數(shù)列解答題專練(含標準答案版)

#/8數(shù)列高考真題匯編1.已知等差數(shù)歹列｛外｝的公差為2,前n項和為Sn，且S1,S2,S4成等比數(shù)歹列.(1)求數(shù)歹列｛“J的通項公式;4n4n⑵令久=(—dn-1aa",nn+1求數(shù)歹歹｛幺｝的前n項和Tn.解析(1)因為S1解析(1)因為S1=a1S2=2a1+2XX1X2=2a1+2,S4=4a1+423X2=4a1+12,(3分)由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12)，解得a1=1.所以an=2n-1.(5分)4n4n⑵bn=(-1)n-1 nn+1=(-1)n-1 (2n-1)(2n+1)(6分)=(-1)n(6分)當n為偶數(shù)時，T=(1+3.11T=(1+3.1135(2n-3(2n-12n+1,=1當n為奇數(shù)時，T=(T=(1+3.113+5(2n-1+2n+1,2n＋2.(10分)2n＋12.2.已知數(shù)列｛an｝的前n項和n2+nSn=-2-,n￡N*.(1)求數(shù)歹歹｛an｝的通項公式;⑵設bn=2an+(-1)4,求數(shù)列｛bn｝的前2n項和.解析(1)當n=1時，a1=S1=1；、/ n2+n(n-1)2+(n-1)當n三2時，an=Sn-Sn-1= 2 - 2 二故數(shù)列｛a/的通項公式為an=n.⑵由⑴知，an=n，故bn=2n+(-1)nn.記數(shù)列｛bn｝的前2n項和為T2n，貝UT2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).記A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,2(1-22n)貝I」A= =22n+1-2,1-2B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.故數(shù)列｛bn｝的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n-2.3.數(shù)列｛an｝滿足a1~1，nan+1=(n+1)an+n(n+1),n￡N*.⑴證明：數(shù)歹*a1是等差數(shù)列；n⑵設bn=3n?啊，求數(shù)歹歹｛bn｝的前n項和Sn.解析(1)證明：由已知可得4=a+1，即L-a=1.(4分)n+1nn+1n所以數(shù)列]n1是以1=1為首項，1為公差的等差數(shù)列.(5分)⑵解：由(1)得a=1+(n-1)-1=n，所以an=n2.從而bn=n-3n.(7分)Sn=1X31+2X32+3X33+…+n-3n，①3S=1X32+2X33+…+(n-1)-3n+n-3n+1.②n

3-(1-3n)①—②，得-2Sn=31+32+…+3n-n-3n+1= ]§ -n-3n(1(1-2n)-3n+1-3.(10分)(2n-1)-3n+1+3所以Sn= 4 .(12分)4.已知Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和，a1=2,Sn+1=3Sn+n2+2(n￡N*),=a+n.(1)證明：數(shù)列｛幺｝是等比數(shù)列；n4(2)若cn=石,數(shù)列｛cn｝的刖n項和為7n，求證:Tn<5.解析(1)證明：因為a1=2,Sn+1=3Sn+n2+2,所以當n=1時，a1+a2=3aJ12+2,解得a2=7.(2分)由Sn+1=3Sn+n2+2及Sn=3Sn-1+(n-1)2+2(n三2)，兩式相減，得an+1=3an+2n-1.故an+1+n+1=3(an+n).即bn+1=3bn(n三2).(4分)又b1=3,b2=9,所以當n=1時上式也成立.故數(shù)列｛bn｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.(5分)n(2)由⑴知bn=3n,所以cn=3.一，1 2 3 n-1n所以Tn=3+ 32+ 3^+^+3X +玉，①3T=1+2+K+…+n--+—.②(7分)n 332 3n-23n-1

33+2n所以Tn=4-llnr.(10分)3+2n因為ngN*,顯然有4>3n>0.34 4又4<5，所以T<5.(12分)5.已知首項為2的等比數(shù)列｛an｝是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn,且S1+a1S2+a2,S3+a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；(2)若bn=an」og2an,數(shù)歹列｛bn｝的前n項和為Tn.解析(1)設等比數(shù)列｛an｝的公比為q，由題知a1=2,又「S1+a1,S2+a2,S3+a3成等差數(shù)列，2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3.:.S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即3a2=a1+2a3.31 1.:2q=2+q⑵;bn=anlog2an⑵;bn=anlog2an=-n(2)n，又｛an｝為遞減數(shù)列，于是q=2.1，Tn=-[1X2+2X(2)2+…,+(n-1)(2)n-1，Tn=-[1X2+2X(2)2+…,+(n-1)(2)n-1+nX(2)n].于是2Tn=-[1x+…+(n-1)(2)n+nX(2)n+1].(8分)兩式相減,得2Tn=-[2+(2)2+.,,+(2)n-nX(2)n+1]=-2X[1-8)n]1 +1-21nX(2)n+1.：.Tn=(n+2)(2)n-2,6.已知首項都是1的兩個數(shù)歹列｛an｝,｛bn｝(bnW0,n￡N*)滿足anbn十1an+1bn+2bn+1bn=0.⑴令cn=a，求數(shù)歹列｛*的通項公式；⑵若bn=3n-1,求數(shù)歹列｛an｝的前n項和Sn.解析(1)因為anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bnW0(ngN*),所以J-a=2，即c+1-c=2.(4分)bb n+1nn+1n所以數(shù)列｛cn｝是以首項c1=1，公差d=2的等差數(shù)列，故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1，知an=cnbn=(2n-1)3n-1.于是數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=1.30+3.31+5.32+???+(2n-1>3n-1,3Sn=1-31+3?32+…+(2n-3>3n-1+(2n-1>3n,相減得-2Sn=1+2-(31+32+…+3n-1)-(2n-1>3n=-2-(2n-2)3n.所以Sn=(n-1)3n+1.7.已知｛an｝是遞增的等差數(shù)列，a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.⑴求｛an｝的通項公式；⑵求數(shù)歹瞪J的前n項和.解析(1)方程x2-5x+6=0的兩根為2,3,由題意得a2=2,a4=3設數(shù)列｛a｝的公差為d，則a/a=2d，故d=1,從而a=3.n 422 12所以｛a/的通項公式為an=2n+1.ra〕 an+2⑵設《3卜的前n項和為s，由(i)知a：二——，則rJ n 2n+13 4n+1n+2Sn=22+23+^+k+J；，3 4 n+1n+2n23 24 2n+1 2n+2，兩式相減，得1_3 1 …n+__31 _；_ n222nn4+(23+ +2n+1) 2n+2 4+4( 2n_2 2n+2所以Sn=2-.已知｛an｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1-a『2,a3-a4=32.(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；bbb b(2)設數(shù)列｛bn｝滿足?+-3+-5+…+五==an+1-1(n￡N*),求數(shù)列｛bn｝的前n項和.解析(1)設等比數(shù)列｛an｝的公比為q,a2q=2,由已知得11a2q5=32.la1=1,又二a>0,q>0，.力[q=2.Aan=2n-1.(2)由題意，可得%+與+9+…+2""1=2n-1.A2n-1-1+b=2n-1(n三2),A2n-1-1+2n-1 2n-1

：.bn=(2n-1)2〃-1(n三2).當n=1時，b1=1,符合上式，：.bn=(2n-1)-2n-1(ngN*).設Tn=1+3X21+5X22+…+(2n-1)-2n-1,2Tn=1X2+3X22+5X23+…+(2n-3)-2n-1+(2n-1)-2n,兩式相減，得-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)-2n=-(2n-3)-2n-3.：.Tn=(2n-3)2n+3..已知數(shù)歹列｛%｝是仁白公比q=1的等比數(shù)列.設bn+2=3log；an(n￡N*),數(shù)歹列｛cj滿足cn=anbn.(1)求證：數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列；(2)求數(shù)歹列｛cn｝的前n項和Sn.解析(1)證明：由已知，可得an=a3qn-3=(；)n.11貝I」bn+2=310g4(4)n=3n，.二bn=3n-2.?:bn+1-bn=3,「.｛bn｝為等差數(shù)列.(2)由⑴知cn=anbn=(3n-2)(4)n,11 1 1，Sn=1X4+4X(4)2+7X(4)3+…+(3n-2)X(4)n,①4Sn=1X(1)2+4X(%+7X(4/+…+(3n-5)X(1