2023屆上海市高中名校高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第1頁
2023屆上海市高中名校高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第2頁
2023屆上海市高中名校高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第3頁
2023屆上海市高中名校高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析_第4頁
2023屆上海市高中名校高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第5頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則的值為()A. B. C. D.3.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A. B.C. D.4.已知復(fù)數(shù)z,則復(fù)數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i5.已知函數(shù),若,則的值等于()A. B. C. D.6.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.7.定義在R上的函數(shù),,若在區(qū)間上為增函數(shù),且存在,使得.則下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.8.已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.9.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時(shí),的值為()A. B. C. D.10.已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn),則線段的最小值為()A. B. C. D.611.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點(diǎn),則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線12.已知是邊長為的正三角形,若,則A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值為,則實(shí)數(shù)的值是_______.14.某中學(xué)舉行了一次消防知識競賽,將參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分為5組,繪制如圖所示的頻率分布直方圖,記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組,已知第二組的頻數(shù)是80,則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是__________.15.函數(shù)的定義域是.16.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且是與的等差中項(xiàng).(1)證明:為等差數(shù)列,并求;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求滿足的最小正整數(shù)的值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)分別交于兩點(diǎn)(與原點(diǎn)不重合),求的最小值.19.(12分)如圖,內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,平面ABC,,.(1)求證:平面ACD;(2)設(shè),表示三棱錐B-ACE的體積,求函數(shù)的解析式及最大值.20.(12分)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.21.(12分)已知函數(shù),函數(shù),其中,是的一個(gè)極值點(diǎn),且.(1)討論的單調(diào)性(2)求實(shí)數(shù)和a的值(3)證明22.(10分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得,即可得到,代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,解得,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用,涉及三角函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故選A4、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得,【詳解】∵其中為奇函數(shù),也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選:B【點(diǎn)睛】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果,小記,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)有:①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù);②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù);③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù);④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù);⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù);⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù);⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)6、C【解析】

把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡,再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】解:由,得,∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性,從而根據(jù)單調(diào)性對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直線對稱;在,上單調(diào)遞增,且在時(shí)使得;又,,所以選項(xiàng)成立;,比離對稱軸遠(yuǎn),可得,選項(xiàng)成立;,,可知比離對稱軸遠(yuǎn),選項(xiàng)成立;,符號不定,,無法比較大小,不一定成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點(diǎn)個(gè)數(shù),運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個(gè),2個(gè)解,故方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)故選:D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用,分類思想的運(yùn)用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.9、B【解析】

由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.10、C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線平行性質(zhì),將線段的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線距離.【詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn),可知拋物線存在某條切線與直線平行,則,設(shè)拋物線的切點(diǎn)為,則由可得,,所以切點(diǎn)為,則切點(diǎn)到直線的距離為線段的最小值,則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.11、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因?yàn)?,所以平面,故A正確.因?yàn)?,所以,所以平面故B正確.因?yàn)椋云矫?,故D正確.因?yàn)榕c相交,所以與平面相交,故C錯誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.12、A【解析】

由可得,因?yàn)槭沁呴L為的正三角形,所以,故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化,用表示,利用基本不等式可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】,解得=1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用,綜合了基本不等式,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、30【解析】

根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計(jì)算樣本容量,再計(jì)算成績在80~100分的頻率,繼而得解.【詳解】根據(jù)直方圖知第二組的頻率是,則樣本容量是,又成績在80~100分的頻率是,則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是.故答案為:30【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)據(jù)處理,數(shù)形運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】解:因?yàn)?,故定義域?yàn)?6、【解析】

先求出導(dǎo)數(shù),再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號為正時(shí)對應(yīng)的的集合,從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,令,則,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,注意先考慮函數(shù)的定義域,再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號,本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析,(2)最小正整數(shù)的值為35.【解析】

(1)由等差中項(xiàng)可知,當(dāng)時(shí),得,整理后可得,從而證明為等差數(shù)列,繼而可求.(2),則可求出,令,即可求出的取值范圍,進(jìn)而求出最小值.【詳解】解析:(1)由題意可得,當(dāng)時(shí),,∴,,當(dāng)時(shí),,整理可得,∴是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,∴,.(2)由(1)可得,∴,解得,∴最小正整數(shù)的值為35.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng),考查了等差數(shù)列的定義,考查了與的關(guān)系,考查了裂項(xiàng)相消求和.當(dāng)已知有與的遞推關(guān)系時(shí),常代入進(jìn)行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時(shí),一般借助數(shù)列,即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù).18、(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)2.【解析】

(Ⅰ)由定義可直接寫出直線的極坐標(biāo)方程,對曲線同乘可得:,轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為;(Ⅱ)分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程,由得,由得,則,結(jié)合三角函數(shù)即可求解;【詳解】(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為由曲線的極坐標(biāo)方程得,所以的直角坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.所以.所以當(dāng)時(shí),取最小值2.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,極坐標(biāo)中的幾何意義,屬于中檔題19、(1)見解析(2),最大值.【解析】

(1)先證明,,故平面ADC.由,即得證;(2)可證明平面ABC,結(jié)合條件表示出,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)證明:∵四邊形DCBE為平行四邊形,∴,.∵平面ABC,平面ABC,∴.∵AB是圓O的直徑,∴,且,平面ADC,∴平面ADC.∵,∴平面ADC.(2)解∵平面ABC,,∴平面ABC.在中,,.在中,∵,∴,∴,∴.∵,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,∴當(dāng)時(shí),體積有最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明和三棱錐的體積,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.20、(1).(2).【解析】

(1)由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),求出最高氣溫位于區(qū)間[20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù),由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.(2)當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí),需求量為500,求出Y=900元;當(dāng)溫度在[20,25)℃時(shí),需求量為300,求出Y=300元;當(dāng)溫度低于20℃時(shí),需求量為200,求出Y=﹣100元,從而當(dāng)溫度大于等于20時(shí),Y>0,由此能估計(jì)估計(jì)Y大于零的概率.【詳解】解:(1)由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得到最高氣溫位于區(qū)間[20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36=54,根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶,如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶,如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶,∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p.(2)當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí),需求量為500,Y=450×2=900元,當(dāng)溫度在[20,25)℃時(shí),需求量為300,Y=300×2﹣(450﹣300)×2=300元,當(dāng)溫度低于20℃時(shí),需求量為200,Y=400﹣(450﹣200)×2=﹣100元,當(dāng)溫度大于等于20時(shí),Y>0,由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有:90﹣(2+16)=72,∴估計(jì)Y大于零的概率P.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查利潤的所有可能取值的求法,考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.21、(1)在區(qū)間單調(diào)遞增;(2);(3)證明見解析.【解析】

(1)求出,在定義域內(nèi),再次求導(dǎo),可得在區(qū)間上恒成立,從而可得結(jié)論;(2)由,可得,由可得,聯(lián)立解方程組可得結(jié)果;(3)由(1)知在區(qū)間單調(diào)遞增,可證明,取,可得,而,利用裂項(xiàng)相消法,結(jié)合放縮法可得結(jié)果.【詳解】(1)由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?,且,令,則有,由,可得,可知當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:1-0+極小值,即,可得在區(qū)間單調(diào)遞增;(2)由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?,且,由已知得,即,①由可得,,②?lián)立①②,消去a,可得,③令,則,由(1)知,,故,在區(qū)間單調(diào)遞增,注意到,所以方程③有唯一解,代入①,可得,;(3)證明:由(1)知在區(qū)間單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),,,可得在區(qū)間單調(diào)遞增,因此,當(dāng)時(shí),,即,亦即,這時(shí),故可得,取,可得,而,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明,屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個(gè),一是比較簡單的不等式證明,不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值即可;二是較為綜合的不等式證明,要

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