構(gòu)造新數(shù)列求遞推數(shù)列通項(xiàng)

nn1nnnn1nn構(gòu)造新列遞推數(shù)通在研究數(shù)列問(wèn)題時(shí),數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是首要解決的問(wèn)題.在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法有多種但筆者認(rèn)為利用構(gòu)造新數(shù)列把非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為等等兩種典型的特殊數(shù)列是最為重要的但于構(gòu)造新數(shù)列需要比較靈活的變形技,學(xué)在應(yīng)用構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)卻往往會(huì)感到力不從心.為此本文以2008年數(shù)學(xué)高考試題中涉及的數(shù)列和平時(shí)教學(xué)中所遇到的典型的數(shù)列為例,介紹利用構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧供讀者參考.1.由a

n

n1

確定數(shù)列通公式例1

已}an1

n1

n

N

*

，求數(shù)a}通項(xiàng)公式.n解

n1

n

，解x1數(shù)a

n

是首項(xiàng)為公為2的等比數(shù)列.a

n

11

n1

a

n

2

n1

1.n1*.故數(shù)}的通項(xiàng)公式a2Nnn例2湖北理科第題)已數(shù)}n1

n1

n

N

*

.其中為常數(shù)數(shù)a}的通公式.n解

n

B

An,其中A,B為定系數(shù).na

n1

ABaaN

*

解A.由此可得數(shù)a

n

3n為等比數(shù)列.

n

3n1

21)n簡(jiǎn)a(n

.故數(shù)}的通項(xiàng)公式n

n

(1

3n

*

.評(píng)注對(duì)于求由a

n

n1

定的數(shù)列的通項(xiàng)公式,般方法為尋找關(guān)的g(n),構(gòu)造遞推關(guān)

n

n

得數(shù)

n

為等比數(shù)而求出數(shù)}通項(xiàng)公式造新數(shù)列最關(guān)鍵是尋找函數(shù)g,n這需要根據(jù)f(n)的構(gòu)而定,如f(n)是n的一次式,g也一次式,如f(n)是關(guān)n的二次函g應(yīng)為關(guān)二次函.確定g構(gòu)后

再通過(guò)待定系數(shù)的方法求g.2.求

n

pa

n1

rn確的數(shù)列通項(xiàng)公式例3(2008全國(guó)卷第題)設(shè)}的n項(xiàng)S．已n1

，a

n1

S

n

3

n

nN

*

數(shù)}的項(xiàng)公式.n解由a

n1

S

n

3

n

a

n

S

n1

3

n1

a

n1

2a

n

23

n1

右兩邊同除3

n1得

a3

n1n1

2a2an.令n133n93n1

2ax(33

nn

中待定系數(shù),n2得

數(shù){

a3

nn

23

}第2項(xiàng)起為等比數(shù)列.n2,

a2an(3n33

22)(n2a33

n

3)

n2

23

n1

.故數(shù)}的通項(xiàng)公式n

n

13)2n223n1

.評(píng)注求a

n

pa

n1

定的數(shù)列的通項(xiàng)公,一可以通過(guò)左右兩邊同除r

n

,除不和諧的指數(shù)r

n

,其化歸為求由形如a

n

n1

確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.求a

確定的列的通項(xiàng)公例4(2008年西卷第22題)知數(shù)}的nna}的項(xiàng)公式.n

3an2a

，解a

n1

11121n1a3a3ann1nn1

11x(x1.3an則數(shù){

1an

為等比數(shù)列而

1an

111((n1a31

n

3n23

n

.故數(shù)}的通項(xiàng)公式an

n

323

n

N

*

.

評(píng)注于由分式遞推關(guān)系確定的數(shù)左右兩邊進(jìn)行倒數(shù)是一種常用的技巧和方過(guò)取倒數(shù)再構(gòu)造新數(shù)列終把數(shù)列化歸為等比或等差數(shù)列而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式.4.求

n2

n

定的列的通公式n例5年天津卷文科第題數(shù)}中n

2

且a

n1

q)a

n

n1

0)數(shù)}的項(xiàng)公式.n解

n1

a

n

n

a

n1

a

n

x)

n

n1

條件得1qq

1數(shù)

n

公差為0的等差數(shù)列n

n

n1

2

1

a

n

n

.qa

n

1

n.q1

n

n

2q

數(shù)a

n

q2q1

}是公比首項(xiàng)為

1q1

的等比數(shù)列.從a

n

q21q1q1

qn1,

n11故數(shù)}的通項(xiàng)公式an

n

qn1q2q1

1

.例6廣東理科第題為數(shù)，,是方2

的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列{x}滿(mǎn)足xn1

2

p

2

n

pxn1

qxn2

N

*

數(shù){的項(xiàng)公式.n解n

n

n

n2

n

n

n

條件得pq

m一組解為

,則數(shù)列xn

n

}公比為

的等比數(shù),數(shù)列{xn

n1

}是公比為

的等比數(shù)列.

pq1221pq1221xn

xn1

2

x1

n2

,xn

xn1

2

x)1

n2

.1xn

2xn1

2

nn

p,q，x2nx,n1

22

1

.當(dāng)

時(shí),解該兩式有xnn1

的方程(n1

nn(n1n1n

1n1當(dāng)

時(shí),n

xn1

n

xn

xn1

n

xxnn1nn1

1.則數(shù)

xnn

}是公差為1的等差數(shù)列

xnn

x1

n1n

n

n

n

.故數(shù){的項(xiàng)公式xnn

n1n1,nnn

.評(píng)注對(duì)于求由a

n2

n

a確的數(shù)列的通項(xiàng)公式般先構(gòu)造形如n

n2

n

n1

)的列遞推關(guān)系得數(shù)列n

n

}為比數(shù)n而求數(shù)}的通項(xiàng)公式中的常利用待定系數(shù)法求得.n5.求a

n2

n

確定的數(shù)的通項(xiàng)式n例7(2008第21)列{a}足n1

2

n

n

32

n2

*

.求數(shù)a}的項(xiàng)公式.n解

n

a

n1

32

a

n2

左右取對(duì)數(shù)loga2

n

log2

n1

32

a

n2

)a2

n2

a2n

a.2a2

n2

xloga2

n1

y(a2

n

xlog)照上式得2n

yxy

32解得

x21xy2

.由loga0,a222

5a2

,故得數(shù)列{o2n

l}是各項(xiàng)為0的常,數(shù)列2n

2n1n1p121n12n1n1p121n1a2

n

}是項(xiàng)為

比為2的等比數(shù)列故2

n

loga2

n1

,loga2

n

a2

(3,解上述有aa2n

n

的方程log2

n

(n1

.故數(shù)}的通項(xiàng)公式an

n

2(.評(píng)注由形如a

n2

n1

確定的數(shù)列的通項(xiàng)公慮到左右兩邊次數(shù)n的不統(tǒng)以取一而由

n2

n1

a定的數(shù)列的通項(xiàng)公式.n6.利三角函構(gòu)造新數(shù)列數(shù)列的項(xiàng)公式例8已數(shù)}滿(mǎn)an1

1

a

31

N*數(shù)}的通項(xiàng)公n式．解a