2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列對(duì)象不能組成集合的是（）A．不超過(guò)20的質(zhì)數(shù) B．的近似值C．方程的實(shí)數(shù)根 D．函數(shù)的最小值【答案】B【解析】根據(jù)集合的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】不超過(guò)20的質(zhì)數(shù)構(gòu)成集合；方程的實(shí)數(shù)根構(gòu)成集合；函數(shù)的最小值構(gòu)成集合.而的近似值標(biāo)準(zhǔn)不明確，不能組成集合.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念，屬于基礎(chǔ)題.2．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)檎鏀?shù)大于0，解不等式即可.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋海椿?，所以定義域?yàn)椋?故選：D.3．函數(shù)取得最小值時(shí)的自變量x等于（）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式確定函數(shù)取得最小值時(shí)的自變量x的值.【詳解】函數(shù)，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．故選：A．4．已知函數(shù)，若，則的取值集合是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)值的求解方法，對(duì)與兩種情況求解，可得答案.【詳解】若，可得，解得，(舍去)；若，可得=5，可得，與相矛盾，故舍去，綜上可得：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)，分段求解是處理分段函數(shù)核心.5．已知函數(shù)的一部分圖象如圖所示，如圖，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值求得A和，然后利用圖象求得函數(shù)的周期，求得，最后根據(jù)時(shí)取最大值，求得，即得結(jié)果．【詳解】根據(jù)圖象可知，函數(shù)的最大值4和最小值0，得，解得，函數(shù)的周期為，即，當(dāng)時(shí)取最大值4，即，，即，.故選：D.6．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門(mén)關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】由題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場(chǎng)；即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選：B7．若函數(shù)的圖像在第一、三、四象限內(nèi)，則（）A． B．，且C．，且 D．【答案】B【分析】本題首先可以確定函數(shù)的圖像所在象限，然后分為、兩種情況進(jìn)行討論，通過(guò)圖像的移動(dòng)可確定，最后通過(guò)對(duì)向下移動(dòng)是否超過(guò)一個(gè)單位進(jìn)行討論，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在第一、二象限內(nèi)，所以欲使其圖像在第三、四象限內(nèi)，必須將向下移動(dòng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，圖像向下移動(dòng)，只能經(jīng)過(guò)第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有當(dāng)時(shí)，圖像向下移動(dòng)才可能經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故，因?yàn)閳D像向下移動(dòng)小于一個(gè)單位時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，而向下移動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，圖像恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、三象限，所以欲使圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則必須向下平移超過(guò)一個(gè)單位，故，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖像所在象限確定參數(shù)的取值范圍，考查指數(shù)函數(shù)圖像的靈活應(yīng)用，考查圖像的平移，考查空間想象能力，是中檔題.8．已知，α∈，函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正切二倍角公式，由解得或.化簡(jiǎn)，由恒成立，結(jié)合，解得，再根據(jù)α∈，可得.由同角關(guān)系，以及兩角差的正弦公式，即可求解.【詳解】由，即，得或.又恒成立，因?yàn)?，即，所以，又α∈，則，所以，，所以，故選：A.二、多選題9．下列計(jì)算成立的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，，故D選項(xiàng)正確.故選：CD10．對(duì)于實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和反比例函數(shù)單調(diào)性可確定正確；通過(guò)反例可知錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，；綜上所述：若，則，正確；對(duì)于，若，則，，，正確；對(duì)于，若，則，，不滿(mǎn)足，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用不等式的性質(zhì)比較大小的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.11．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：為整數(shù)時(shí)，；不為整數(shù)時(shí)，，則（）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C． D．的最小正周期為【答案】BCD【分析】由函數(shù)的奇偶性判斷A和B；由的對(duì)應(yīng)關(guān)系判斷C；由周期判斷D.【詳解】選項(xiàng)A中，對(duì)于函數(shù)，有，所以不恒成立，則函數(shù)不是奇函數(shù)，所以A不正確；選項(xiàng)B中，對(duì)于函數(shù)，若為整數(shù)，則也是整數(shù)，則，若不為整數(shù)，則也不為整數(shù)，則有，綜上可得，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以B正確；選項(xiàng)C中，若為整數(shù)，則，不為整數(shù)，則，綜上，是整數(shù)，則，所以C正確；選項(xiàng)D中，若為整數(shù)，則也是整數(shù)，若不為整數(shù)，則也不是整數(shù)，總之有，所以函數(shù)的周期為1；若，則和可能是一個(gè)整數(shù)，也可能不是整數(shù)，則有，所以函數(shù)的最小正周期為1，所以D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的最小正周期為B．若函數(shù)的最大值為6，則C．直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】BC【分析】對(duì)于A可以根據(jù)正弦函數(shù)最小正周期公式直接求得；對(duì)于B根據(jù)題意得出等式計(jì)算即可；對(duì)于C利用代入法判斷即可；對(duì)于D得出函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度的解析式與函數(shù)的解析式對(duì)比即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)最大值為，若函數(shù)的最大值為6，則，故B正確；對(duì)于C，代入可知，函數(shù)取得最大值，所以直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，與圖像不同，故D錯(cuò)誤.故選:BC三、填空題13．已知集合A=，若，則實(shí)數(shù)的值是____________.【答案】【分析】根據(jù)題意，可得或，然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】由題可知：集合，所以或，則或當(dāng)時(shí)，，不符合集合元素的互異性，當(dāng)時(shí)，，符合題意所以故答案為：14．函數(shù)f（x）＝ax+1+2021（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)_________．【答案】【分析】令，結(jié)合即可求出結(jié)果．【詳解】解：令得，，此時(shí)，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，故答案為：．15．若，且均為銳角，則________．【答案】0.28【分析】先求得的值，由可求得的值.【詳解】解：由于是銳角，所以，所以，所以.故答案為：.16．已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為_(kāi)__________．【答案】【分析】利用“乘1法”即求.【詳解】，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為：四、解答題17．設(shè)全集，集合，.（1）求及；（2）求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)集合的交并集運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)集合的補(bǔ)集的運(yùn)算和交集的運(yùn)算求解即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以，?）因?yàn)?，所以，所?18．已知函數(shù)(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)．(1)求的值；(2)若，求的定義域并判斷其奇偶性．【答案】(1)；(2)定義域?yàn)椋己瘮?shù).【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化計(jì)算作答.(2)由(1)求出的解析式，列不等式求定義域，利用奇偶性定義判斷作答.(1)因函數(shù)(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，即，又且，解得，所以的值是3.(2)由(1)知，，則，由得，因此，的定義域?yàn)椋?，有，則，即有是偶函數(shù)，所以定義域?yàn)?，是偶函?shù).19．已知函數(shù)滿(mǎn)足，且．(1)求的值和函數(shù)的解析式；(2)判斷在其定義域的單調(diào)性并加以證明．【答案】(1)，；(2)單調(diào)增函數(shù)，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知可得，由可求得實(shí)數(shù)的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）判斷出函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，任取、且，作差，化簡(jiǎn)變形后判斷差值符號(hào)，由此可證得結(jié)論成立.(1)解：由，得，則，得，所以.(2)解：函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)為定義域上的增函數(shù)，證明如下：任取、且，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以在其定義域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)20．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)即得解；（2）由已知得，再利用不等式的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)的圖象逐步求出三角函數(shù)的值域得解.(1)解：，所以的最小正周期為．(2)解：由已知得．當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即在區(qū)間上的值域?yàn)椋?1．近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，一些城市陸續(xù)發(fā)出“春節(jié)期間非必要不返鄉(xiāng)，就地過(guò)年”的倡議.為最大程度減少人員流動(dòng)，減少疫情發(fā)生的可能性，某地政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，鼓勵(lì)企業(yè)在春節(jié)期間留住員工在本市過(guò)年并加班追產(chǎn).為此，該地政府決定為當(dāng)?shù)啬矨企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)提供(萬(wàn)元)的專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼.A企業(yè)在收到政府x(萬(wàn)元)補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到(萬(wàn)件).同時(shí)A企業(yè)生產(chǎn)t(萬(wàn)件)產(chǎn)品需要投入成本為(萬(wàn)元)，并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注：收益=銷(xiāo)售金額+政府專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼-成本（1）求企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益(萬(wàn)元)關(guān)于政府補(bǔ)貼(萬(wàn)元)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)政府的專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬(wàn)元時(shí)，A企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大？【答案】（1），；（2）即當(dāng)政府的專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼為萬(wàn)元時(shí)，A企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為萬(wàn)元；【解析】（1）依題意得到的函數(shù)解析式；（2）利用基本不等式求出函數(shù)的最大值，即可得解；【詳解】解：（1）依題意可知，銷(xiāo)售金額萬(wàn)元，政府補(bǔ)貼萬(wàn)元，成本為萬(wàn)元；所以收益，（2）由（1）可知，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以當(dāng)時(shí)，A企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為萬(wàn)元；即當(dāng)政府的專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼為萬(wàn)元時(shí)，A企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為萬(wàn)元；【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方22．已知函數(shù)．（1）若對(duì)任意的x∈R＋，不等式f(x)>0恒成立，求m的取值范圍；（