ⅰ）求函數(shù)f(x)極值；（Ⅱ）若對任意x>0，f(x)>12a

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

求出樣本的中心點，計算出，從而求出回歸直線方程，個點中落在回歸直線上方的有三個，算出概率即可?！驹斀狻坑深}可得，因為線性回歸方程過樣本中心點，所以，所以，所以，故個點中落在回歸直線上方有，，，共個，所以概率為.故選B.【點睛】本題考查線性回歸方程和古典概型，解題的關(guān)鍵是求出線性回歸方程，屬于一般題。2、C【解析】

空間的一組基底，必須是不共面的三個向量，利用向量共面的充要條件可證明、、三個選項中的向量均為共面向量，利用反證法可證明中的向量不共面【詳解】解：，，，共面，不能構(gòu)成基底，排除；，，，共面，不能構(gòu)成基底，排除；，，，共面，不能構(gòu)成基底，排除；若、，共面，則，則、、為共面向量，此與為空間的一組基底矛盾，故、，可構(gòu)成空間向量的一組基底．故選：．【點睛】本題主要考查了空間向量基本定理，向量共面的充要條件等基礎(chǔ)知識，判斷向量是否共面是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.3、C【解析】

作出相關(guān)圖形，設(shè)正方體邊長為1，求出與平面所成角正弦值即為答案.【詳解】如圖所示，正方體中，直線與平行，則直線與平面所成角正弦值即為與平面所成角正弦值.因為為等邊三角形，則在平面即為的中心，則為與平面所成角.可設(shè)正方體邊長為1，顯然，因此，則，故答案選C.【點睛】本題主要考查線面所成角的正弦值，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力和空間想象能力.4、C【解析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)可知，得到在上單調(diào)遞減；根據(jù)，可將所求不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得到解集.【解答】令，則在上單調(diào)遞減則不等式可化為等價于，即即所求不等式的解集為：本題正確選項：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù)，將所求不等式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)值的比較，從而利用其單調(diào)性得到自變量的關(guān)系．5、D【解析】

由平移后，得，再由圖象關(guān)于軸對稱，得，解之即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得圖象關(guān)于軸對稱，即又時滿足要求.故選：D【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移和函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.6、A【解析】

首先確定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四種可能，它們組成的非空子集的個數(shù)為即為所求.【詳解】根據(jù)伙伴關(guān)系集合的概念可知：－1和1本身也具備這種運算，這樣所求集合即由－1,1,3和，2和這“四大”元素所組成的集合的非空子集．所以滿足條件的集合的個數(shù)為24－1＝15.故選A.【點睛】本小題主要考查新定義概念的理解，考查集合子集的個數(shù)以及非空子集的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】由題意，令，所以，所以，因為，所以所以所以，故選D.8、A【解析】

化簡得到，故，則，，驗證得到答案.【詳解】因為，所以z的共扼復(fù)數(shù)為，則，.故滿足.故選：.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.9、A【解析】

根據(jù)題意將4人分成3組，再進行排列，兩步完成.【詳解】第一步，將甲乙丙丁4名同學(xué)分成3組，甲、乙兩人不在同一組，有5種分法第二步,將3組同學(xué)分配到3所學(xué)校，有種分法所以共有種分配方法故選：A【點睛】解決分組分配問題的基本指導(dǎo)思想是先分組，后分配.10、D【解析】分析：求二項展開式系數(shù)和一般方法為賦值法，即分別令x=1與x=-1得，最后相乘得結(jié)果.詳解：令，則，令，則，因此，選D.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可.11、A【解析】

利用二項展開式，當時，對應(yīng)項即為含的項.【詳解】因為，當時，.【點睛】本題考查二項式定理中的通項公式，求解時注意，防止出現(xiàn)符號錯誤.12、A【解析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出P（X≥90），即可得到答案．【詳解】∵X近似服從正態(tài)分布N(84,σ2),.∴，故選：A.【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，抓住正態(tài)分布曲線的對稱性即可解題，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意得出，由此可得出，解出實數(shù)、的值，由此可得出的值.【詳解】，，且，，，解得，.因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用直線與平面垂直求參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量共線，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】分析：利用列舉法求出事件“”包含的基本事件個數(shù)，由此能出事件“”的概率．詳解：將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，用表示向上點數(shù)之和，則基本數(shù)值總數(shù)，事件“”包含的基本事件有：共6個，∴事件“”的概率．即答案為.點睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．15、【解析】

首先想到所選的人中沒有女生，有多少種選法，再者需要確定從人中任選人的選法種數(shù)，之后應(yīng)用減法運算，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，沒有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種，故答案是.【點睛】該題是一道關(guān)于組合計數(shù)的題目，并且在涉及到“至多、至少”問題時多采用間接法，一般方法是得出選人的選法種數(shù)，間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數(shù)，該題還可以用直接法，分別求出有名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運算求解.16、【解析】

推導(dǎo)出,從而,由此能求出結(jié)果.【詳解】函數(shù),.故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)的求法,考查學(xué)生理解辨析的能力,難度容易.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】

運用數(shù)學(xué)歸納法證明，考慮檢驗成立，再假設(shè)成立，證明時，注意變形，即可得證．【詳解】證：①當時，，能被7整除；②假設(shè)時，能被7整除，那么當時，，由于能被7整除，能被7整除，可得能被7整除，即當時，能被7整除；綜上可得當時，能被7整除.【點睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若成立（奠基）；假設(shè)成立，可以推出成立（歸納），則對一切大于等于的自然數(shù)都成立.屬于基礎(chǔ)題.18、（3）3；（2）2；（3）證明見解析.【解析】

利用“乘3法”和基本不等式即可得出．【詳解】解（3）∵a+b+c＝3，∴y=1a+1b+1c=（a+b+當且僅當a＝b＝c=13時取等號．即y=1（2）y=22x+而x∈(0，12)當且僅當2(1-2x)2x=8?2x1-2x，即x=16∈∴函數(shù)y=1x+（3）∵a3+a2+a3+…+an＝3，∴2S＝（a12a1+a2+a22a2+a3+a32=(a≥(a12+a2當且僅當a1=a【點睛】本題考查了“乘3法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）【解析】

(1)將圓心極坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標，可得圓是以為圓心，半徑為2的圓，寫出標準方程，，再轉(zhuǎn)化成極坐標方程即可（2）將代入可求得，再根據(jù)直線的參數(shù)方程進行消參，得到普通方程，再將普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標方程，算出，可求得答案【詳解】解：（1）圓是以為圓心，半徑為2的圓.其方程是，即，可得其極坐標方程為，即；（2）將代入得，直線的普通方程為，其極坐標方程是，將代入得，故.【點睛】對于圓的普通方程和參數(shù)方程及極坐標方程，應(yīng)熟練掌握，平時應(yīng)熟記四種極坐標方程及對應(yīng)的普通方程：，做題時才能游刃有余，本題第二問巧妙地運用了極徑來求解長度問題，體現(xiàn)了極坐標處理解析幾何問題的優(yōu)越性20、（1）（2）單調(diào)遞增，見解析（3）【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，由求得的值.（2）由（1）求得的解析式，利用單調(diào)性的定義，任取，計算，由此證得在上遞增.（3）根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性化簡不等式，得到對任意恒成立，利用一元二次不等式恒成立則其判別式為負數(shù)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）∵是奇函數(shù)在原點有定義：∴，∴；經(jīng)驗證滿足題意（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，則：；∵，∴，；∴；∴是上的增函數(shù)；（3）由（1）、（2）知，是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)；∵，∴；∴；即對任意恒成立；只需；解之得；∴實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，考查一元二次不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.21、(1).(2).(3).【解析】分析：（Ⅰ）設(shè)各小長方形的寬度為，由頻率直方圖各小長方形的面積總和為，可得，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）利用平均數(shù)公式求出平均數(shù)、利用樣本中心的性質(zhì)結(jié)合公司可求得回歸系數(shù)，從而可寫出線性回歸方程；（Ⅲ）計算當時，銷售收益預(yù)測值，再求殘差值.詳解：（Ⅰ）設(shè)各小長方形的寬度為，由頻率直方圖各小長方形的面積總和為，可知，故.（Ⅱ）由題意，可知，，，，根據(jù)公式，可求得，，所以關(guān)于的回歸方程為.（Ⅲ）當時，銷售收益預(yù)測值（萬元），又實際銷售收益為萬元，所以殘差點睛：求回歸直線方程的步驟：①確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.22、(1)f(x)極小值=1，無