方差分析課件

t檢驗可以判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差異顯著性，

而方差分析既可以判斷兩組又可以判斷多組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異顯著性。第四章方差分析方差分析(Analysisofvariance，ANOVA)又叫變量分析，是英國著名統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher于20世紀(jì)提出的。它是用以檢驗兩個或多個均數(shù)間差異的假設(shè)檢驗方法。它是一類特定情況下的統(tǒng)計假設(shè)檢驗，或者說是平均數(shù)差異顯著性檢驗的一種引伸。方差分析的基本思想總變異處理效應(yīng)試驗誤差方差分析的目的確定各種原因在總變異中所占的重要程度。處理效應(yīng)試驗誤差相差不大，說明試驗處理對指標(biāo)影響不大。相差較大，即處理效應(yīng)比試驗誤差大得多，說明試驗處理影響是很大的，不可忽視。方差分析的用途1.用于多個樣本平均數(shù)的比較2.分析多個因素間的交互作用3.回歸方程的假設(shè)檢驗4.方差的同質(zhì)性檢驗1.用于多個樣本平均數(shù)的比較2.分析多個因素間的交互作用平方和與df的分解方差是離均差平方和除以自由度的商σ2

＝∑(x-μ)2

N∑(x-x)2

s2=n-1要把一個試驗的總變異依據(jù)變異來源分為相應(yīng)的變異，首先要將總平方和和總df分解為各個變異來源的的相應(yīng)部分。方差分析的基本思想引起觀測值出現(xiàn)變異分解為處理效應(yīng)的變異和試驗誤差的變異。平方和與df的分解根據(jù)線性可加模型，則有：平方和(xi–

x)(x-x)＝(x-xi)+(x-x)2＝[]2(x-xi)+(xi–

x)(xi–x)2∑(x-x)2＝∑1n1n(x-xi)2+(x-xi)(xi–

x)2∑1n+∑1n每一個處理n個觀測值離均差平方和累加：＝(x-xi)2+2(x-xi)(xi–

x)+(xi–x)20(xi–

x)＝0(x-xi)2∑1n？……平均T=∑xij

Tk…Ti…T2T1總和xk1xk2…xkj…xkn………………xi1xi2…xij…xin………………x21x22…x2j…x2nx11

x12

…x1j…x1n12…j…nk…i…21處理重復(fù)xx1

x2

xi

xk

平方和與df的分解平方和總平方和＝處理間平方和+處理內(nèi)平方和SST＝SSt+SSeSST＝∑∑(x-x)21n

1k

=∑x2

-T2

kn(∑x)2

kn＝∑x2-SST＝∑x2-C令矯正數(shù)C＝，則：T2

kn平方和SSt＝n∑1

k

(xi–x)2

k

＝n∑(-2+)1xi2

xixx2

=n∑-+nk1

k

xi2

2n∑1

k

xxix2

=-2nk+n∑1

k

xi2

x2

nkx2

=-n∑1

k

xi2

nkx2

=-n∑1

k

Ti2

n2

nkT2(nk)2

=∑Ti2-Cn1∑1

k

xi=kxxi=Tin=Tnkx平方和與df的分解總平方和：SST＝∑x2-C處理間平方和：SSt=∑Ti2-Cn1處理內(nèi)平方和：SSe=SST-SSt平方和平方和與df的分解自由度dfT=nk-1dft=k-1dfe=dfT-dft=nk-1-(k-1)=nk-k=k(n-1)……平均T=∑xij

Tk…Ti…T2T1總和xk1xk2…xkj…xkn………………xi1xi2…xij…xin………………x21x22…x2j…x2nx11

x12

…x1j…x1n12…j…nk…i…21處理重復(fù)xx1

x2

xi

xk

平方和與df的分解根據(jù)各變異部分的平方和和自由度，可求得處理間方差（st2）和處理內(nèi)方差（se2）：st2

=SStdftSSedfese2=平方和自由度方差處理間處理內(nèi)總變異確定各種原因（處理效應(yīng)、試驗誤差）在總變異中所占的重要程度。處理間的方差（st2

）可以作為處理效應(yīng)方差的估計量處理內(nèi)的方差（se2

）可以作為試驗誤差差異的估計量處理效應(yīng)試驗誤差方差分析的目的:二者相比，如果相差不大，說明不同處理的變異在總變異中所占的位置不重要，也就是不同試驗處理對結(jié)果影響不大。如果相差較大，也就是處理效應(yīng)比試驗誤差大得多，說明試驗處理的變異在總變異中占有重要的位置，不同處理對結(jié)果的影響很大，不可忽視。處理效應(yīng)試驗誤差F檢驗在進(jìn)行不同處理差異顯著性的F檢驗時，一般是把處理間方差作為分子，稱為大方差，誤差方差作為分母，稱為小方差。無效假設(shè)是把各個處理的變量假設(shè)來自同一總體，即處理間方差不存在處理效應(yīng)，只有誤差的影響，因而處理間的樣本方差σt2與誤差的樣本方差σe2相等：Ho：σt2

＝

σe2HA：σt2

≠

σe2綜上所述，可歸納成方差分析表(analysisofvariancetable)se2k(n-1)SSe誤差或處理內(nèi)nk-1SST總和st2k-1SSt處理間F均方自由度平方和變異來源F＝st2se2F檢驗多重比較LSD法的實質(zhì)是兩個平均數(shù)相比較的t檢驗法。LSR法克服了LSD法的局限性，采用不同平均數(shù)間用不同的顯著差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，它可用于平均數(shù)間的所有相互比較。(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）1.檢驗的方法(1)先計算出達(dá)到差異顯著的最小差數(shù)，記為LSDα

(2)用兩個處理平均數(shù)的差值絕對值與LSDα比較：x1x2-(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）1.檢驗的方法(1)先計算出達(dá)到差異顯著的最小差數(shù)，記為LSDα

由t=得LSD0.05=t0.05·LSD0.01=t0.01·x1x2-S=√1n2se2(+)當(dāng)n1=

n2時：x1x2-S√=2se2

n平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計算公式：處理內(nèi)方差＝t·x1x2-Sx1x2-x1x2-Sx1x2-x1x2-Sx1x2-S1n11.檢驗的方法(2)再用兩個處理平均數(shù)的差值絕對值與LSDα比較：x1x2-x1x2-＞LSDα，即和在給定的α水平上差異不顯著

x1x2拒絕Ho接受Ho(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）x1x2即和在給定的α水平上差異顯著x1x2-＜LSDα，變異來源SSdfs2FF0.05F0.01品種間品種內(nèi)103.94109.3631234.6479.1133.802*3.495.95總變異213.3015不同品種豬4個月增重量的方差分析表例=2se2

=√2×9.113

4＝2.1346查t值表，當(dāng)誤差自由度dfe=12時，=2.179×2.1346=4.6513(kg)=3.056×2.1346=6.5233(kg)t0.05＝2.179，t0.01＝3.056√nx1x2-SLSD0.05=t0.05·x1x2-SLSD0.01=t0.01·x1x2-S2.結(jié)果表示方法(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）梯形法標(biāo)記字母法標(biāo)記字母法首先將全部平均數(shù)從大到小依次排列。然后在最大的平均數(shù)上標(biāo)字母a，將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，凡相差不顯著的（＜LSDα）都標(biāo)上字母a，直至某個與之相差顯著的則標(biāo)字母b。再以該標(biāo)有b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與各個比它大的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的在字母a的右邊加標(biāo)字母b。然后再以標(biāo)b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與以下未曾標(biāo)有字母的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的繼續(xù)標(biāo)以字母b，直至差異顯著的平均數(shù)標(biāo)字母c，再與上面的平均數(shù)比較。如此重復(fù)進(jìn)行，直至最小的平均數(shù)有了標(biāo)記字母，并與上面的平均數(shù)比較后為止。(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）標(biāo)記字母法品種平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.1aA例不同品種間4個月增重量差異顯著表abbbAABBBxi

結(jié)果表明：大白和沈黑增重量差異達(dá)到了極顯著標(biāo)準(zhǔn)，大白與沈白之間的差異達(dá)到了顯著標(biāo)準(zhǔn)，其他品種間差異不顯著。LSD0.05=4.6513LSD0.01=6.5233標(biāo)記字母法在各平均數(shù)間，凡有一個相同標(biāo)記字母的即為差異不顯著，凡具不同標(biāo)記字母的即為差異顯著。差異極顯著標(biāo)記方法相同，但用大寫字母標(biāo)記。(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）梯形比較法又叫三角形法，是將各處理的平均數(shù)差數(shù)按梯形列于表中，并將這些差數(shù)和LSDα值比較：差數(shù)＞LSD0.05差異顯著*差數(shù)＞LSD0.01差異極顯著**差數(shù)≤LSD0.05差異不顯著(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）例不同品種間4個月增重量差異顯著表品種平均數(shù)差異顯著性大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.16.8**3.81.75.1*2.13.0xixi-24.1xi-25.8xi-27.9LSD0.05=4.6513LSD0.01=6.5233

結(jié)果表明：大白和沈黑增重量差異達(dá)到了極顯著標(biāo)準(zhǔn)，大白與沈白之間的差異達(dá)到了顯著標(biāo)準(zhǔn)，其他品種間差異不顯著LSD法應(yīng)用的說明(一)最小顯著差數(shù)法（LSD法）1.進(jìn)行LSD檢驗時，這一對平均數(shù)的比較是檢驗之前已經(jīng)指定的，且經(jīng)F檢驗證實平均數(shù)間的差異已達(dá)到顯著之后，才可以進(jìn)行LSD檢驗。3.LSD法適用于各處理組與對照組的比較，不適用于處理組間的比較。2.LSD法實質(zhì)上是t檢驗，但LSD法是利用F檢驗中的誤差自由度dfe查t臨界值，利用誤差方差se2計算平均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤，從一定程度上緩解了t檢驗過程中的三個弊病，但是LSD法仍然存在提高犯α錯誤的概率，所以進(jìn)行LSD檢驗必須限制其應(yīng)用范圍。(二)最小顯著極差法（LSR法）是指不同平均數(shù)間用不同的顯著差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，可用于平均數(shù)間的所有相互比較。新復(fù)極差法（Newmultiplerangmethod）SSR法q檢驗（q-test）新復(fù)極差法（SSR）SSR法又稱Duncan法。無效假設(shè)H0為：μA–μB=0(1)按相比較的樣本容量計算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤:當(dāng)n1＝n2＝n時(2)根據(jù)誤差方差se2所具有自由度dfe和比較所含平均數(shù)個數(shù)M，查SSR值（附表8），然后算出最小顯著極差值（LSR值）。(3)將各平均數(shù)按大小順序排列，用各個M值的LSRα值，檢驗各平均數(shù)間極差的顯著性。例例：n=4，se2=9.113，dfe＝12查附表8，當(dāng)dfe＝12，M＝2時，LSR0.05＝1.5094×3.08＝4.65LSR0.01＝1.5094×4.32＝6.52當(dāng)M＝3，M＝4時，按同理計算，將結(jié)果列于下表：SSR0.05＝3.08，SSR0.01＝4.32不同品種4個月增重量試驗LSR值（新復(fù)極差法）M234SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.224.504.886.793.314.625.006.97品種平均數(shù)大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.1大白與沈黑：M＝4，極差＝6.8＞5.00大白與沈白：M＝3，極差＝5.1＞4.88大白與沈花：M＝2，極差＝3.0＜4.65M=相隔數(shù)+2品種平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.1aabbbAAAA

結(jié)論：豬的4個品種中只有大白與沈黑，大白與沈白4個月增重量差異達(dá)到顯著，其他品種間差異不顯著。豬品種間4個月增重量差異顯著性比較表（新復(fù)極差法）也稱Newman-keuls檢驗，方法與新復(fù)極差法相似，其區(qū)別僅在于計算最小顯著極差LSRα?xí)r不是查SSRα，而是查qα值（附表9）還對上例作q檢驗：＝1.5094,查q值表，dfe＝12,M=2時q0.05＝3.08，q0.01＝4.32。同理可查M＝3，M=4時的qα值，算出最小顯著極差LSR。q-檢驗法q-檢驗M234q0.05q0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.775.045.697.614.205.506.348.30不同品種4個月增重量試驗LSR值（q檢驗）品種平均數(shù)大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.1大白與沈黑：M＝4，極差＝6.8＞6.34大白與沈白：M＝3，極差＝5.1＜5.69大白與沈花：M＝2，極差＝3.0＜4.65(二)最小顯著極差法（LSR法）不同品種間4個月增重量差異顯著性比較表（新復(fù)極差法）品種平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01大白沈花沈白沈黑30.927.925.824.1aababbAAAA

結(jié)論：豬的4個品種中只有大白與沈黑4個月增重量差異達(dá)到顯著，其他品種間差異不顯著。LSD0.05=4.6513LSD0.01=6.5233LSD法M234q0.05q0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.775.045.697.614.205.506.348.30M234SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.224.504.886.793.314.625.006.97新復(fù)極差法q檢驗當(dāng)樣本數(shù)k=2時，LSD法、LSR法和q檢驗法的顯著性尺度是相同的。當(dāng)M≥3時，三種檢驗的顯著尺度便不相同。因此，在實際計算中：對于精度要求高的試驗——q檢驗法一般試驗——SSR檢驗法試驗中各個處理均數(shù)皆與對照相比的試驗——LSD檢驗法方差分析的基本步驟（1）將樣本數(shù)據(jù)的總平方和與總自由度分解為各變異因素的平方和與自由度；（2）列方差分析表進(jìn)行F檢驗，以弄清各變異因素在總變異中的重要程度；（3）對各處理平均數(shù)進(jìn)行多重比較。第二節(jié)單因素方差分析單因素方差分析在試驗中所考慮的因素只有一個時，稱為單因素實驗。單因素方差分析是最簡單的一種，它適用于只研究一個試驗因素的資料，目的在于正確判斷該試驗因素各處理的相對效果（各水平的優(yōu)劣）.單因素方差分析組內(nèi)觀測數(shù)目的不同組內(nèi)觀測次數(shù)相等方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)不相等的方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)相等的方差分析

是指在k組處理中，每一處理皆含有n個觀測值，其方差分析方法前面已做介紹，這里以方差分析表的形式給出有關(guān)計算公式：se2k(n-1)SSe誤差或處理內(nèi)nk-1SST總和st2k-1SSt處理間F均方自由度平方和變異來源F＝st2se2

測定東北、內(nèi)蒙古、河北、安徽、貴州5個地區(qū)黃鼬冬季針毛的長度，每個地區(qū)隨機(jī)抽取4個樣本，測定的結(jié)果如表，試比較各地區(qū)黃鼬針毛長度差異顯著性。地區(qū)東北內(nèi)蒙古河北安徽貴州合計132.029.225.223.322.3232.827.426.125.122.5331.226.325.825.122.9430.426.726.725.523.7126.4109.6104.199.091.4530.531.6027.4026.0324.7522.8526.533997.443007.992709.982453.162089.6414258.21在這里，k=5，n=4。（1）首先計算出，及，并列于表中。（2）計算出離均差平方和與自由度：＝186.7-173.71＝12.99＝20－1＝19＝5×(4－1)＝15（3）計算方差：＝5－1＝4（4）進(jìn)行F檢驗：查F值表，得F0.05(4,15)＝3.06，F(xiàn)0.01(4,15)＝4.89，故F>F0.01，P<0.01，說明5個地區(qū)黃鼬冬季針毛長度差異極顯著。結(jié)果做成方差分析表：不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長度方差分析表變異來源SSdfs2FF0.05F0.01地區(qū)間地區(qū)內(nèi)173.7112.9941543.430.8750.15**3.064.89總變異186.7019為了確定各個地區(qū)之間的差異是否顯著，需要進(jìn)行多重比較。這里用最小顯著差數(shù)法（LSD）進(jìn)行檢驗。查t值表，當(dāng)dfe=15時，t0.05＝2.131，t0.01＝2.947，于是有：LSD0.05=2.131×0.658=1.402LSD0.01=2.947×0.658=1.939本例中各組內(nèi)觀測數(shù)相等，而且組內(nèi)方差均為0.866，故任何兩組的比較均可用LSD0.05及LSD0.01。

在進(jìn)行LSD0.05及LSD0.01比較時，各組間差數(shù)>LSD0.01，說明兩地間差異極顯著，標(biāo)以不同的大寫字母；

LSD0.01>各組間差數(shù)>LSD0.05，說明兩地間差異顯著，標(biāo)以不同的小寫字母；地區(qū)平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01東北內(nèi)蒙古河北安徽貴州31.6027.4026.0324.7522.85abbccdABBCCDD

結(jié)果表明，東北與其它地區(qū)，內(nèi)蒙古與安徽、貴州，河北與貴州黃鼬冬季針毛長度差異均達(dá)到極顯著水平，安徽與貴州差異達(dá)到顯著水平，而內(nèi)蒙古與河北、河北與安徽差異不顯著。根據(jù)組內(nèi)觀測次數(shù)目不同組內(nèi)觀測次數(shù)相等的方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)不相等的方差分析

有時由于試驗條件的限制，不同處理的觀測次數(shù)不同，k個處理的觀測次數(shù)依次是n1、n2、…、nk的單因素分組資料，前面介紹的方差分析方法仍然可用，但由于總觀測次數(shù)不是nk，而是次，在計算平方和時公式稍有改變。組內(nèi)觀測次數(shù)不相等的方差分析se2∑ni-1

SSe誤差或處理內(nèi)SST總和st2k-1處理間F方差自由度平方和變異來源F＝st2se2∑ni-k

在作多重比較時，首先應(yīng)計算平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。由于各組內(nèi)觀測次數(shù)不等，因此應(yīng)需先算得各ni的平均數(shù)n0：各個處理的樣本容量用于LSR檢驗用于LSD檢驗用某種小麥種子進(jìn)行切胚乳試驗，實驗分為三種處理：整粒小麥（I），切去一半胚乳（II），切去全部胚乳（III），同期播種與條件較一致的花盆內(nèi)，出苗后每盆選留兩株，成熟后進(jìn)行單株考種，每株粒重結(jié)果如表，試進(jìn)行方差分析。處理株號合計平均數(shù)12345678910ⅠⅡIII21202429252224252822232525292130312627242626202120424414625.524.424.3小麥切胚乳試驗單株粒重（g）處理株號合計平均數(shù)12345678910ⅠⅡIII21202429252224252822232525292130312627242626202120424414625.524.424.3小麥切胚乳試驗單株粒重（g）n1＝8，n2＝10，n3＝6，N＝24(1)平方和的計算SST＝∑x2–C=212+292+…+262-C=230.5SSe＝SST-SSt＝230.5-6.8＝223.7(2)自由度的計算(3)列方差分析表變異來源SSdfs2F處理間處理內(nèi)6.8233.72213.410.70.318總變異230.523由表中結(jié)果可知，F(xiàn)＜1，表明三種處理的每株粒重?zé)o顯著差異。

由于F檢驗不顯著，不需要再作多重比較。如果F檢驗顯著，則需要進(jìn)一步計算n0，并求得（用于LSR檢驗）或（用于LSD檢驗），即xSx1x2-S

需要指出的是，不等觀測次數(shù)的試驗要盡量避免，因為這樣的試驗數(shù)據(jù)不僅計算麻煩，而且也降低了分析的靈敏度。在實際工作中經(jīng)常會遇到兩種因素共同影響試驗結(jié)果的情況每一觀測值都是某一特定溫度與光照條件共同作用的結(jié)果。溫度光照B1B2…BcA1A1B1A1B2…A1BcA2A2B1A2B2…A2Bc……………ArArB1ArB2…ArBc第三節(jié)無重復(fù)觀測值的二因素方差分析

定義：是指對試驗指標(biāo)同時受到兩個試驗因素作用的試驗資料的方差分析。二因素都是固定因素二因素均為隨機(jī)因素固定模型隨機(jī)模型混合模型一個因素是固定因素，一個因素是隨機(jī)因素二因素方差分析

三種模型在計算上類似，但在對待檢驗及結(jié)果解釋時有所不同。主效應(yīng)和互作主效應(yīng)（maineffect）：各試驗因素的相對獨立作用互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同。因素間的交互作用顯著與否關(guān)系到主效應(yīng)的利用價值二因素間是否存在交互作用有專門的統(tǒng)計判斷方法，有時也可根據(jù)專業(yè)知識判斷。如果交互作用顯著，則各因素的效應(yīng)就不能累加，最優(yōu)處理組合的選定應(yīng)根據(jù)各處理組合的直接表現(xiàn)選定。有時交互作用相當(dāng)大，甚至可以忽略主效應(yīng)。如果交互作用不顯著，則各因素的效應(yīng)可以累加，各因素的最優(yōu)水平組合起來，即為最優(yōu)的處理組合。依據(jù)經(jīng)驗或?qū)I(yè)知識，判斷二因素?zé)o交互作用時，每個處理可只設(shè)一個觀測值，即假定A因素有a個水平，B因素有b個水平，每個處理組合只有一個觀測值。無重復(fù)觀測值的二因素方差分析因素A因素B總和Ti.平均數(shù)B1B2…BbA1x11x12…x1bT1.A2x21x22…x2bT2.…………………Aaxa1xa2…xabTa.總和T.jT.1T.2…T.bT平均數(shù)…無重復(fù)觀測值的二因素分組資料模式二因素方差分析的線性模型因素間不存在交互作用，所以二因素方差分析觀測值的線性模型是xij

=μ+αi

+βj

+εijαi

和βj是A因素和B因素的效應(yīng)，可以是固定的，也可以是隨機(jī)的，且，εij是隨機(jī)誤差，彼此獨立且服從N(0，σ2)。i=1,2,…,a;j=1,2,…,b（1）平方和的分解為：（2）與平方和相應(yīng)的自由度的分解為（4）F值的計算：（3）各項的方差分別為

將一種生長激素配成M1，M2，M3，M4，M5五種濃度，并用H1，H2，H3三種時間浸漬某大豆品種的種子，出苗45天后的各處理每以植株的平均干物重（g）（下表）。試作方差分析與多重比較。濃度（A）時間（B）TiH1H2H3M11314144113.67M21212133712.33M333393.00M410910299.67M5254113.67T.j4043441278.08.68.88.47激素處理對大豆干物重的影響激素濃度和時間均為固定因素，適應(yīng)于固定模型。（1）平均和的計算：（2）自由度的計算（3）列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗變異來源dfSSs2FF0.05F0.01濃度間4289.0672.27116.56**3.847.01時間間誤差281.734.940.870.621.404.468.65總變異14295.73

F檢驗結(jié)果表明，濃度間的F值大于F0.01，時間間的F值未達(dá)到顯著水平，表明不同激素濃度對大豆干物重有極顯著差異。（4）進(jìn)行多重比較（用SSR檢驗）：由于只有濃度間的效應(yīng)達(dá)到了極顯著差異，時間間的效應(yīng)未達(dá)到顯著水平，只需對5種浸漬濃度進(jìn)行多重比較，可計算出濃度間的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤均為b=3是每一濃度的觀測值數(shù)目，如果要比較時間間的效應(yīng)，由于每一時間有a=5個觀測值，其平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤應(yīng)為M2345SSR0.053.263.403.483.52SSR0.014.754.945.065.14LSR0.051.481.551.581.60LSR0.012.162.252.302.34不同濃度大豆干物重多重比較SSR和LSR值查SSR值表，當(dāng)dfe=8，M=2，3，4，5時的SSR值及由此計算的LSR值列于下表多重比較結(jié)果表明：5種生長激素濃度對大豆干物重的影響有著極顯著的差異，除M1與M2，M5與M3之外差異不顯著外，其它濃度之間的大豆干物重均達(dá)到極顯著差異。5種激素濃度中，以M1和M2的處理效果較好。濃度平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01M1M2M3M4M513.6712.339.673.673.00aabccAABCC無重復(fù)觀測值的二因素方差分析，所估計的誤差實際上是這兩個因素的相互作用，這是在兩個因素不存在互作，或互作很小的情況下進(jìn)行估計的。但是，如果存在兩個因素的互作，方差分析中就不能用互作來估計誤差，必須在有重復(fù)觀測值的情況下對試驗誤差進(jìn)行估計。第四節(jié)有重復(fù)觀測值的二因素方差分析具有重復(fù)觀測值的二因素方差分析具有重復(fù)觀測值的二因素試驗的典型設(shè)計是：假定A因素有a水平，B因素有b水平，則每一次重復(fù)都包括ab次實驗，設(shè)試驗重復(fù)n次，資料模式在P112。二因素具有重復(fù)觀測值的方差分析用下面線性模型來描述：xijk

=μ+αi+βj+(αβ)ij+εijkA因素第i水平，B因素第j水平和第k次重復(fù)的觀測值總平均值A(chǔ)因素第i水平的效應(yīng)B因素第j水平的效應(yīng)αi和βj的交互作用隨機(jī)誤差模型中εijk彼此獨立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（0,σ2）因試驗共有n次重復(fù)，試驗的總次數(shù)為abn次。方差分析步驟和前面介紹的相類似，唯一不同的是F檢驗的方法。（1）平方和的分解為：A處理的樣本容量B處理的樣本容量A處理、B處理和A×B互作的平方和試驗重復(fù)數(shù)（3）各項的方差分別為（2）自由度的分解為（4）F檢驗：（ｂ）隨機(jī)模型：對于隨機(jī)模型，αi、βj、(αβ)ij和εijk是相互獨立的隨機(jī)變量，都遵從正態(tài)分布。在F檢驗時，先檢驗A×B是否顯著：（a）固定模型：在固定模型中，αi，βj及(αβ)ij均為固定效應(yīng)。在F檢驗時，A因素、B因素和A×B互作項均以Se2作為分母。檢驗A、B時，有：（ｃ）混合模型（以A為固定因素，Ｂ為隨機(jī)因素為例）：在混合模型中，A和B的效應(yīng)為非可加性，αi為固定效應(yīng)，βj及(αβ)ij為隨機(jī)效應(yīng)。對A作檢驗時同隨機(jī)模型，對B和A×B作檢驗時同固定模型，即：在實際應(yīng)用中，固定模型應(yīng)用最多，隨機(jī)模型和混合模型相對較少。

為了研究某種昆蟲滯育期長短與環(huán)境的關(guān)系，在給定的溫度和光照條件下在實驗室培養(yǎng)，每一處理記錄4只昆蟲的滯育天數(shù)，結(jié)果列于表中，是對該材料進(jìn)行方差分析。光照（A）溫度（B）250C300C350C5h·d-1143138120107101100808389931017610h·d-1961037891796183598076616715h·d-1798396986071786467587183不同溫度及光照條件下某種昆蟲滯育天數(shù)

由于溫度和光照條件都是人為控制的，為固定因素，可依固定因素分析。將表中數(shù)字均減去80，整理得下表光照（Ａ）標(biāo)本號溫度（B）250C300C350C5h·d-112346358402721200391321－4271188443910h·d-112341623－211－1－193－210－4－19－13－2648－38－3615h·d-11234－131618－20－9－2－16－13－22－93－5236－47－41272－41－38193（1）平方和的分解為：（2）自由度的分解為結(jié)果列入方差分析表變異來源dfSSs2FF0.05F0.01光照間25367.062683.5321.94**3.355.49溫度間25391.062695.5322.03**3.355.49光照×溫度誤差427464.943303.25116.24122.340.952.734.11總變異35295.73

F檢驗結(jié)果表明，光照間和溫度間的F值大于F0.01，它們的差異極顯著，即昆蟲滯育期長短主要決定于光照和溫度，而與兩者之間的互作關(guān)系不大。某昆蟲滯育天數(shù)方差分析表要了解各種光照時間及溫度對滯育期的影響，需進(jìn)行不同光照間及不同溫度間的多重比較，其方法可參照前面例子進(jìn)行，但平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計算為：光照（A）間平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤，溫度（B）間平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤A處理的樣本容量B處理的樣本容量在啤酒生產(chǎn)中，為了研究烘烤方式（A）與大麥水分（B）對糖化時間的影響，選了兩種烘烤方式，4種水分共8種處理，每一處理重復(fù)三次，結(jié)果如下表。烘烤方式(A)水分(B)B1B2B3B4A112.09.516.018.013.010.015.519.014.512.514.017.0A25.013.017.515.06.514.018.516.05.515.016.017.5大麥水分是不均勻的，又不易控制，所以因素B是隨機(jī)的，它的效應(yīng)也是隨機(jī)的，因此本題是一個混合模型的方差分析。將上表中各觀測值都減去10，計算后得烘烤方式（A）標(biāo)本號水分（B）B1B2B3B4A112.0-5.06.08.051.023.00.05.59.034.52.54.07.09.52.015.524.0A21-5.03.07.55.039.52-3.54.08.56.03-4.55.06.07.5-13.012.022.018.5-3.51437.542.590.5（1）平方和的分解為：（2）自由度的分解為結(jié)果列入方差分析表變異來源d