2022-2023學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)八區(qū)聯(lián)考高一年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)八區(qū)聯(lián)考高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解作答.【詳解】因?yàn)榧希?，所?故選：D2．下列函數(shù)為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】把函數(shù)化成分段函數(shù)由單調(diào)性判斷A；利用二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷CBD作答.【詳解】對于A，函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在定義域R上不單調(diào)，A不是；對于B，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，B是；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在定義域R上不單調(diào)，C不是；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，D不是.故選：B3．設(shè)a，，則“”是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用不等式的性質(zhì)，充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時，，所以即，當(dāng)時，取，得不到，所以是充分不必要條件，故選:A.4．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合“媒介數(shù)”比較大小作答.【詳解】，，，所以.故選：B5．已知是第四象限角，且，則（

）A． B． C． D．7【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角公式求出，再利用和角的正切計算作答.【詳解】由得：，即，而是第四象限角，則有，，所以.故選：A6．已知，則的最小值為（

）A． B．4C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊的方法，結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】因?yàn)?，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：D7．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.【詳解】，，兩式相加得，.故選：C.8．已知函數(shù)，若方程有四個不同的根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析給定的函數(shù)性質(zhì)，畫出函數(shù)的部分圖象，確定a的取值范圍，進(jìn)而求出范圍作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，方程有四個不同的根，不妨令，即直線與函數(shù)的圖象有4個公共點(diǎn)，觀察圖象知，，，顯然有，且，由得，即，則有，因此，所以的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及用分段函數(shù)零點(diǎn)特性求參數(shù)范圍問題，可以先獨(dú)立分析各段上的零點(diǎn)，再綜合考查所有零點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.二、多選題9．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】分析各選項中函數(shù)的定義域，再利用奇函數(shù)的定義判斷作答.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，，是偶函?shù)，A不是；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，B是；對于C，函數(shù)中，，解得，即的定義域?yàn)?，，是奇函?shù)，C是；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，是奇函?shù)，D是.故選：BCD10．下列命題為真命題的是（

）A．任意兩個等邊三角形都相似 B．所有的素數(shù)都是奇數(shù)C．， D．，【答案】AC【分析】利用判定全稱量詞命題、存在量詞命題真假的方法，逐項判斷作答.【詳解】對于A，因?yàn)樗械牡冗吶切蔚拿總€內(nèi)角都為，因此任意兩個等邊三角形都相似，A正確；對于B，2是素數(shù)，而2是偶數(shù)，即“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題，B錯誤；對于C，因?yàn)椋?，即，C正確；對于D，因?yàn)?，，D錯誤.故選：AC11．記函數(shù)，，其中．若，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】BD【分析】由對稱性得到為對稱軸，故，代入解析式得到或，求出函數(shù)解析式或，分兩種情況計算出，及判斷和的奇偶性，推斷出四個選項的正誤.【詳解】A選項，因?yàn)椋詾榈膶ΨQ軸，故，A錯誤；B選項，，解得：，因?yàn)?，所以，解得：，因?yàn)?，所以?，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，B正確；C選項，當(dāng)時，，此時不滿足，不是奇函數(shù)，當(dāng)時，，不滿足，不是奇函數(shù)，C錯誤；D選項，當(dāng)時，，此時的定義域?yàn)镽，且，為奇函數(shù)，當(dāng)時，，此時的定義域?yàn)镽，且，即，為奇函數(shù)，D正確.故選：BD12．已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】令，利用指數(shù)式與對數(shù)式互化表示出，再逐項計算、判斷作答.【詳解】是正實(shí)數(shù)，令，則，，對于A，，A錯誤；對于B，因?yàn)?，則，B正確；對于C，因?yàn)椋瑒t，即，因此，即有，C正確；對于D，，因此，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.三、填空題13．若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_____________．【答案】1【分析】利用判別式等于零求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)只有一個零點(diǎn)，所以解得.故答案為:1.14．計算_____________．【答案】【分析】直接利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及指數(shù)冪的運(yùn)算可得答案.【詳解】.故答案為：.四、雙空題15．已知函數(shù)，分別由下表給出，x012121x012210則_____________；滿足的x的值是_____________．【答案】

2

1【分析】根據(jù)列表法給定的函數(shù)，x分別取0，1，2依次計算、即可作答.【詳解】依題意，；，，，，，，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，所以滿足的x的值是1.故答案為：2；1五、填空題16．已知，（且），若對任意的，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________．【答案】【分析】求出函數(shù)在上的最大值，再根據(jù)給定條件列出不等式求解作答.【詳解】當(dāng)時，，則，因?yàn)閷θ我獾?，都存在，使得成立，因此函?shù)在上的最大值小于函數(shù)在上的最大值，而當(dāng)時，，，不符合題意，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故.六、解答題17．已知角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義計算作答.（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合（1）的結(jié)論，用齊次式法計算作答.【詳解】（1）角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，所以.（2）由（1）知，，所以.18．已知函數(shù)，且，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)條件列方程組求解即可；（2）任取，計算判斷的符號即可證明單調(diào)性.【詳解】（1）由已知，解得，；（2）任取，則，，，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增.19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，若，求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出周期作答.（2）由（1）中函數(shù)式求出A，再利用差角的正弦公式、輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）依題意，，所以函數(shù)的周期為.（2）由（1）知，，在中，，有，于是，解得，則，，顯然，，因此當(dāng)，即時，，所以的最大值為.20．某小區(qū)要在一塊扇形區(qū)域中修建一個矩形的游泳池．如圖，在扇形OPQ中，半徑，圓心角，C是扇形弧上的動點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形．記，矩形ABCD的面積為．(1)將面積S表示為角的函數(shù)；(2)當(dāng)角取何值時，S最大？并求出這個最大值．【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根據(jù)給定的圖形，用的正余弦函數(shù)表示矩形的一組鄰邊即可列式作答.（2）利用（1）中函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）依題意，在中，，則，，在中，，則，因此，，所以面積S表示為角的函數(shù)是.（2）由（1）知，當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，，所以當(dāng)時，.21．已知函數(shù)的最大值為．(1)求a的值：(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值以及取得最小值時x的集合．【答案】(1)(2)最小值為-5，的取值構(gòu)成的集合為【分析】(1)換元法，分類討論二次函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性和最值；(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值以及三角函數(shù)的性質(zhì)求時x的集合．【詳解】（1），令，則，對稱軸，當(dāng)即時，在單調(diào)遞減，所以不滿足題意；當(dāng)即時，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即解得或（舍）；當(dāng)即時，在單調(diào)遞增，所以，解得不滿足題意，綜上.（2）由(1)可得在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時函數(shù)有最小值為，此時，則的取值構(gòu)成的集合為.22．已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，記．(1)解不等式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，解指數(shù)不等式作答