概率論與數(shù)理統(tǒng)計張?zhí)斓碌?章課件例題

§1隨機變量1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）..R例拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).樣本點本身就是數(shù)量現(xiàn)在是1頁\一共有64頁\編輯于星期一2、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化.例擲硬幣的試驗，它的樣本空間含有兩個可能結(jié)果：當“出現(xiàn)正面”時，用數(shù)“1”代表，當“出現(xiàn)反面”時，用“0”代表，此時將每個試驗結(jié)果看作一個變量X，它將隨試驗的結(jié)果而變化：現(xiàn)在是2頁\一共有64頁\編輯于星期一例

袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)。我們將

3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作

4，5號，則該試驗的樣本空間為分析樣本空間現(xiàn)在是3頁\一共有64頁\編輯于星期一記取出的黑球數(shù)為X，則X

的可能取值為1，2，3顯然，X是一個變量。而且，X取什么值依賴于試驗結(jié)果，即，X的取值帶有隨機性，所以，我們稱X為隨機變量。現(xiàn)在是4頁\一共有64頁\編輯于星期一X

的取值情況可由下表給出：現(xiàn)在是5頁\一共有64頁\編輯于星期一由上表可以看出：1、該隨機試驗的每一個結(jié)果都對應著變量X

的一個確定的取值因此，變量X

是樣本空間S上的函數(shù)：2、定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件。表示至少取出2個黑球這一事件，等等。表示取出2個黑球這一事件；例如現(xiàn)在是6頁\一共有64頁\編輯于星期一設隨機試驗的樣本空間S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)，稱

X=X(e)

為隨機變量。由此看到，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來示，因此引入隨機變量的概念定義

對于任意的實數(shù)x

，集合都是隨機事件?，F(xiàn)在是7頁\一共有64頁\編輯于星期一

而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示現(xiàn)在是8頁\一共有64頁\編輯于星期一隨機變量是上的映射,此映射具有如下特點

定義域

S

隨機性

r.v.X

的可能取值不止一個,

試驗前只能預知它的可能的取值，但不能預知取哪個值

概率特性

X

以一定的概率取值事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律現(xiàn)在是9頁\一共有64頁\編輯于星期一

例1

一批產(chǎn)品中任意抽取20件作質(zhì)量檢驗，作為檢驗結(jié)果的合格品的件數(shù)用X表示，則X是隨機變量。X的一切可能取值為

0，1，2，…，20

{X=0}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中沒有合格品”；

{X=1}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有1件合格品”；

……{X=k}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有k件合格品”?，F(xiàn)在是10頁\一共有64頁\編輯于星期一例2

將一顆骰子投擲兩次，觀察所的點數(shù)，以X表示所得點數(shù)之和，則X的可能取值為2，3，4，…，12，而且{X=2}={(1,1)},{X=3}={(1,2),(2,1)},{X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)},……{X=12}={(6,6)}。隨機變量X的取各個可能值的概率列于下表：X23456789101112P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36……P{X=2}=1/36……………P{X=3}=2/36……P{X=4}=3/36…P{X=12}=1/36現(xiàn)在是11頁\一共有64頁\編輯于星期一例

3上午8:00～12:00在某路口觀察，令：

Y：該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則Y就是一個隨機變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；

表示通過的汽車數(shù)大于50輛但不超過100輛這一隨機事件．

注意

Y的取值是可列無窮個！現(xiàn)在是12頁\一共有64頁\編輯于星期一例

4表示壽命大于3000小時這一隨機事件．表示壽命不超過1500小時這一隨機事件．S={t|t≥0}觀察燈泡的壽命（單位：小時），樣本空間:令Y：該燈泡的壽命．則Y就是一個隨機變量．它的取值為所有非負實數(shù)．注意Y的取值是不可列無窮個！現(xiàn)在是13頁\一共有64頁\編輯于星期一

在同一個樣本空間可以同時定義多個r.v.,例如S={兒童的發(fā)育情況e

}X(e)—身高,Y(e)—體重,Z(e)—腰圍.在什么樣情況下定義何種隨機變量要根據(jù)實際要解決什么問題而定。各r.v.之間可能有一定的關(guān)系,也可能沒有關(guān)系——即相互獨立現(xiàn)在是14頁\一共有64頁\編輯于星期一離散型非離散型r.v.

分類

其中一種重要的類型為

連續(xù)性r.v.引入r.v.重要意義

任何隨機現(xiàn)象可被r.v.描述

借助微積分方法將討論進行到底現(xiàn)在是15頁\一共有64頁\編輯于星期一§2離散型隨機變量及其分布律

若隨機變量X所有可能的取值為有限個或可列無窮多個，則稱X為離散型隨機變量。否則稱為非離散型隨機變量。

定義1一、離散型隨機變量的分布律

注：為了描述隨機變量X

，我們不僅需要知道隨機變量X的取值，而且還應知道X取每個值的概率.現(xiàn)在是16頁\一共有64頁\編輯于星期一

這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例現(xiàn)在是17頁\一共有64頁\編輯于星期一

P{X=xi}=pi

（i=1,2,…）亦可用下面的概率分布表來表示Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…則稱之為離散型隨機變量X的概率函數(shù)或概率分布或分布列（律）。設離散型隨機變量X所有可能的取值為

x1,x2,…,xn,…X取各個值的概率，即事件{X=xi}的概率為定義2現(xiàn)在是18頁\一共有64頁\編輯于星期一分布律的性質(zhì)

非負性

歸一性X~或用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率函數(shù)現(xiàn)在是19頁\一共有64頁\編輯于星期一二、表示方法（1）列表法：（2）圖示法（3）公式法X~再看例任取3個球X為取到的白球數(shù)X可能取的值是0,1,20.10.30.6kPK012現(xiàn)在是20頁\一共有64頁\編輯于星期一例1從1～10這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，X表示取出的5個數(shù)字中的最大值.試求X

的分布列即X

的分布列為解:X

的取值為5，6，7，8，9，10.

并且現(xiàn)在是21頁\一共有64頁\編輯于星期一例2將1枚硬幣擲3次，X表示出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差.試求X

的分布列解:X

的取值為-3，-1，1，3則X

的分布列為現(xiàn)在是22頁\一共有64頁\編輯于星期一例3設離散型隨機變量X

的分布列為

則現(xiàn)在是23頁\一共有64頁\編輯于星期一例3（續(xù)）現(xiàn)在是24頁\一共有64頁\編輯于星期一例4設隨機變量X的分布律為解:由分布列的性質(zhì)，得該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以試求常數(shù)c現(xiàn)在是25頁\一共有64頁\編輯于星期一三、常見離散型隨機變量的概率分布設隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律為則稱X服從(0—1)分布或兩點分布.1.兩點分布實例1

“拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況.

隨機變量X服從(0—1)分布.其分布律為現(xiàn)在是26頁\一共有64頁\編輯于星期一實例2

200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機變量X服從(0—1)分布.

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.現(xiàn)在是27頁\一共有64頁\編輯于星期一2.等可能分布如果隨機變量X的分布律為實例拋擲骰子并記出現(xiàn)的點數(shù)為隨機變量X,則有現(xiàn)在是28頁\一共有64頁\編輯于星期一3.幾何分布

若隨機變量X的分布律為則稱X服從幾何分布.實例

1設某批產(chǎn)品的次品率為p,對該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查,直到第一次抽到一只次品為止(在此之前抽到的全是正品),那么所需要抽到的產(chǎn)品數(shù)X

是一個隨機變量,求X的分布律.不難驗證:現(xiàn)在是29頁\一共有64頁\編輯于星期一實例2

某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求首次命中所需射擊次數(shù)X的概率函數(shù).解:顯然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,計算

P{X=k},k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設于是現(xiàn)在是30頁\一共有64頁\編輯于星期一Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設所以X服從幾何分布.說明

幾何分布可作為描述某個試驗“首次成功”的概率模型.幾何分布背景：

隨機試驗的可能結(jié)果只有2種，A與試驗進行到首次A發(fā)生為止的次數(shù)X，{X=k}即k次試驗，前k-1次失敗，第k次成功?，F(xiàn)在是31頁\一共有64頁\編輯于星期一設隨機變量X的概率函數(shù)為

則稱隨機變量X服從超幾何分布，記作4超幾何分布m=0,1…,l,l=min(M,n)

從§1.4例3可知，設一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中“一次抽取n件樣品”或“不放回地依次抽取n件樣品”，則樣品中的次品數(shù)：X=0,1…,l,

l=min(M,n)現(xiàn)在是32頁\一共有64頁\編輯于星期一I伯努利(Bernoulli)試驗模型5.二項分布設隨機試驗滿足：1°在相同條件下進行n次重復試驗；2°每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；3°各次試驗是相互獨立的，則稱這種試驗為伯努利概型或n重伯努利試驗現(xiàn)在是33頁\一共有64頁\編輯于星期一實例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗.

或n個人同時拋n枚硬幣。實例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點”,就是

n重伯努利試驗.現(xiàn)在是34頁\一共有64頁\編輯于星期一且兩兩互不相容.現(xiàn)在是35頁\一共有64頁\編輯于星期一稱這樣的分布為二項分布.記為現(xiàn)在是36頁\一共有64頁\編輯于星期一說明1.顯然，當n

=1

時此時，X服從兩點分布這說明，兩點分布是二項分布的一個特例第k+1項2.稱為二項分布的原因是為二項展開式現(xiàn)在是37頁\一共有64頁\編輯于星期一例1

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.

解:因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的條件完全相同且獨立，每次試驗兩個結(jié)果：次品(A)，非次品，它是3重伯努利試驗.依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設X為所取的3個中的次品數(shù)，于是，所求概率為：X~b(3,0.05)，現(xiàn)在是38頁\一共有64頁\編輯于星期一注：若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗條件就不同了，不是伯努利概型，此時，只能用古典概型求解.古典概型與伯努利概型不同，有何區(qū)別？請思考：現(xiàn)在是39頁\一共有64頁\編輯于星期一伯努利概型對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；二項分布描述的是n重伯努利試驗中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A或，

且P(A)=p

，；（3）各次試驗相互獨立.可以簡單地說，現(xiàn)在是40頁\一共有64頁\編輯于星期一

例2:一個完全不懂英語的人去參加英語考試.假設此考試有5個選擇題，每題有n重選擇，其中只有一個答案正確.試求：他居然能答對3題以上而及格的概率.解

:每答一題為試驗，結(jié)果只有兩種，答對(A)的概率為，而且他是否正確回答各題也是相互獨立的.這樣，他答題的過程就是一個5重Bernoulli試驗

現(xiàn)在是41頁\一共有64頁\編輯于星期一

例3甲、乙兩名棋手約定進行10盤比賽，以贏的盤數(shù)較多者為勝.，假設每盤棋甲贏的概率都為0.6，乙贏的概率為0.4，且各盤比賽相互獨立，問甲、乙獲勝的概率各為多少？

解每一盤棋可看作一次貝努里試驗.設X為10盤棋賽中甲贏的盤數(shù)，則X

～

B(10,0.6)，按約定，甲只要贏6盤或6盤以上即可獲勝.所以P{甲獲勝}=若乙獲勝，則甲贏棋的盤數(shù)，即

注意：事件“甲獲勝”與“乙獲勝”并不是互逆事件，因為兩人還有輸贏相當?shù)目赡埽菀姿愠霈F(xiàn)在是42頁\一共有64頁\編輯于星期一II二項分布的圖形現(xiàn)在是43頁\一共有64頁\編輯于星期一由此可知，

對于固定n及p，當k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.現(xiàn)在是44頁\一共有64頁\編輯于星期一([x]表示不超過

x

的最大整數(shù))n=10,p=0.7nPkn=13,p=0.5Pkn0現(xiàn)在是45頁\一共有64頁\編輯于星期一例4

獨立射擊5000次,每一次命中率為0.001,

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次數(shù)及相應的概率；(2)命中次數(shù)不少于1次的概率.解

令X表示命中次數(shù),則X

~

b(5000,0.001)現(xiàn)在是46頁\一共有64頁\編輯于星期一（2）求

命中次數(shù)不少于1次的概率.

令X表示命中次數(shù),則X

~

b(5000,0.001)小概率事件雖不易發(fā)生，但重復次數(shù)多了，就成大概率事件本例啟示現(xiàn)在是47頁\一共有64頁\編輯于星期一由此可見日常生活中“提高警惕,防火由于時間無限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的

同樣,人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正?，F(xiàn)象,大可不必怨天尤人,更不要想不開而防盜”的重要性.事，不用奇怪，不用驚慌.跳樓自殺.現(xiàn)在是48頁\一共有64頁\編輯于星期一例5

設有80臺同類型設備,各臺工作是相互獨立的發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由四人維護,每人負責20臺;其二是由3人共同維護80臺.試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.解發(fā)生故障時不能及時維修”,而不能及時維修的概率為則知80臺中發(fā)生故障現(xiàn)在是49頁\一共有64頁\編輯于星期一即有

按第二種方法故80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為第二種方法中發(fā)生故障而不能及時維修的概率小，且維修工人減少一人。運用概率論討論國民經(jīng)濟問題，可以有效地使用人力、物力資源現(xiàn)在是50頁\一共有64頁\編輯于星期一6.泊松分布

易見現(xiàn)在是51頁\一共有64頁\編輯于星期一解

隨機變量X的分布律為由已知試求例1

設隨機變量X服從參數(shù)為的Poisson分布，且已知現(xiàn)在是52頁\一共有64頁\編輯于星期一得由此得方程得解（另一個解不合題意，舍去）因此現(xiàn)在是53頁\一共有64頁\編輯于星期一

設在n重貝努里試驗中，以代表事件A

在一次試驗中發(fā)生的概率,它與試驗總數(shù)n有關(guān).若Poisson定理則證明:令則現(xiàn)在是54頁\一共有64頁\編輯于星期一Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，有得由現(xiàn)在是55頁\一共有64頁\編輯于星期一所以Poisson定理的證明(續(xù))現(xiàn)在是56頁\一共有64頁\編輯于星期一Poisson定理的應用

—二項分布與泊松分布關(guān)系

由Poisson定理，可知有令則當n比較大，p

比較小時則現(xiàn)在是57頁\一共有64頁\編輯于星期一單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二項分布

泊松分布n100,np10時近似效果就很好

請看演示實際計算中，現(xiàn)在是58頁\一共有64頁\編輯于星期一

由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.

我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.泊松分布可以作為描繪大量實驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)X=0,1,2,…的概率分布的數(shù)學模型現(xiàn)在是59頁\一共有64頁\編輯于星期一電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學、醫(yī)學、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學及公用事業(yè)的排隊等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.現(xiàn)在是60頁\一共有64頁\編輯于星期