2021年四川省成都市新都天元中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021年四川省成都市新都天元中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負(fù)整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項的和為972，則這樣的數(shù)列共有

(A)2個

(B)3個

(C)4個

(D)5個參考答案：C解：設(shè)首項為a，公差為d，項數(shù)為n，則na+n(n－1)d=972，n[2a+(n－1)d]=2×972，即n為2×972的大于3的約數(shù)．∴⑴n=972，2a+(972－1)d=2，d=0，a=1；d≥1時a<0．有一解；⑵n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解；⑶n=2×97，n=2×972，無解．n=1，2時n<3.．選C2.已知實(shí)數(shù)，執(zhí)行如右圖所示的流程圖，則輸出的x不小于55的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：B3.已知全集，則（

）

A、 B、 C、 D、參考答案：D4.已知某個幾何體的三視圖如圖2所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），則這個幾何體的體積是(

).A.

B.

C.

D.參考答案：B三視圖的直觀圖是有一個側(cè)面垂直于底面三棱錐，底面是底邊長為6高為4的等腰三角形，三棱錐的高為3，所以，這個幾何體的體積5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(

)A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石參考答案：B【考點(diǎn)】隨機(jī)抽樣和樣本估計總體的實(shí)際應(yīng)用．【專題】計算題；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒，可得比例，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為1534×≈169石，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．6.曲線y=ex在點(diǎn)A（0，1）處的切線斜率為(

) A．1 B．2 C．e D．參考答案：A考點(diǎn)：直線的斜率；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．專題：計算題．分析：由曲線的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，然后把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=0代入，求出對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值即為切線方程的斜率．解答： 解：由y=ex，得到y(tǒng)′=ex，把x=0代入得：y′（0）=e0=1，則曲線y=ex在點(diǎn)A（0，1）處的切線斜率為1．故選A．點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，是一道基礎(chǔ)題．7.，，則=（）A．（0，2] B．（1，2]

C．?

D．（﹣4，0）參考答案：B8.給出下列命題：①分別和兩條異面直線AB、CD同時相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線②同時與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行③斜線b在面α內(nèi)的射影為c，直線a⊥c，則a⊥b④異面直線a,b所成的角為，過空間一定點(diǎn)P，作直線L，使L與a,b所成的角均為，這樣的直線L有兩條

其中真命題是(

)A.①③

B.①

C.③④

D.②④參考答案：B①若AC、BD不異面，則ABCD共面,這與AB、CD異面矛盾②將其中一條異面直線平移與另一條相交確定一個平面，則二直線垂直同一個面。③沒有a在α內(nèi)的條件，不符合三垂線定理

④三條9.我們可以用隨機(jī)模擬的方法估計的值，如左下程序框圖表示其基本步驟（函數(shù)是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，它能隨機(jī)產(chǎn)生內(nèi)的任何一個實(shí)數(shù)）．若輸出的結(jié)果為，則由此可估計的近似值為（

）A．3.119B．3.126C．3.132D．3.151參考答案：B發(fā)生的概率為，當(dāng)輸出結(jié)果為時，，發(fā)生的概率為，所以，即故選B.10.已知函數(shù)滿足，且時，，則當(dāng)時，與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為(

)A．13 B．12 C．11 D．10參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線：和：，則∥的充要條件是=

．參考答案：12.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如右圖，若的極大值與極小值之和為，則的值為

．參考答案：13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，若的最小值為3，則實(shí)數(shù)b=____參考答案：【分析】畫出可行域，由圖象可知，的最小值在直線與直線的交點(diǎn)處取得，由，解方程即可得結(jié)果.【詳解】由已知作可行域如圖所示，化為，平移直線由圖象可知，的最小值在直線與直線的交點(diǎn)處取得，由，解得,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于中檔題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14.已知，是邊上的一點(diǎn)，，若記，則用表示的結(jié)果為=

參考答案：略15.函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）處的切線的斜率分別是kM，kN，規(guī)定φ（M，N）=（|MN|為線段MN的長度）叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的“彎曲度”．①函數(shù)f（x）=x3+1圖象上兩點(diǎn)M與點(diǎn)N的橫坐標(biāo)分別為1和2，φ（M，N）=；②設(shè)曲線f（x）=x3+2上不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），且x1?x2=1，則φ（M，N）的取值范圍是

．參考答案：，（0，）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】對于①，由y=x3+1，得y′=3x2，則kM=3，kN=12，則|kM﹣kN|=9，y1=2，y2=9，則|MN|==5，即可求出φ（M，N）==；對于②，利用定義，再換元，即可得出結(jié)論．【解答】解：對于①，由y=x3+1，得y′=3x2，則kM=3，kN=12，則|kM﹣kN|=9，y1=2，y2=9，則|MN|==5，φ（M，N）==；②曲線f（x）=x3+2，則f′（x）=3x2，設(shè)x1+x2=t（|t|＞2），則φ（M，N）===，∴0＜φ（M，N）＜．故答案為，（0，）．【點(diǎn)評】本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．16.如果隨機(jī)變量，且，則________．參考答案：略17.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為

．參考答案：-1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.完全平方數(shù)對(a，b)滿足：(1)a和b的十進(jìn)制表示位數(shù)相同；(2)將b的十進(jìn)制表示續(xù)寫在a的十進(jìn)制表示之后，恰好構(gòu)成一個新的完全平方數(shù)的十進(jìn)制表示，例如a＝16，b＝81，1681＝412．求證：這樣的數(shù)對(a，b)有無窮多對．參考答案：證明：取a1＝42，a2＝492，…，an＝(5×10n－1－1)2，…；b1＝92，b2＝992，…，bn＝(10n－1)2，…．其中n為正整數(shù)．顯然，an，bn均為2n位數(shù)，且＝25×104n－2－103n＋2×102n－2×102n＋1＝(5×102n－1－10n＋1)2即對任意正整數(shù)n，(an，bn)均滿足條件．19.已知函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝＋2.(1)求函數(shù)g(x)的值域；(2)設(shè)，討論的單調(diào)區(qū)間參考答案：(1)g(x)＝＋2＝()|x|＋2，因?yàn)閨x|≥0，所以0＜()|x|≤1，即2＜g(x)≤3，故g(x)的值域是(2,3].易知當(dāng)時，，因?yàn)樵跒閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，顯然在單調(diào)遞增，又在連續(xù)，所以在單調(diào)遞增略20.（本小題滿分12分）如圖，梯形ABCD中，AB／／CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2BC＝2CD＝2．E為AB中點(diǎn)．現(xiàn)將該梯形沿DE析疊．使四勸形BCDE所在的平面與平面ADE垂直。（1)求證：BD⊥平面ACE;(2）求平面BAC與平面EAC夾角的大?。畢⒖即鸢福海?）證明：∵平面平面,∴平面而平面

∴又,

∴平面……6分(2)解法1:設(shè),過點(diǎn)作于,連接,易證,即是二面角的平面角在中,,得,所以,即平面與平面夾角的大小為.……12分解法2：取為原點(diǎn)，直線分別為軸和軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則∴設(shè)是平面的法向量，則由得，取，由（1）平面知平面的一個法向量∴，得，可知平面與平面夾角的大小為.……12分21.（本小題滿分15分）已知函數(shù)，（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)閧且}

∴為偶函數(shù)

（Ⅱ）當(dāng)時，

若，則，遞減；

若，

則，遞增．再由是偶函數(shù)，得的遞增區(qū)間是和；遞減區(qū)間是和．（Ⅲ）由，得：

令當(dāng)，

顯然時，，

時，，∴時，

∴若方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是[1，＋∞）．略22.（2017?白山二模）已知函數(shù)f（x）=lnx+bx﹣c，f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），結(jié)合切線方程求出b，c的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式即可；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為在定義域（0，+∞）內(nèi)恒成立，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．【解答】解：（1）由題意，得，則f'（1）=1+b，∵在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0，∴切線斜率為﹣1，則1+b=﹣1，得b=﹣2，將（1，f（1））代入方程x+y+4=0，得1+f（1）+4=0，解得f（1）=﹣5，∴f（1）=b﹣c=﹣5，將b=﹣2代入得c=3，故f（x）=lnx﹣2x﹣3．（2）依題意知函數(shù)的定義域是（0，+∞），且，令f'（x）＞0，得，令f'（x）＜0，得，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（