線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性

線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性第1頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.1Lyapunov意義下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性

5.1.1系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與平衡系統(tǒng):,如果存在某個(gè)狀態(tài),滿足:則稱為系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)或平衡狀態(tài)。令則為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的集合。中的孤立點(diǎn)稱為系統(tǒng)的孤立平衡點(diǎn)。第2頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5.1.1

考慮下述定常線性系統(tǒng)容易求得其平衡點(diǎn)集為顯然，即為三維空間中的超平面，是一個(gè)稠密集。第3頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.1.2Lyapunov意義下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性定義的任一初態(tài)

為L(zhǎng)yapunov意義下穩(wěn)定的，如果對(duì)給定的任一實(shí)數(shù)定義5.1.1

（Lyapunov意義下的穩(wěn)定性）

設(shè):為系統(tǒng)

的一個(gè)平衡狀態(tài)，稱都對(duì)應(yīng)地存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得由滿足不等式

出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足不等式

第4頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第5頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六的穩(wěn)定等價(jià)于一致穩(wěn)定，但對(duì)時(shí)變系統(tǒng)，出現(xiàn)的受擾運(yùn)動(dòng)都是Lyapunov意義下為穩(wěn)定的。

的穩(wěn)定并不意味著其為一致穩(wěn)定，而且，從實(shí)際的角度而言，常要求一致穩(wěn)定，以便在任一初始時(shí)刻定義5.1.2

（Lyapunov意義下的一致穩(wěn)定性）在上述Lyapunov意義下的穩(wěn)定性定義中，如果的選取無(wú)關(guān)，則進(jìn)一步稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。對(duì)于定常系統(tǒng)，的選取只依賴于而與初始時(shí)刻

第6頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第7頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1、是Lyapunov意義下為穩(wěn)定的，即滿足上述關(guān)于穩(wěn)定的定義。定義5.1.3

（Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性）動(dòng)力學(xué)系統(tǒng):的一個(gè)平衡狀態(tài)2、對(duì)

出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都同時(shí)滿足不等式

稱為是漸近穩(wěn)定的，如果和任意給定的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)地存在實(shí)數(shù)使得由滿足不等式的任一初態(tài)第8頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第9頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六和定義5.1.4（Lyapunov意義下的一致漸近穩(wěn)定性）

如果在上述Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性定義中，實(shí)數(shù)依賴于初始時(shí)刻，那么稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。的大小都不第10頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第11頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六的一個(gè)平衡狀態(tài)，如果以狀態(tài)空間中的任一有限點(diǎn)定義5.1.5

（Lyapunov意義下的大范圍漸近穩(wěn)定性）設(shè)都是有界的，且成立

則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)為初始狀態(tài)的受擾運(yùn)動(dòng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。第12頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義5.1.6

（Lyapunov意義下的不穩(wěn)定定義）

設(shè)

的任一初態(tài)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)滿足不等式的一個(gè)平衡狀態(tài)，如果對(duì)于不管取多么大的有限實(shí)數(shù)為系統(tǒng)，都不可能找到相應(yīng)的實(shí)數(shù)

，使得由滿足不等式則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。第13頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第14頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義5.1.7

（指數(shù)穩(wěn)定的定義）設(shè)的一個(gè)平衡狀態(tài)，如果對(duì)于任意的有限實(shí)數(shù)使得由滿足不等式

的任一初態(tài)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)滿足不等式為系統(tǒng),都存在相應(yīng)的實(shí)數(shù)和

則稱平衡狀態(tài)為指數(shù)穩(wěn)定的。第15頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義5.1.8

（全局指數(shù)穩(wěn)定的定義）

設(shè)的一個(gè)平衡狀態(tài)，如果對(duì)于任意的有限實(shí)數(shù)

的任一初態(tài)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)滿足不等式為系統(tǒng)，都存在相應(yīng)的實(shí)數(shù)和使得由滿足不等式

則稱平衡狀態(tài)為全局指數(shù)穩(wěn)定的。第16頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.1.3關(guān)于穩(wěn)定性定義的幾點(diǎn)說(shuō)明1.穩(wěn)定性的主體--平衡點(diǎn)

穩(wěn)定性是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì),穩(wěn)定性是針對(duì)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)而言的,只有對(duì)于具有惟一平衡點(diǎn)或者是其所有平衡狀態(tài)為同時(shí)穩(wěn)定或不穩(wěn)定的系統(tǒng)言及系統(tǒng)穩(wěn)定與否才有意義.2.穩(wěn)定性定義中的初始時(shí)刻--一致性問(wèn)題

初始時(shí)刻的影響決定了穩(wěn)定性是否一致的問(wèn)題.第17頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.穩(wěn)定性定義中的吸收域

在漸近穩(wěn)定性的定義中表征了穩(wěn)定平衡狀態(tài)所允許的初值擾動(dòng)范圍,稱為平衡狀態(tài)的吸收域。它決定了漸近穩(wěn)定性的全局性和局部性，即當(dāng)可取為整個(gè)維空間時(shí)，相應(yīng)的穩(wěn)定性便是全局穩(wěn)定的，否則為局部漸近穩(wěn)定的。第18頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.幾種穩(wěn)定性之間的關(guān)系5.Lyapunov穩(wěn)定性與微分方程解關(guān)于初值的連續(xù)性依賴性在微分方程理論中,解的適定性,即解的存在性,惟一性及它對(duì)初值的連續(xù)依賴性,是一個(gè)非常重要的內(nèi)容.第19頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.1.4Lyapunov第二方法的主要定理Lyapunov把動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法歸納為本質(zhì)不同的兩種方法,分別稱為L(zhǎng)yapunov第一方法(間接法:通過(guò)對(duì)線性化方程的穩(wěn)定性分析給出原非線性系統(tǒng)在小范圍內(nèi)穩(wěn)定性的信息)和第二方法(直接法:通過(guò)構(gòu)造一類(lèi)似于“能量”函數(shù),分析它及其一次導(dǎo)數(shù)的定號(hào)性而獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關(guān)信息)第20頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

中包含原點(diǎn)1.2.3.定義5.1.9

設(shè)為是定義在的一個(gè)封閉有限區(qū)域；上的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。如果

關(guān)于和有界正定，即存在兩個(gè)連續(xù)的和滿足

非減標(biāo)量函數(shù)并使得對(duì)任何和有:

第21頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六則稱上的一個(gè)（時(shí)變）正定函數(shù)。進(jìn)一步，如果具有無(wú)窮大性質(zhì)。

是定義在，則稱正定函數(shù)第22頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.2.3.對(duì)于任何上的一個(gè)時(shí)不變正定函數(shù)。

定義5.1.10

設(shè)為中包含為定義在上的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。如果原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域；對(duì)于向量的所有分量均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。有，則稱為定義在進(jìn)一步，如果，則稱正定函數(shù)具有無(wú)窮大性質(zhì)。

第23頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5.1.1

如果存在包含原點(diǎn)的某鄰域有界正定函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)在上為有界半負(fù)定的（或負(fù)定的），則該系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的（或一致漸近穩(wěn)定的）。

和定義在上的一個(gè)

，它沿著系統(tǒng)第24頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上的一個(gè)有界正定函數(shù)定理5.1.2

如果存在一個(gè)具有無(wú)窮大性質(zhì)的定義在，它沿著系統(tǒng)

的導(dǎo)數(shù)在上一致有界一致負(fù)定，則該系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)為全局一致漸近穩(wěn)定的。

第25頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六內(nèi)為半負(fù)定的（或負(fù)定的），則該系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)為局部穩(wěn)定（或漸近穩(wěn)定）的。定理5.1.3

如果在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在一個(gè)正定函數(shù)，它沿著系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在第26頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5.1.4

如果在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在一個(gè)正定函數(shù)，它沿著系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在內(nèi)為半負(fù)定的，但在內(nèi)在系統(tǒng)的非零解上非零，則該系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)為漸近穩(wěn)定。第27頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5.1.5

如果在上存在一個(gè)具有無(wú)窮大性質(zhì)的正定函數(shù)

，它沿著系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在

內(nèi)為負(fù)定的，則該系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)為全局漸近穩(wěn)定的。

第28頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5.1.6

如果在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)為正定，則該系統(tǒng)的零解為不穩(wěn)定的。內(nèi)存在一個(gè)正定函數(shù)，它沿著系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在第29頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.2線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定5.2.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的特殊性命題5.2.1

如果線性系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)穩(wěn)定，則其一切其它非零平衡點(diǎn)亦穩(wěn)定。的零解為漸近穩(wěn)定的，則其必為全局漸近穩(wěn)定。

命題5.2.2

如果線性系統(tǒng)第30頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六命題5.2.3

線性系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性與全局指數(shù)穩(wěn)定性等價(jià)。第31頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上有界，即存在正常數(shù)5.2.2直接判據(jù)定理5.2.1

設(shè)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則系統(tǒng)為：1.穩(wěn)定的充要條件是2.一致穩(wěn)定的充要條件是上一致有界，即存在與無(wú)關(guān)的正常數(shù)，使得為系統(tǒng)在，使得

在第32頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.漸近穩(wěn)定的充要條件是

4.一致漸近穩(wěn)定的充要條件是存在與無(wú)關(guān)的正常數(shù)，使得

例5.2.1考慮下述時(shí)變系統(tǒng)第33頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六從而由定理5.2.1顯見(jiàn)該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。下面將考察該系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定性。據(jù)定理5.2.1，如果該系統(tǒng)為一致漸近穩(wěn)定，則存在正數(shù)容易求得其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為和滿足也即第34頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六其一致漸近穩(wěn)定性等價(jià)于指數(shù)穩(wěn)定性。

推論5.2.1

對(duì)于線性系統(tǒng)由于上式右端是一個(gè)正數(shù)，而左端收斂到因而為一個(gè)矛盾不等式。此即說(shuō)明該系統(tǒng)為非一致漸近穩(wěn)定的。第35頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一致漸近穩(wěn)定。

分段連續(xù)，則定理5.2.2

設(shè)穩(wěn)定。一致穩(wěn)定。2.1.3.漸近穩(wěn)定。4.第36頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上的一個(gè)分段連續(xù)的實(shí)對(duì)稱矩陣函數(shù)，它稱為是一致有界和一致正定的，如果存在正實(shí)數(shù)5.2.3Lyapunov定理定義5.2.1

設(shè)為定義在，使成立

第37頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六收斂，且為下述矩陣微分方程

引理5.2.1

是系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的，為其狀態(tài)

為一致有界，一致轉(zhuǎn)移矩陣。正定的矩陣，則積分

對(duì)于任何的唯一解。

第38頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有唯一的實(shí)對(duì)稱、一致有界和一致正定的矩陣解的元均為分段連續(xù)，一致有界的實(shí)函數(shù)。則原點(diǎn)平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定的充要條件是對(duì)任意給定的一個(gè)實(shí)對(duì)稱、一致有界和一致正定的時(shí)變矩陣。定理5.2.3

考慮線性時(shí)變系統(tǒng)為其唯一的平衡狀態(tài)，Lyapunov矩陣微分方程：。

第39頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六推論5.2.2

設(shè)為上的一致有界分段連續(xù)矩陣，且

則系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定。

第40頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.3線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

5.3.1直接判據(jù)與Hurwitz定理定理5.3.1

對(duì)于系統(tǒng)有以下結(jié)論：1.該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有非正實(shí)部，且其具有零實(shí)部的特征值為其最小多項(xiàng)式的單根，也即在矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中，與A的零實(shí)部特征值相關(guān)聯(lián)的Jordan塊均為一階的。2.該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。第41頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

，則1.矩陣A稱為Hurwitz穩(wěn)定的，如果矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。2.矩陣A稱為臨界Hurwitz穩(wěn)定的，如果矩陣A是非Hurwitz穩(wěn)定的，但它的所有特征值均具有非正實(shí)部，且其具有零實(shí)部的特征值為其最小多項(xiàng)式的單根。定義5.3.1

設(shè)第42頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六均大于0。這里，。Hurwitz定理

給定實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式

其所有根均在復(fù)平面左半平面的充要條件是下述行列式

第43頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六因而該系統(tǒng)為非漸近穩(wěn)定的。由于矩陣本身為對(duì)角陣，即其Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為其自身，而特征值0例5.3.1考慮下述定常線性系統(tǒng)顯然其特征值為和所在的兩個(gè)Jordan塊均為一階的，故該系統(tǒng)穩(wěn)定。第44頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.3.2Lyapunov定理定理5.3.2

定常線性系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣方程

對(duì)任意給定的正定對(duì)稱矩陣都有唯一正定對(duì)稱解推論5.3.1

矩陣方程有唯一正定對(duì)稱解的充要條件，是矩陣的特征值都有負(fù)實(shí)部。

第45頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六階正定對(duì)稱矩陣推論5.3.2

任意給定以及正數(shù)，矩陣方程

有唯一正定對(duì)稱解的充要條件是矩陣的每個(gè)特征值滿足不等式

第46頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六漸近穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)任意給定的，當(dāng)定理5.3.3

定常系統(tǒng)階非負(fù)定對(duì)稱矩陣能觀測(cè)時(shí)，矩陣方程

有唯一對(duì)稱正定解。

第47頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六事實(shí)5.3.1

存在具有正實(shí)部特征值的階實(shí)矩陣和具有互異特征值的階反對(duì)稱矩陣，使得對(duì)于任何均有

事實(shí)5.3.2

對(duì)于任何具有正實(shí)部特征值的階實(shí)矩陣和具有互異特征值的階反對(duì)稱矩陣，系統(tǒng)

均為不穩(wěn)定的。5.3.3關(guān)于”凍結(jié)法”的討論第48頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.4二階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.4.1二階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述二階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性由其自由系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全決定。如果令系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第49頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.4.2預(yù)備引理則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

引理5.4.1

設(shè)均為階實(shí)方陣，且

1.

2.

3.

4.能觀

第50頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.4.3充分判據(jù)定理5.4.1

二階動(dòng)力系統(tǒng):漸近穩(wěn)定的充分條件是:第51頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期六表達(dá)，其參數(shù)矩陣為例5.4.1考慮兩個(gè)衛(wèi)星交會(huì)時(shí)的控制問(wèn)題。設(shè)