【知識點解析】專題訓(xùn)練4 四種常見的幾何關(guān)系的探究

四種常見的幾何關(guān)系的探究全等三角形的性質(zhì)和判定是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)其他幾何知識的基礎(chǔ)，三角形全等的判定和性質(zhì)是證明線段相等、角相等的重要依據(jù)，并由此還可以獲得直線之間的垂直(平行)關(guān)系，線段(面積)的和、差、倍、分關(guān)系．要點提示1．如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求證：AM⊥AN.類型1位置關(guān)系證明：如圖，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.∴∠1＝∠2.又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA.∴∠3＝∠N.∵∠N＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.∴AM⊥AN.2．已知△ABC，AB＝AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如圖①，連接BD，AF，則BD________AF.(填“＞”“＜”或“＝”)＝類型2相等關(guān)系(2)如圖②，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF.求證：BH＝GF.證明：將△DEF沿FE方向平移，使點E與點C重合，設(shè)ED平移后與MN相交于R，如圖，∵M(jìn)N∥BC，RC∥EH，∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，∵M(jìn)N∥BC，RC∥EH，∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，易得∠GRC＝∠RGC，∴△CGR是等腰三角形．∴CG＝CR.又∵M(jìn)N∥BF，CR∥EH，∴四邊形RCEH為平行四邊形，∴CR＝EH.∴CG＝HE.由平移的性質(zhì)得BC＝EF，∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.易得∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，∴BH＝FG.3．如圖，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F(xiàn)分別是直線CD上的三點，且∠BEC＝∠CFA＝α，請?zhí)岢鰧F，BE，AF三條線段之間數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并證明．類型3和差關(guān)系解：猜想：EF＝BE＋AF.證明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，∠BCA＝α＝∠BEC，∴∠CBE＝∠ACF.又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，∴△BEC≌△CFA(AAS)．∴BE＝CF，EC＝FA.∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.4．(1)閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_____________；類型4不等關(guān)系2<AD<8(2)問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF；證明：(2)如圖，延長FD至點G，使DG＝DF，連接BG，EG.∵點D是BC的中點，∴DB＝DC.∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，∴△BDG≌△CDF(SAS)．∴BG＝CF.∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠EDG＝90°，

又∵ED＝ED，F(xiàn)D＝GD，∴△EDF≌△EDG，∴EF＝EG.∵在△BEG中，BE＋BG>EG，∴BE＋CF>EF.(3)問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD,∠BCD＝140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)

BE＋DF＝EF.證明如下：如圖，延長AB至點G，使BG＝DF，連接CG.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D.∵CB＝CD，∴△CBG≌△CDF(SAS)．∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF＋∠BCE＝70°.∴∠BCE＋∠