系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

演示文稿系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式現(xiàn)在是1頁\一共有60頁\編輯于星期日第一章系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式現(xiàn)在是2頁\一共有60頁\編輯于星期日本章內(nèi)容狀態(tài)變量和狀態(tài)空間表達式化輸入-輸出方程為狀態(tài)空間表達式狀態(tài)方程的對角線和約旦標準型（狀態(tài)向量的線性變換）由狀態(tài)空間表達式導出傳遞函數(shù)陣離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式現(xiàn)在是3頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)變量和狀態(tài)空間表達式系統(tǒng)的外部描述系統(tǒng)輸入-輸出描述從系統(tǒng)“黑箱”的輸入-輸出因果關(guān)系中獲悉系統(tǒng)特性傳遞函數(shù)描述屬系統(tǒng)的外部描述

系統(tǒng)的內(nèi)部描述系統(tǒng)的完全描述完整地表征了系統(tǒng)的動力學特征狀態(tài)空間表達式屬系統(tǒng)的內(nèi)部描述

現(xiàn)在是4頁\一共有60頁\編輯于星期日基本概念狀態(tài)變量：足以完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量稱為狀態(tài)變量

狀態(tài)向量（矢量）：如果n個狀態(tài)變量用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示，并把這些狀態(tài)變量看作是矢量的分量，則就稱為狀態(tài)向量（簡稱狀態(tài)）。記作：狀態(tài)空間：狀態(tài)向量取值的空間，即以狀態(tài)變量x1

、x2、…、xn為坐標軸所構(gòu)成的n維空間稱為狀態(tài)空間

現(xiàn)在是5頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)變量的個數(shù)與選擇n階微分方程描述的系統(tǒng)，有n個獨立的狀態(tài)變量。同一個系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不唯一，但狀態(tài)變量的個數(shù)總是相等，通常選擇容易測量的量。例如：機械和液壓系統(tǒng)：流量、壓力、速度、加速度、位移、力及它們的導數(shù)等電系統(tǒng)：電壓、電流、電荷、磁通及它們的導數(shù)等如果將儲能元件的物理變量選為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，則狀態(tài)變量的個數(shù)等于系統(tǒng)中獨立儲能元件的個數(shù)現(xiàn)在是6頁\一共有60頁\編輯于星期日基本概念狀態(tài)方程：系統(tǒng)狀態(tài)方程描述的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示

輸入引起狀態(tài)的變化是一個動態(tài)過程，每個狀態(tài)變量的一階導與所有狀態(tài)變量和輸入變量的數(shù)學方程稱為狀態(tài)方程。非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為現(xiàn)在是7頁\一共有60頁\編輯于星期日基本概念輸出方程：描述狀態(tài)與輸入一起引起輸出的變化是一個代數(shù)方程稱為輸出方程。非線性系統(tǒng)輸出方程為 線性系統(tǒng)輸出方程為狀態(tài)空間表達式：狀態(tài)方程和輸出方程合在一起，構(gòu)成對一個系統(tǒng)完整的動態(tài)描述，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式可寫成

現(xiàn)在是8頁\一共有60頁\編輯于星期日系統(tǒng)的分類線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)

時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng)（定常系統(tǒng)）

連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)

確定性系統(tǒng)和隨機系統(tǒng)

現(xiàn)在是9頁\一共有60頁\編輯于星期日線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式現(xiàn)在是10頁\一共有60頁\編輯于星期日時變系統(tǒng)和定常系統(tǒng)時變系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式現(xiàn)在是11頁\一共有60頁\編輯于星期日連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式現(xiàn)在是12頁\一共有60頁\編輯于星期日建立狀態(tài)方程的步驟

①選擇狀態(tài)變量②根據(jù)物理或其它機理、定律列寫運動微分方程③化為狀態(tài)變量的一階微分方程組④用向量矩陣形式表示現(xiàn)在是13頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)空間分析法舉例一例1求圖示機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 令 得動態(tài)方程組現(xiàn)在是14頁\一共有60頁\編輯于星期日

狀態(tài)空間表達式為

現(xiàn)在是15頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)空間分析法舉例二

例2求圖示RLC回路的狀態(tài)空間表達式 令現(xiàn)在是16頁\一共有60頁\編輯于星期日

狀態(tài)空間表達式為

現(xiàn)在是17頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變量圖∫ABCD狀態(tài)空間表達式現(xiàn)在是18頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)變量圖的繪制步驟①繪制積分器②畫出加法器和放大器③用線連接各元件，并用箭頭示出信號傳遞的方向。例設(shè)三階系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為現(xiàn)在是19頁\一共有60頁\編輯于星期日其狀態(tài)圖為∫∫∫236現(xiàn)在是20頁\一共有60頁\編輯于星期日根據(jù)方塊圖求狀態(tài)空間表達式思路：（1）將方塊圖細化到顯示出積分，積分之后為狀態(tài)變量，積分之前為狀態(tài)變量的一次微分。（2）按細化后的方塊圖邏輯關(guān)系，直接寫出狀態(tài)空間表達式。例、求圖示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式?，F(xiàn)在是21頁\一共有60頁\編輯于星期日現(xiàn)在是22頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)空間表達式現(xiàn)在是23頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)空間表達式的建立1、由物理公式直接建立狀態(tài)空間表達式例系統(tǒng)如圖所示選擇狀態(tài)變量：x1=iL,x2=uc現(xiàn)在是24頁\一共有60頁\編輯于星期日整理得：現(xiàn)在是25頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)方程為：輸出方程為：現(xiàn)在是26頁\一共有60頁\編輯于星期日寫成矩陣形式：現(xiàn)在是27頁\一共有60頁\編輯于星期日例系統(tǒng)如圖圖示由彈簧、質(zhì)量體、阻尼器組成的機械動力學系統(tǒng)的物理模型。試建立以外力u（t）為系統(tǒng)輸入、質(zhì)量體位移y（t）為輸出的狀態(tài)空間模型?，F(xiàn)在是28頁\一共有60頁\編輯于星期日解：設(shè)在外力u（t）作用于小車前，小車已處于平衡態(tài)。這里僅考慮外力加入后對小車運動的影響。系統(tǒng)的受力情況如下圖所示。由牛頓第二定律有：現(xiàn)在是29頁\一共有60頁\編輯于星期日選擇狀態(tài)變量：對機械動力學系統(tǒng)，常常將位移、速度等選作狀態(tài)變量。對本例，有狀態(tài)變量代入，得：輸出方程：即得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型：現(xiàn)在是30頁\一共有60頁\編輯于星期日化輸入-輸出方程為狀態(tài)空間表達式由輸入-輸出微分方程確定狀態(tài)空間描述的問題稱為實現(xiàn)問題設(shè)單輸入-輸出線性定常連續(xù)時間系統(tǒng)微分方程描述為它的傳遞函數(shù)為

為了得到微分方程式或傳遞函數(shù)式所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，首先選擇適當?shù)臓顟B(tài)變量，以保證得到前面描述形式的狀態(tài)方程

現(xiàn)在是31頁\一共有60頁\編輯于星期日1、化為能控標準型狀態(tài)方程當m<n時當m=n時 狀態(tài)空間表達式的狀態(tài)方程不變，而輸出方程為

現(xiàn)在是32頁\一共有60頁\編輯于星期日2、化為能觀標準型狀態(tài)方程現(xiàn)在是33頁\一共有60頁\編輯于星期日

例將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型解本例中因此，可得狀態(tài)空間模型如下a0=6a1=11a2=6b0=2現(xiàn)在是34頁\一共有60頁\編輯于星期日其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示“2”和“1”能否互換？能觀標準型如何表示？現(xiàn)在是35頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)方程的對角線和約旦標準型

（狀態(tài)向量的線性變換）

對于給定的線性定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應(yīng)地有許多種狀態(tài)空間表達式描述同一系統(tǒng)，即系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式。其實質(zhì)是矢量的線性變換。 設(shè)給定系統(tǒng)為

現(xiàn)在是36頁\一共有60頁\編輯于星期日系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性

存在任意一個非奇異矩陣T，將原狀態(tài)向量作線性變換，設(shè)變換關(guān)系為

得到新的狀態(tài)空間表達式現(xiàn)在是37頁\一共有60頁\編輯于星期日例下列系統(tǒng)作線性變換：解：取變換：現(xiàn)在是38頁\一共有60頁\編輯于星期日狀態(tài)空間表達式變?yōu)椋含F(xiàn)在是39頁\一共有60頁\編輯于星期日系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量系統(tǒng)特征值 設(shè)給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 系統(tǒng)的特征值定義為如下特征方程 的根。特征值的不變性 同一系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后，其特征值是不變的。系統(tǒng)的不變量

由于特征值全由特征多項式的系數(shù)唯一地確定，而特征值經(jīng)非奇異變換是不變的，那么特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。現(xiàn)在是40頁\一共有60頁\編輯于星期日特征矢量如果對一個非零向量成立 ，稱非零向量為矩陣A的屬于特征值的特征向量。特征向量不是唯一的。當n個特征值 為兩兩相異時，任取的n個特征向量 必是線性無關(guān)的。

現(xiàn)在是41頁\一共有60頁\編輯于星期日對角線規(guī)范型

對系統(tǒng)∑，如其n個特征值 為兩兩相異，利用它們的特征向量組成變換矩陣 ，那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換 下，必可化為如下的對角線規(guī)范型：

其中，現(xiàn)在是42頁\一共有60頁\編輯于星期日例：試將下列普通狀態(tài)空間模型變換為對角規(guī)范形現(xiàn)在是43頁\一共有60頁\編輯于星期日解：先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為求特征值所對應(yīng)的特征向量：由前述的方法可求特征值λ1、λ2和λ3所對應(yīng)的特征向量：

?。含F(xiàn)在是44頁\一共有60頁\編輯于星期日同理可得：取A的特征向量組成變換矩陣P并求逆陣P-1，即有現(xiàn)在是45頁\一共有60頁\編輯于星期日計算各矩陣系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間表達式為：現(xiàn)在是46頁\一共有60頁\編輯于星期日幾點討論在對角線規(guī)范形下，個個狀態(tài)變量間實現(xiàn)了完全解耦，可表成為n個獨立的狀態(tài)變量方程。

如果系統(tǒng)矩陣A具有形式

且其特征值為兩兩相異，則此時化狀態(tài)方程為對角線形的變換陣是一個范德蒙德（Vandermonde）矩陣

現(xiàn)在是47頁\一共有60頁\編輯于星期日約旦規(guī)范型

如果系統(tǒng)的特征值為非互異的，則其狀態(tài)方程不能轉(zhuǎn)化為對角線規(guī)范形，但可以構(gòu)造特定的變換矩陣使之化為準對角線規(guī)范型，即約旦(Jordan)規(guī)范型。 設(shè)系統(tǒng)的特征值有q個λ1的重根，其余（n-q）個根為兩兩相異，則變換矩陣的計算公式如下

其中， 是對應(yīng)于（n-q）個相異特征值的特征向量，對應(yīng)于q個λ1的重根的特征向量 的求取根據(jù)下式計算現(xiàn)在是48頁\一共有60頁\編輯于星期日約旦規(guī)范型其中，現(xiàn)在是49頁\一共有60頁\編輯于星期日系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)1、具有互異根的情況或現(xiàn)在是50頁\一共有60頁\編輯于星期日2、具有重根的情況現(xiàn)在是51頁\一共有60頁\編輯于星期日例將下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型現(xiàn)在是52頁\一共有60頁\編輯于星期日解：由系統(tǒng)特征多項式可求得系統(tǒng)極點為于是有：其中：現(xiàn)在是53頁\一共有60頁\編輯于星期日故當選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯(lián)分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出?？傻萌缦聽顟B(tài)空間模型：將上述結(jié)果與前面能控標準型的例題結(jié)果相比較也說明：即使對同一個系統(tǒng)，采用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法，將得到不同的狀態(tài)空間模型，即狀態(tài)空間模型不具有唯一性?，F(xiàn)在是54頁\一共有60頁\編輯于星期日由狀態(tài)空間表達式導出傳遞函數(shù)陣

對應(yīng)于狀態(tài)空間表達式

的傳遞函數(shù)矩陣為

同一個系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)矩陣是不變的現(xiàn)在是55頁\一共有60頁\編輯于星期日例：求如下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)現(xiàn)在是56頁\一共有60頁\編輯于星期日解：先計算逆矩陣C(sI-A)-1B則：現(xiàn)在是57頁\一共有60頁\編輯于星期日G(s)的實用計算關(guān)系式給定狀態(tài)空間描述的系數(shù)矩陣{A，B，C，D}，求出

和則相應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣可按下式定出：

現(xiàn)在是58頁\一共有60頁\編輯于星期日線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性

系統(tǒng)狀態(tài)空間描述在坐標變換下的特性

如果兩個狀態(tài)空間描述之間存在非奇異線性變換關(guān)系，則稱它們是代數(shù)等價的，即它們具有相同的一些代數(shù)特性。同一系統(tǒng)采用不同的狀態(tài)變量組所導出的不同狀態(tài)空間描述之間，必然是代數(shù)