幾種重要的分布

幾種重要的分布第1頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一二項分布0-1分布超幾何分布泊松分布幾何分布離散型第2頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

若以X表示進行一次試驗事件A（成功）發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從0－1分布(兩點分布)。

0-1分布P33一門課程的考試是“及格”還是“不及格”剛出生的新生兒是“男”還是“女”產(chǎn)品檢驗的結(jié)果是“合格”還是“不合格”射擊結(jié)果是“擊中目標”還是“沒有擊中目標”(0-1)分布的實際背景若一個試驗只產(chǎn)生兩個結(jié)果，則可以用服從(0-1)分布的r.v來描述例例例例第3頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一二項分布二項分布的分布律的圖形特點二項分布的定義二項分布的實際背景（兩個例子）第4頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作

X~B(n,p)

用X表示n重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則特別當時就是(0-1)兩點分布，即X~b(n,p)二項分布的定義P24注：第5頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一若則問答

X~B(n,p),則

X=X1+X2+…+Xni=1,2，…，nX表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù).若設(shè)

表示第i次貝努里試驗中的“成功”次數(shù).=np所以

=np(1-p)并且獨立注：第6頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作

X~B(n,p)

用X表示n重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則X~b(n,p)P24例設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中的次數(shù)，每次射中的概率為0.4，則第7頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一X~b(n,p)二項分布的分布律的圖形特點第8頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

對于固定n及p，當k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點：X~B(n,p)當(n+1)p不為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達到最大值；([x]表示不超過x

的最大整數(shù))n=10,p=0.7nPkP82-83第9頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

對于固定n及p，當k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點：X~B(n,p)當(n+1)p為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達到最大值.n=13,p=0.5Pkn0P82-83第10頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一二項分布的實際背景（兩個例子）第11頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

若一年中某類保險者里面每個人死亡的概率等于0.005，現(xiàn)有10000個人參加這類人壽保險，試求在未來一年中在這些保險者里面，⑴有40個人死亡的概率;⑵死亡人數(shù)不超過70個的概率.解例記

為未來一年中在這些人中死亡的人數(shù)，則當很大時直接計算二項分布的值是很困難的n①用計算機編程計算②利用第五章介紹的極限定理來計算實際背景：二項分布產(chǎn)生于n重伯努利試驗第12頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一共15層小釘Ox-8-7-6-5-4-3-2-1

12345678高爾頓釘板試驗小球最后落入的格數(shù)?記小球向右落下的次數(shù)為

則記小球向左落下的次數(shù)為

則實際背景：二項分布產(chǎn)生于n重伯努利試驗第13頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一超幾何分布第14頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,次品正品M件次品N-M件正品

這種概率分布就稱為超幾何分布。X~H(N,M,n)

超幾何分布以二項分布為極限。P85-86，例3則其中所包含的次品數(shù)就是一個隨機變量X.P83第15頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,則其中所包含的次品數(shù)就是一個隨機變量X.P83若設(shè)

表示第i次抽到的次品數(shù).i=1,2，…，（抽簽問題）則

X=X1+X2+…+Xn注：第16頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一泊松分布

泊松分布的定義及圖形特點二項分布與泊松分布

泊松分布產(chǎn)生的一般情況泊松分布的例子第17頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

在一個時間間隔內(nèi)某電話交換臺收到的電話的呼喚次數(shù)。

泊松分布產(chǎn)生的一般情況

一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)

某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)

某一醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)

某一地區(qū)一個時間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)第18頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

泊松分布的定義及圖形特點

設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱

X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~P().P86第19頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一若問答則并且獨立第20頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一泊松分布的圖形第21頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

泊松分布的圖形特點：X~P()當

不為整數(shù)時，概率P(X=k)在k=[]達到最大值；當

為整數(shù)時，概率P(X=k)在k=和達到最大值；第22頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一P254例設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，且已知則第23頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一C第24頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個分布之一.在實際中，許多隨機現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布.二項分布與泊松分布第25頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一泊松定理表明，泊松分布是二項分布B(n,p)的極限分布.當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布第26頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

在一個時間間隔內(nèi)某電話交換臺收到的電話的呼喚次數(shù)。回顧：泊松分布產(chǎn)生的一般情況

一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)

某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)

某一醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)

某一地區(qū)一個時間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)泊松定理表明，泊松分布是二項分布B(n,p)的極限分布.當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布

……第27頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一例．某地區(qū)疾病資料統(tǒng)計表明，因感冒而導(dǎo)致死亡的比例為0.2%（死因獨立）．現(xiàn)有1000人患感冒．求（1）恰有4人死亡的概率（2）死亡人數(shù)不超過2人的概率

泊松分布的例子第28頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一第29頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一例

一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進某種商品m件,求滿足P(X≤m)>0.95的最小的m

.進貨數(shù)銷售數(shù)第30頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一求滿足P(X≤m)>0.95的最小的m.查泊松分布表得P(X>m)≤0.05也即于是得m+1=10,或m=9件第31頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X

的概率函數(shù).P36幾何分布第32頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布連續(xù)型第33頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X～U(a,b)若

r.vX的概率密度為：記作均勻分布第34頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

r.vX的概率密度為：X～U(a,b)

r.vX的分布函數(shù)為：F(x)1abx第35頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一X～U(a,b)

這說明在同樣長的子區(qū)間內(nèi)概率是相同的，這個概率只依賴于區(qū)間的長度而不依賴于區(qū)間的位置。

r.vX的概率密度為：

對于長度為l的區(qū)間第36頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；第37頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一例

長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率解：設(shè)A—乘客候車時間超過10分鐘X—乘客于某時X分鐘到達，則XU(0,60)1545第38頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一若r.vX具有概率密度為常數(shù),則稱

X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布.指數(shù)分布λf(x)xP88第39頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一r.vX具有概率密度λf(x)xr.vX的分布函數(shù)第40頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一第41頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一例指數(shù)分布通常用來描述“壽命”的分布電子元件的壽命；生物的壽命；電話的通話時間；機器的修理時間；營業(yè)員為顧客提供的服務(wù)時間；······指數(shù)分布實際背景de平均壽命λf(x)x第42頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)考慮概率指數(shù)分布的重要性質(zhì)--無記憶性如果已知壽命長于年,則再活年的可能性與年齡無關(guān)！即指數(shù)分布是“永遠年青”的!sts說明什么？第43頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布正態(tài)分布的圖形特點

正態(tài)分布的定義標準正態(tài)分布正態(tài)分布表3準則正態(tài)分布的背景和應(yīng)用正態(tài)分布的和二元正態(tài)分布第44頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

正態(tài)分布的定義

若r.vX的概率密度為記作

f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.

P92第45頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分別代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且

f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)函數(shù)

在

上單調(diào)增加,在

上單調(diào)減少；第46頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一這說明曲線

f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。當x→∞時，f(x)→0,第47頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一用求導(dǎo)的方法可以證明，為f(x)的兩個拐點的橫坐標。x=μσ第48頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一當x→∞時，f(x)→0,x=μσ故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:第49頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布的圖形特點

正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對稱的鐘形曲線.特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.第50頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點第51頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是第52頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一標準正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布

正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，當μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。第53頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：P93第54頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一它的依據(jù)是下面的定理：

標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.

一個服從正態(tài)分布的隨機變量X的線性函數(shù)Y=aX+b仍然服從正態(tài)分布。,則

~N(0,1)

設(shè)定理,則

~N(0,1)

設(shè)P94第55頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.正態(tài)分布表表中給的是x>0的值.當x<0時P260第56頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一當x<0時P260第57頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一當x<0時正態(tài)分布表兩個重要的數(shù)值：P260第58頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一若~N(0,1)

若

X～N(0,1),一般正態(tài)分布的計算：第59頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

第60頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

第61頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一解例設(shè)求下列概率值：求得下列概率值3準則第62頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一總結(jié)：時，可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).

這在統(tǒng)計學(xué)上稱作“3準則”

（三倍標準差原則）.P260第63頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一例設(shè)則的大小關(guān)系是第64頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一自然界許多指標都服從或近似服從正態(tài)分布

成年人的各種生理指標：身高、體重、血壓、視力、智商等例一個班的某門課程的考試成績例海浪的高度例一個地區(qū)的日耗電量例各種測量的誤差例炮彈彈著點例一個地區(qū)的家庭年收入例正態(tài)分布的背景和應(yīng)用第65頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一服從正態(tài)分布的指標有什么特點一般說，若影響某一數(shù)量指標的隨機因素很多，而每個因素所起的作用都不太大，則這個指標服從正態(tài)分布.為什么叫“正態(tài)”分布正態(tài)分布密度呈現(xiàn)“中間高，兩頭低”的形態(tài)，它描述了自然界大量存在的隨機現(xiàn)象，所以正態(tài)分布是自然界的一種“正常狀態(tài)

(normal)”的分布.問題？問題？第66頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678正態(tài)分布的密度曲線高爾頓釘板試驗第67頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一

例公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?

解:設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計要求P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的

h.第68頁，共74頁，2023年，2月20日，星期一因為X～N(170,62),故

P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即

h=170+13.98184設(shè)計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的

h.第69頁，共74頁，2023年，