高考數(shù)學(xué)一輪必備 2.2《函數(shù)的單調(diào)性與最值》考情分析學(xué)案

2.2數(shù)單性最考情分析1．考查求函數(shù)單調(diào)性和最值的本方法．2．利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)．3．利用函數(shù)的單調(diào)性求最值和數(shù)的取值范圍．基礎(chǔ)知識(shí)1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)

減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f()的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域內(nèi)個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x，定義圖象描述

當(dāng)＜時(shí)都有(x)＜(x，那么就說(shuō)函數(shù)()在區(qū)間D上是函數(shù)

當(dāng)＜時(shí)都(＞f(x)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x在區(qū)間D上是函數(shù)自左向右圖象是下降的自左向右圖象是上升的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(在區(qū)間上增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)(x在這一區(qū)間上具(嚴(yán)格的單調(diào)性，區(qū)間D做()的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)最值前提條件.

設(shè)函數(shù)yf(x的定義域?yàn)镮如果存在實(shí)數(shù)M滿足①對(duì)于任意∈I，都有①于任意x∈，有f()M；fx；②存在x∈得()②存在x∈，使得(＝1

x或，或x或，或結(jié)論

＝M為最值

M.M為最值注事11.函的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而的要受到區(qū)間的限制如數(shù)＝分別(－∞，x0)，(0，∞)內(nèi)都是單調(diào)遞減，但不能說(shuō)它在整個(gè)定義域(－∞，0)∪(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間(－∞，0)(0，＋，不能用“∪”連接．2.設(shè)意x，∈[，]＜，么①

f－x

f－f()a，]上是增函數(shù)fx在[a，]上是減函數(shù)．②(x－(－()]＞0f(在[]是增函數(shù)－)[－f()])在a，]上是減函數(shù)．3.(1)閉間上的連續(xù)函數(shù)一定在最大值和最小值．當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)取到．(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最(小值．4.函單調(diào)性的判斷(1)定義法：取值、作差、形定號(hào)、下結(jié)論．(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，為增函數(shù)，不同時(shí)為減函數(shù)．(3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．(4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性．典型例題題型一函數(shù)的單調(diào)性的判斷【例1）求函數(shù)

log(0.7

x

的單調(diào)區(qū)間；（2）已知

f(x)x2

若

(xf(2)

試確定

()

的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性．解）單調(diào)增區(qū)間為：

(2,

單調(diào)減區(qū)間為

(

，（2）

(x)2(222)

2

，

3

，令

，得

x0

，令

x2

x－1－1－1x－1[1,ax－1－1－1x－1[1,ax[1,921212∴單調(diào)增區(qū)間為

1),(0,1)

；單調(diào)減區(qū)間為

．【變式】討論數(shù)f()＝解設(shè)－1<<<1，

ax(≠0)(－1,1)上的單調(diào)性．x－1x－11f()＝＝

，11f(－(x)＝a＝

xx－1x－1當(dāng)>0時(shí)，(－()>0，即f()>()，函數(shù)f(在(－1,1)上遞減；當(dāng)<0時(shí)，(－()<0，即f()<f(x)，函數(shù)f(在(－1,1)上遞增．考向二利用已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的或范)【例2】函數(shù)

f(logx)x

在上增函數(shù)，求的值范圍．分析：由函數(shù)

f()(x)x

在上增函數(shù)可以得到個(gè)信息：①對(duì)任意的x12

總有

f(x)f()1

；②當(dāng)時(shí)

xx

恒成立．解：∵函數(shù)

f()(x)x

在上增函數(shù)，∴對(duì)任意的

x,12

有

f(x)f()1

，即

(9

aa)log(x)12

，得aaax)(1)x12，2

，∵

x1

，∴

a1xx12

x1，∵

xx21

，∴要使

x1恒立，只要

；3

[1,，函數(shù)[1,，函數(shù)又∵函數(shù)

f()(x)x

在上增函數(shù)，∴

，即，上的值范圍為另解導(dǎo)求解）

[

．令

()xf()(x)xx

在上增函數(shù)，∴

()x

x

在是函數(shù)，，∴

，且

x2

在上成立，得

．題型三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值【例3】已函數(shù)f(x)對(duì)于任意xy∈R總(x)＋(＝f＋)且當(dāng)＞0時(shí))2＜0，(1)－3(1)求證：(在R上是函數(shù)；(2)求(x)在－3,3]上的最大和最小值．(1)證明法∵數(shù)fx)對(duì)任意，y∈R總f()＋(＝fx＋)，∴令x＝＝0得(0)＝0.再令y＝－，得(－)－(x．在上任＞，x－＞0f(－(x)＝f(＋(－x＝f(x－)．又∵x＞0時(shí)，f()，而x－＞0∴(－)＜0，f()＜(．因此f(在R上是函數(shù)．法二設(shè)＞，則(－(x)(＋)(＝(－)＋fx－f(x＝f(x－)．又∵x＞0時(shí)，f()，x－＞0，∴(－)＜0即(x)＜()，∴(在R為減函數(shù)．(2)解∵(在R上是函數(shù)，∴(在－3,3]上也是減函數(shù)，4

xxxx∴(在－3,3]上的最大值和最小值分別為(－3)(3)．而(3)＝3(1)＝－2，(－3)＝－f(3)＝2.∴(在－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.【變式3】已定義在區(qū)間(0＋∞)的函數(shù)f(x)滿)－()，且當(dāng)x＞1時(shí)，()＜0.(1)求(1)值；(2)判斷x)的單調(diào)性；(3)若(3)－1，求(x在[2,9]上最小值．解(1)令x，代入得f(1)＝(x－f(x)＝0故(1)＝0.x(2)任取x，∈(0，＋∞)，x＞則＞1由于當(dāng)x＞1時(shí)，()＜0，所以即(－(x)＜0因此f()(，所以函數(shù)f(x在間0，＋∞)上是單調(diào)遞減函．(3)∵(在[，＋∞)是單調(diào)遞減函數(shù)．∴(在[2,9]上的最小值為(9)．由f－()得，3

＝(9)(3)，而(3)＝－1，所以(9)－2.∴(在[2,9]上的最值為－2.重點(diǎn)破【示1】)已函數(shù)f(x)＝－2＋2，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時(shí)，f()恒成，求a的取值范圍．[解答示范]∵()＝(－)＋2a，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝(1分(1)當(dāng)∈(∞，－1)時(shí)，f(x在－1，＋上單調(diào)遞增，∴()＝f(－1)＝2a＋3.(3分要使f()≥恒立，只需f)≥，即a＋3≥，解得a≥，即－≤＜－1.(6分)(2)當(dāng)∈[－1，∞)時(shí)，(x＝(a＝2－要使f()≥恒立，只需f)≥，

.(8分)即2－

≥(10分)解得－≤≤1即－1a≤1.(11分5

xx1xxx1x綜上所述，實(shí)數(shù)a的值范圍為－3,1](12分)【例2】當(dāng)∈(1,2)，不等式

＋恒立，則m的取范圍是_______解析

4法一當(dāng)∈(1,2)，不等式x＋＋4<0可為：－

，4又函數(shù)fx)＝－

在1,2)上遞增，則()>－5，則≤－5.法二設(shè)(＝mx＋4m3當(dāng)－≤，m≥－3時(shí)，22g()＜(2)＝8＋2，m3當(dāng)－＞，m＜－3時(shí)，22g()＜(1)＝5由已知條件可得：

或解得m≤答案(－∞，－5]鞏提1．設(shè)fx為奇函數(shù)，且在－，0)內(nèi)是減函(－2)，則()＜0的解為()．A．(∪(2，＋∞)C．(－∞，∪(2＋

B－，－2)D－2,0)∪(0,2)答案C2知數(shù)()＝e－1()－x＋4－3.有a)＝b的值范圍為()．A．[2－2＋2]C．[1,3]

B．(2－2＋2)D．(1,3)解析函數(shù)f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得()＝(b，必須使得－x＋4－3－1.即－4＋2＜0，解得－2＜＜22.答案B3．已知fx為R的減函數(shù)，則滿足

<(1)實(shí)數(shù)的取值范圍是(．A．(－1,1)．(0,1)6

11C．(D．(－∞，－1)，＋∞)解析由已知條件：

>1，不等式等價(jià)于

解得－x<1，≠0.答案C4．函數(shù)fx＝log(2＋1)單調(diào)增區(qū)間______．1解析要使y