線性代數(shù)A期末考試參考練習(xí)題(來自題庫題及教務(wù)處發(fā)的同步練習(xí))(注-僅供參考)(一)

第一章行列式

二.填空題（1-6為逆序數(shù)的計算；）

1.（1.2易）排列4,1,2,3,7,6,5的逆序數(shù)為

答案：6

2.（1.2易）排列6,3,1,4,2,5的逆序數(shù)為.

答案：8

3.（1.2易）排列6,1,2,3,5,4的逆序數(shù)為.

答案：6

4.（1.2易）排列5,3,1,4,2,6的逆序數(shù)為.

答案：7

5.（1.2易）按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)順序，排列4132的逆序數(shù)為—

答案：4

6.（1.2易）排列1,5,3,4,2的逆序數(shù)為.

答案：4

182

7.（1.5易）050=

001

答案：5

1200

3400

8.（1.5較易）D=

（）0-13-

0051

答案：32

111

（）011_

9.（1.5易）D

0011-

0001

答案：0

311

10.（1.5易）行列式131=____________

3

答案：20

0Xy

11.（1.5較易）D=-X0z

-y-z0

答案：0

xyzx-1y-lz—1

12.（1.5易）若302=-2,則302=

111111

答案：-2

aaaa

\\i2。13\\\2。13

1.3（1.5易）50.如果。=。21。22。23=3,則2a2i2a222a23

032033。31。32。33

答案：6

Cl\\a\2〃132。][a]2%

14.（1.5易）如果。=。21。22。23=3,則

2%a32033

a3\。32。33

答案：6

Qua[2a[32a“424。[3

15.（1.5易）如果。=a2\a22a23=3,貝U

。31〃32。332。3]。324。33

答案：24

a\\a\263cauca12cau

，則

16.（1.5較易）如果。=CIQ]Cl"2p。23-aa2\。22023

。31。32433ba3lbai2b%

答案:abc

1仇00

-1l-h.b、0

17.（1.5較易）D=二

0-1\-b2仇

00-11一打

答案：1

18.（1.6較易）已知四階行列式。的第二行元素分別為3,1,T,2,他們對應(yīng)的余子

式分別為1,2,2,-1,則行列式。=

答案：-1

19.（1.6較易）已知四階行列式D的第3列元素分別為1,3,-2,2,他們對應(yīng)的余子式分

別為3,-2,1,1,則行列式D=

答案：5

256

20.（1.6易）行列式a13中元素。的代數(shù)余子式=

412

答案：一4

0101L0

002L0

=

21.(1.6易)Dn=MMMO0

000Ln-\

n00L0

答案：(-l)n+1n!

123

22.（1.6易）已知三階行列式0=20-1,則第3行第2列元素的代數(shù)余子式

152

%二-------------

答案：7

21-1

23.（1.6較易）33.設(shè)4=111,則人力+g+與=

4-10

答案：0

24.（1.6易）行列式A中元素他的代數(shù)余子式為與余子式之間的關(guān)系_

答案：4=（-1）小用初

-1-25-3

.r.28—40

25.（1.6較易）已知￡>=，%二-----

1390

2106

答案：一9

2001

26.（1.6較易）行列式021°=

0120

1002

答案：9

三.選擇題

L（L5易）如果什1詡+29=0僅有二

挈解，則（）.

2玉+（%—1）々=0

A.k豐1,B.ZH—1或ZH3,C.k=3,D.1且女=3.

答案：D

。12。132%］2。［22。］3

2.（1.5易）如果生1/2a23=2，貝IJ2,孫2%22%3=（）

431.32“332133i2a322a33

A.2B.4C.12D.1（

答案:D

aaa

\\\2\3°3I“32。33

3.（1.5易）若41”22"23=1貝U—2%1—2〃22—2〃23二（）

031。32。333ali3。123。”

A.-5B.-6C.-1D.1

答案：B

115

4.（1.5較難）設(shè)/（x）=11X2+4，則方程/（%）=0的根分別為（）

7X2-23

A.1,1,3,3B.-1,-1,3,313.-1,—1,-3,-3D.1,-1,3,_3

答案：D

。12。133。313。323%3

5.（1.5易）已知a2la22〃23=d，則行列式~a\\~ai2~a\3=（）

。32。332生i+3。]i2%2+3q22%3+3。13

A.-6dB.6dC.一3dD.3d

答案：A

a2

6.（1.5較易）3xA）

瓦b2

qC2C3

3qa?a?3q3a23a33q—3。-)

A.瓦3b2byB.3bl3b?3b3C.4瓦

C

Ac23c33c,3c23c3q2

a\3。2

D.偽3b2打

q3C2C3

答案:D

a\\a\2〃13Q|34/-〃]2

7.（1.5易）若a2\。22。23=1,則〃234a21~~）

a3\。32。33。334〃31—〃32

A.5B.-5C.20D.-20

答案:A

4?！?即一3。12

8.（1.5易）如果=1,則4a212%1-3a22）

4。3|2。3]-3。32

A.8B.-12C.24D.-24

答案：B

即a\2。133a3i3%23a33

9.（1.5易）如果o=a2\a22。23二m,2=3a2l3。223a’23

?3）。32。333%3a]23a13

那么(）.

A.3m；B.-3m；C.9m；D.-27//1.

答案：D

abac

10.（1.5較易）ahh2be=（）

2

acbe

A.abcB.1C.0D.a262c2

答案:C

11.（1.6較易）已知4階方陣A,其第三列元素分別為1,3,-2,2,它們的余子式的

值分別為3,-2,1,1則行列式|A|=（）

A.5B.-5C.-3D.3

答案:A

-132

12.（1.6易）行列式。=-520中元素心的代數(shù)余子式為（）

10-3

A.0B.-10C.10D.3

答案:B

-213

13.（1.6易）行列式。=012中元素&的代數(shù)余子式為（）

201

A.4B.-4C.0D.2

答案:A

000-30

00100

14.（1.6較易）行列式。=02000=（）

-10000

0000-2

A.-12B.12C.D.6

答案:A

15.（1.6較易）四階行列式D的某行元素依次為-1,0,k,6,它們的代數(shù)余子式分別為

3,4,-2,0,且。=一9,則&=（）

A.0B.3C.1D.-1

答案:B

16.（1.6較易）已知A為三階矩陣,其第三行元素分別為1,3,-2,它們的余子式分別為

3,-2,1,則|A|=()

A.5B.-5C.7D.-7

答案:C

0105

022:的值為（

17.(1.6較易)行列式2=.、八)

330

0408

A.-12B.-24C.-36D.-72

答案：D

三.解答題

1-53-3

201-1

1.(1.5較易)計算行列式。

31-12

4I3-1

1—53—31-53-31-53-3

010-5502-110111

解：D=—5=(-5)

016-101100-2300-23

021-911011102-11

1-53--31-53-3

01110111

=(-5)=(-5)=—55

00-2300-23

_11

00-3-1000

2

2141

3-121

2.（1.5易）13.計算行列式。=]

232

5062

21415062

3-1213-121

解:D=

12327074

50625062

=0

12-12

3.（1.5易）計算行列式D=31015

1-203

-2-416

12-1212-1212-12

31015044-1044-1

解：D=—=200

1-2030-4110050

-2-41600-11000010

4124

1202

4.（1.5易）計算行列式

10520

0117

4124120212021202

1202_412401170117

解:=0.

1052010520=10520001785

01170117412400945

I3-12

1-53-4

5.（1.5易）計算行列式D=

021-1

-513-3

13-1213-1213-1213-12

1-53-40-84-6021-1021-1

解D=

021-1021-10—84—600-25

-513-3016-27016-2700-1015

13-12

021

=40.

-00-25

000-10

222…2

133…3

6.（1.5較難）計算行列式：Dn=114-??4

111-??1111-1

133…3022--?2

解：Dn=2114--?4=2003--?3=2xlx2x--xn=2xn!

??:.???:.?

111--n+1000…〃

1111

11-x1???1

7.（1.5較難）解方程D“=112-x…1=0

111(n-l)-x

111…1

0-x0…0

解：左邊二001-x…0

000…(n—2)—x

=一出1-x)D-?口(11-2)-x]

由一xEJl-X)口??口(11-2)-x]=0

得方程的n個解為x=O,l,…，〃-2

5301

0-2-1；中元素%3=-1，。33=4的代數(shù)余子式，

8.（1.6易）寫出四階行列式。=

104

0302

并求其值.

5-310-3-34

①+②(-5)

2+3

解：A23=(-1)x107107

032032

-3-34

=-6+102=96.

32

5-31

0=(-2)x(-l)2+2^1

%=(-1)3+3X0-2

2

032"

=(-2)x10=-20.

。=0+。23A23+a33A33+0=一96+4x(—20)=一176.

53-120

17252

9.（1.6較易）計算行列式0-2310

0-4-140

02350

解:

53-120

53-12

17252-231

0-231

0-2310=(-1)2+5X2=-2x5-4-14

0-4-14

0-4-140235

0235

02350

=-10x[(-2)x(-l)x5+(-4)x3xl+2x3x4-1X(-1)X2-(-2)X3X4-3X(-4)X5]

=-1080

第二章矩陣及其運(yùn)算

一、填空題

1.(2.2較易)已知A=(2--13),8=(—12),則A”=

'-24、

答案：-12

「36,

。32](]]3、

2.(2.2易)矩陣A=411,8=212,則A+25

<34V134"

‘358、

答案：835

、9125,

’113、

3.(2.2易)矩陣8=212，則E+25=______________

、34

'326、

答案：434

、683,

(2-1Y00

3.(2.2易)=

13-2)

…(\0、

答案：八

1。1J

(2-1Y"

4.(2.2較易)=_

13-2)

2(\

答案：(0八1J

<2-lYn+l

5.(2.2較難).=

13-2)

答案：

13-2）

（2-1>

6.（2.2較易）

、3—2,

答案：

b-2）

（12、Q-（J，則3A+25=____

7.（2.2易）設(shè)A=|，B=

1-1V

答案:（91-111A）

（~\5、B=\3I,則3A-8=

8.（2.2易）設(shè)矩陣A=

1-20j

答一案:L（-61J4、

'120、

（23-A1

9.（2.2較易）設(shè)4=340,8=，則nlA*

1-240J

C21,

，86、

答案：A=186

、310,

‘200、

10.（2.2較易）設(shè)4=030,A?=_______________.

、。0%

’400、

答案：090

、0016,

11.（2.2易）A為四階方陣,|A|=4,則-A-_____________

2

答案：，

4

12.（2.3易）A為三階方陣,|4|=2,則-A

2

答案：；

13.（2.2易）A為5階方陣，且滿足AT=_A，則同=

答案：0

14.（2.2易）4為9階方陣，且滿足AT=-A,則|A|=

答案：0

15.（2.2易）設(shè)A為3階方陣，且|A|=2,則12Al=

答案：16

16.（2.3較易）設(shè)n階矩陣A滿足1+A=5E,則箱

答案：1（A+E）

5

-100、

17.（2.3較易）設(shè)矩陣A=1-10,則（A+2E）

I。1

00、

答案:10

-117

901、

18.（2.3較易）方陣4=030的逆矩陣4

200>

001/2、

答案:01/30

100

'54、21\

19.（2.3較難）設(shè)5=,且5AC=E,則4一1

、32,-347

‘1310

答案:

-3-47

q2、82、

20.（2.3較難）設(shè)5=,C=，J3.WABC=E,則

J134j

710、

答案:

12,

‘300、

21.（2.3較易）設(shè)4=140,則（4-2/尸=

、。03,

'100、

答案：-1-0

、001,

21.（2.3較易）設(shè)4、6均為5階矩陣，|A|=2,網(wǎng)=6,貝?"內(nèi)卜.

答案：-3

22.（2.3較難）設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=4,|A2+E|=8,則

\A+A-'|=.

答案：2

23.（2.4較難）設(shè)A為4階方陣，|川=；,則|2A*-3A[=.

答案：32

24.⑵4較難）設(shè)A為4階方陣，|A|=g，貝”2AT-5A[=.

答案：1/8

25.（2.4較難）設(shè)A為3階方陣，|A|=-1,A*是A的伴隨矩陣，則

|5A-'+2A*|=.

答案：-27

（13、

26.（2.4較易）設(shè)乂=，則X的伴隨矩陣X*=..

105）

躲Ci）

27.（2.4較易）設(shè)A為四階行列式，且⑶=2,則1A*卜.

答案：16

二、選擇題

1.（2.2較易）若則下列一定正確的是（）.

A、A=OB、A=IC、4=0或4=1D、以上均不成立

答案：D

2.（2.2較易）、設(shè)為〃階矩陣，下列命題正確的是（）.

A、(A+B)2=A2+2AB+B2B、(A+B)(A-B)=A2-B2

C、A2-I=(A+I)(A-I)D、(AB)2=A2B2

答案：C

3.(2.2較難)設(shè)A是方陣，若AB=AC,則必有().

A、A/O時B=C8、8。。時4=0

C、8=。時同/0D、|A|HO時B=C

答案：D

4.(2.2較易)設(shè)48是〃階方陣,則下列結(jié)論成立的是（）.

A、ASHOQAHO且B、\A\=0^A=O

C、|4-=00同=0或畫=0D、A=E^\A\=\

答案：C

5.(2.2較易)A,B均為〃階方陣,且A6=0,則必有（）.

A、4=0或6=0B、.=0或忸|=0

C、|A+B|=0D、A+B=O

答案：B

6.（2.2易）設(shè)4,8均為〃階矩陣，滿足48=0,則必有（).

A、|A|+|B|=OB、R(A)=R(B)

C、4=0或5=0D,|川=0或宙|=0

答案：D

7.（2.2易）設(shè)A,5均為〃階矩陣，以下各式中正確的是（）.

A、(A+B)2=A2+2AB+B2B、|AB|=|BA|

C、(A+B)(A-B)=A2-B2D、(AB)2=A2B2

答案：B

8.(2.2易)4、B為同階方陣，則下列式子成立的是().

A、|A+B|=|A|+|B|B、AB=BA

C、\AB\=\BA\D、(A+B)~l=A'+B-l

答案：C

9.(2.2易)設(shè)A,5均為〃階矩陣，K(A-B)2=A2-2AB+B2,則必有().

A、A=EB、B=E

C、A=BD、AB=BA

答案：D

321、‘212、

10.(2.2較易)A=2-12,B=3—14,C=(Cy)=AB,則C23=().

340,、205)

A、22B、10C、3D、-1

答案：B

11.(2.3較易)設(shè)〃階矩陣A滿足A+2E=O,則k=().

A、A-2EB、g(A-E)C、2E-AD、g(E—A)

答案：D

12.（2.3較難）A、B、C,E均為〃階方陣，E為單位矩陣，若=則下列諸式中

）是正確的.

A、ACB=EB、BCA=EC、CBA=ED、BAC=E

答案：B

13.（2.3易）A,3均為〃階可逆矩陣,下列諸式（）是正確的.

A、(AB)T=ArB'B、(A+B)T=AT+BT

C,(AB)'A'B'D、（4+5尸=鼠+5T

答案：B

’100、'103、

14.(2.3較難)設(shè)A5=110,且A二2-11,則B'=().

、。0LJ-2b

‘103、H--13、

A、1-1-2B、2--31

\1-21/\1--31/

'103、12、

C、3-11D、2-11

、1

\3-217-21，

答案：A

15.（2.3較易）A是〃階可逆矩陣，則|A-”=（).

A、MFB、\A\n-2C、⑷D、⑷

答案：A

'-200、

16.（2.3較易）設(shè)乂=001,則X的伴隨矩陣X*=（).

、010,

rzT00

o02

o

20

iOo

O

c>o1

oIo

77

答案：（A）

17.（2.3較易）A是〃階可逆矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則⑷=（）.

A、⑷-B、ML&D、國

答案：（A）

三、計算題

'220、

3.（2.3較易）求解矩陣方程AX=A+X,其中A=213

10,

答案：解：AX=A+X(A-E)X=A，X^(A-EY'A2分

20220、門00-226、

(A-E,A)=203213□01020-36分

W1-1010J10012-1—3,

'-226、

X=20-3.8分

J-1一3,

’222、’001、

4.(2.3較易)設(shè)4=22-2,B=010,求解矩陣方程AX=5+X.

3-22)、100>

答案：解：由AX=5+X,得X=(A-E)T5..................................................2分

220onp2001、

(A-E,B)=21-20io-o-601-2

3-21100M031-1

\

122oo)1

rzl22Oo1\

oO-12

1o12o--

一-

o-O3-6I-233

922

l71

\-2--

oo1--

9997

(_245>(22]>

120100

~999999

_21_2_22

010010.......6分

999999

2_22_22

001001

V999；999J

(22r

所以X=1-212.8分

9

U-22j

'033、

5.(2.3較易)設(shè)4=110AB=A+2B,求5.

L-l23,

答案：解：由A5=A+25,^B=(A-2Ey'A2分

‘-233033A(1-10110、

(A-2F,A)=1-10110---233033

、T21-12Vl-l21-123,

,1-10110、(\-10110、

-233033-013253

23)101

、一121-11033,

‘1-10110W100033、

~013253-010-1236分

、00-2-2-20；1^001110,

’033、

所以B=-1238分

J1

/101、

6.(2.3較易)設(shè)4=020且45+￡=1+3,求乩

J°L

答案：解：由A5+E=a2+5得(A-E)6=(A—E)(A+E).............2分

'001、

而A-E=010,|4-E|=-1,所以A-E可逆.....5分

00.

01、

從而得5=A+E,故3=030

,102)

4、1021

7.（2.4較易）解矩陣方程X

2,-21-1

4、1021

答案:解：令A(yù)=,B=C=

2>-210-1

1410210、

=6,=1，A*1產(chǎn)=4分

-12-21121,

1(2-4110

/.A~'Bi6分

611>2

1f2-4Y2110、

X=

611)0-吹21J

8

-\8分

31

1

-

30

22、

8.(2.4較易)已知4=012,AX-A=E,求X.

,002)、

"2-421-21

2

答案：解：A02-201-14分

圄2

.001

700

2>

、、

1-21222、2-21

.-.X=A-\A+E)=01-102202-18分

0033

00700

2>2>

21、

9.（2.3較易）設(shè)矩陣4=E為二階單位矩陣，矩陣3滿足區(qū)4=3+2E,求忸卜

-127

答案：解：由A4=6+2E可得:

B=2(A—石尸...........................2分

因為(A—E)=[lI,所以,_同=11=2.............4分

I—11J—11

因此\B\=\2(A-Ey'\=22\A-E['=4X|=2...........7分

'100、

10.(2.3較難)攵取何值時，矩陣A=0^0可逆？并求其逆矩陣.

JTL

答案：解：因為|A|=A,所以當(dāng)Z/0時，A可逆...................2分

(100100、

當(dāng)左。0時，由(A,E)=0k0010

JT100"

(

'100100]100100

~0100-0~0100-0...................5分

kk

t°d001

-1-1

k)

(\

100

所以4一1=0-0

k

-1-1

\k)

其中4=(21],求B-i.

11.(2.3較易)已知B=T-5A+3E,

1-3-3J

f-6—6、c八

答案：解:由5=A2—5A+3E可得5

(1824；

(_2_P

(246)§彳...................7分

而8*=忸|=-36B'=

1-18-6)'11，11

26，

四、綜合題（每小題7分）

1.(2.3較難)A,5是兩個〃階方陣，且A5=A+5,證明：AB=BA.

答案：證明：VAB=A+B=>(A-E)B=An(A-E)B-E=A-E

:.(A-E)B-(A-E)=E=>(A-E)(fi-￡)=￡(*).............3分

由(*)式知A-E與8-E互為逆矩陣，故A-E與8-E可交換.......5分

即有：(A_E)(8_E)=(B_E)(A_E)

AB-A-B+E=BA-B-A+EnAB=BA...................7分

2.(2.3較難)4為〃階方陣，且有A?=A,證明：A+E可逆.

答案：證明：A2=A=>(A+E)(A-2E)=-2E.................3分

A

(A+E)(E-y)=E...........................5分

A

因此A+E可逆，且(A+E)T=E—1...................7分

3.(2.3較易)設(shè)A為〃階矩陣，且滿足A2-3A-2E=O,證明：矩陣A可逆并求

答案：證明：A2-3A-2E=OA2-3A=IE...................2分

即A(A-3E)=2E

A[-(A-3E)]=E...................5分

2

所以矩陣A可逆，且AT=g(A—3E)...................7分

4.(2.2較易)設(shè)A,B,C都是n階方陣，且C可逆，C-1=(C-IB+￡：)A、證明：A

可逆且A-=(B+C)T.

證明：等式。7=(。-18+石)/J兩邊同時乘以。有

E=(B+C)AT

在上式中去矩陣的轉(zhuǎn)置有E=A(B7