用曲線積分求旋轉(zhuǎn)曲面的面積

用曲線積分求旋轉(zhuǎn)曲面的面積1第1頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六作為定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)曲面的面積一般是用定積分來(lái)計(jì)算。本課件用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分來(lái)建立求旋轉(zhuǎn)曲面的面積的公式。將曲線積分化為定積分可以得到計(jì)算旋轉(zhuǎn)曲面面積的定積分公式。2第2頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六先看特殊的情形旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸3第3頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)L是上半平面內(nèi)的一條平面曲線。

將L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)曲面，求該旋轉(zhuǎn)曲面的面積Ax。我們用元素法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)曲面面積的曲線積分公式。L4第4頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六L在曲線L的(x,y)處取一弧微分它到x軸的距離是y（如圖）。該弧微分繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積約為：（面積元素）于是整個(gè)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：5第5頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六命題1：上半平面內(nèi)一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：L6第6頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六命題2：右半平面內(nèi)一條曲線L繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：同理L7第7頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六下面針對(duì)不同的曲線方程

將曲線積分化為定積分

得到熟悉的旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式8第8頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六直角坐標(biāo)方程9第9頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六y=f(x)如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：10第10頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六y=f(x)如果L繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：11第11頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六參數(shù)方程12第12頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：13第13頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果則L繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：14第14頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六極坐標(biāo)方程15第15頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：16第16頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六我們來(lái)推導(dǎo)一個(gè)有關(guān)曲線L的形心(質(zhì)心)和

旋轉(zhuǎn)曲面面積之間的關(guān)系的定理：古爾丁定理PaulGuldin（古爾?。?577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

17第17頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六L上半平面內(nèi)一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積等于該曲線的形心所經(jīng)過(guò)的路程與L的弧長(zhǎng)s的乘積。古爾丁定理形心18第18頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果你很容易求得曲線L的弧長(zhǎng)和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉(zhuǎn)曲面的面積。L形心19第19頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六下面來(lái)看一般的情形一般的曲線&一般的旋轉(zhuǎn)軸20第20頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)L是xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的一條曲線。L在直線l的一側(cè)（如圖）。

將L繞直線l旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)曲面，求該旋轉(zhuǎn)曲面的面積A。

我們用元素法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)曲面面積的曲線積分公式。Ll21第21頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六L在曲線L的(x,y)處取一弧微分它到直線l的距離是：該弧微分繞l旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積約為：于是整個(gè)曲線L繞直線l旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：設(shè)直線l的方程為ax+by+c=0。l22第22頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六命題3曲線L繞直線ax+by+c=0旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：Ll23第23頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明

命題中的公式的應(yīng)用由于其中積分較難計(jì)算用數(shù)學(xué)軟件Maple完成24第24頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1求曲線y=x2(0<x<2)繞直線y=2x旋轉(zhuǎn)的

旋轉(zhuǎn)曲面的面積A。y:=x->x^2;f:=(x,y)->2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5))*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=(2*Pi/sqrt(5))*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);25第25頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2求y=x2(0<x<1)繞直線y=x-1旋轉(zhuǎn)的

旋轉(zhuǎn)曲面的面積A。y:=x->x^2;f:=(x,y)->y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int