理工類專業(yè)課復習資料-電磁場與電磁波答案(第四版)謝處方

Aexey2ez3yzCeyzCe5e2xzAB；(5)A在B上的分量；(6)AC；eyezeyez(2)AB(exey2ez3)(ey4ez)exey6ez453(3)AB(exey2ez3)(ey4ez)－11AB(4)(4)由cosAB(5)A在B上的分量ABexeyez(6)AC123502exey(7)由于BC0450exeyAB124所以A(BC)(exey2(8)(AB)C105ABABAB11B17)135.5ex4ey13ez10eze2eze1zeyez14ex2ey40ez502exe1e ye2eze3xyze55e44xyz85201111A(2)求三角形的面積。R12R23(ex4ez)(ex2eyez8)0(2)三角形的面積SR12R23R12R23176917.132221.3求P(3,1,4)點到P(2,2,3)點的距離矢量R及R的方向。z則RPPrPrPex5ey3ezxcos1(exRPP)cos1(5)32.31RPP35ycos1(eyRPP)cos1(3)120.47RPP35zcos1(ezRPP)cos1(1)99.73RPP351.4給定兩矢量Aex2ey3ez4和Bex4ey5ez6，求它們之間的夾角和A在解A與B之間的夾角為ABcos1(AB)cos1(31)131AB2977A在B上的分量為 BBAB1.5給定兩矢量Aex2ey3ez4和Bex6ey4ez，求AB在Cexeyezexeyez解AB234ex13ey22ez10641所以AB在C上的分量為1.6證明：如果ABAC和ACBACC14.433BC；rr故解由ABAC，則有A(AB)A(AC)，即(AB)A(AA)B(AC)A(AA)CABAC，于是得到(AA)B(AA)CBC定該未知矢量。設A為一已知矢量，pAX而PAX，p和P已知，試求X。解由PAX，有APA(AX)(AX)A(AA)XpA(AA)X故得XpAAPAA1.8在圓柱坐標中，一點的位置由(4,2,3)定出，求該點在：(1)直角坐標中的坐標；3(2)球坐標中的坐標。故該點的直角坐標為(2,23,3)。(2)在球坐標系中r42325、tan1(43)53.1、23120故該點的球坐標為(5,53.1,120)球坐標表示的場Eer2，(1)求在直角坐標中點(2)求在直角坐標中點解(1)在直角坐標中點(3,4,(3,4,(3,4,與矢量Bex2r224(3)2r2242512r22ryze2yz(5)250，故(2)在直角坐標中點EexEEcosrxrEBcosEBcos(E252102B)cos1(B3219(102))153.632RRRR解由coscos1cos2sin1sin2cos(12解由R1exr1sin1cos1eyr1sin1sin1ezr1cos1R2exr2sin2cos2eyr2sin2sin2ezr2cos2得到cossin1cos1sin2cos2sinsin1sin2(cos1cos21sinsin1sin2cos(12)cos11sin1sin1sin2)cos22sin2cos1cos2cos1cos2Sersin)dS的值。S2解(er3sin)dS(er3sin)erdSd3sin52sind752SS0rz0和z4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量Aerr2ez2z驗證散度定解在圓柱坐標系中A1rr(2z)3r2z425dzd(3r2)rdr1200又AdSS0S4225000ez2z)(erdSr5ddz200AdSedSrdrdS1.13求(1)矢量Aexx2eyx2y2ez24x2y2z3的散度；(2)求A對中心在原點的A散度定理。xyz(2)A對中心在原點的一個單位立方體的積分為解(1)A(x2)(x2y2)(24x2y2z3)2xxyz(2)A對中心在原點的一個單位立方體的積分為121212Ad(2x2x2y72x2y2z2)dxdydz112121224(3)A對此立方體表面的積分AdSS12121212(1)2dydz(1)2dydz1212212122121212122x2(1)2dxdz2x2(1)2dxdz121121212121212212122121224x2y2(1)3dxdy2121221故有Ad1AdS24S1.14計算矢量r對一個球心在原點、半徑為a的球表面的積分，并求r對球體積的積2解rdSrerdSdaa2sind4a3SS00rrrr2ard3r2sindrdd4a30001.15求矢量Aexxeyx2xy平面上的一個邊長為2的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求A對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。2222解Adlxdxxdx22dy0dy8C0000exeyezxyzxx2y2z2xyzxx2y2z22所以AdS(ex2yzez2x)ezdxdy8S00故有Adl8AdSCS1.16求矢量Aexxeyxy2沿圓周x2y2a2的線積分，再計算A對此圓面積的積解Adlxdxxy2dy2(a2cossina4cos2sin2)da4CC04SSxyS004AdSez(AyAx)ezdSy2dSa2r2SSxyS004A為一常矢量。解(1)Rxyz3xyzrrexeyez(3)設AR0xyzxyyeyAyezAz，則ARAxxAyyAzz(AR)exeze1.18一徑向矢量場F解在圓柱坐標系中，由xy(AxxAyyAzz)ey(AxxAyyAzxyxeyAyezAzAzrdrF1d[rf(rrdrCrF12d[CrF12d[r2f(r)]0rdrC2C2Edl：(1)沿拋物線xy2；(2)沿連接該兩點的直線。這個E是保守場嗎？CExdxEydyydxxdyCC22yd(2y2)2y2dy6y2dy1411(2)連接點故Cx2x8y1y2dlExdxEydyC即21x6y402(6y4)dy(6y4)dy121.20求標量函數xyz的梯度及在一個指定方向的方向導數，此方向由單位矢量2exeyexeyez定出；求(2,3,1)點的方向導數值。505050xyz解ex(x2yz)ey(x2yz)ez(xyzex2xyzeyx2zezx2y345z故沿方向elex50ey50e345505050361660112yl505050505050361660112yl505050501.21試采用與推導直角坐標中rz點(2,3,1)處沿el的方向導數值為zoxA.21圖AxxAyyAzz下的公式A1rrArAz。z解r如題1.21圖所示。矢量場zzArrr(rr)drdzzArrrdrdA沿er方向穿出該六面體的表面zz[(rr)Ar(rrrzr,,z)rAr(r,,z)]zzrrzz(rAr)rrrrrdzAdrdzrzrz[A(r,rrzzrzzrrrdrArzrzAAzzrdrdzrzAzrrzArzzAzzA體的表面的通量為rArAzz]Az1.22方程由于ux2a2y2ArAzAlimrz0ArAzAlimrz0r2z給出一橢球族。求橢球表面上任意點的單位法向矢量。2c22xx2xxey2ez2acayyu為a2(x2)2accnuuxa(ex2xay2y2ccaaccAersincosBerz2sineecoscosesinin2(1)哪些矢量可以由一個標量函數的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量函數的旋度表(2)求出這些矢量的源分布。解(1)在球坐標系中Ar12r(r2Ar)rsi(sinA)rrrsinrsin2cos2sincoscos12(r2sinrrrsinrsin2cos2sincoscosrrsinrrsinrrsinerrersine1Ar2sinrArrArsinA10r2sinrsincosrcoscosrsinsinA數的梯度表示，也可以由一個矢量函數的旋度表示；1B=rr1rrr22zsinzsinr22zrzcosr2rsin2rsinzerreez1BrrzB表示；e re1z2sin2rzcos2eze0zC=CxCyxyxCzzyzexeyezxyzxyz3y22xx22z故矢量C可以由一個矢量函數的旋度表示。(2)這些矢量的源分布為AA；1.24利用直角坐標，證明(fA)fAAf解在直角坐標中fAAfxyz(fAAfxyz(fAxAxf)(fxxxyxy1.25證明(AH)H解根據算子的微分運算性質，有xfxAyyzAA(AH)A(AH)H(AH)AA表示只對矢量H由a(bc)c(ab)，可得fyf)(fyf)(fAzyzzfz)Azzfz(fA)HAAHAH(AH)A(HH)A(H)(AH)HAAH1.26利用直角坐標，證明(fG)fGfG解在直角坐標中fffGGGy[ex(Gzfy[ex(GzfyzzGyf)zzGyf)ey(GxzxfGzxfGzzxf)xfyfzfxyfGxyfGx)zxfGy)x(Gy(Gz(Gxfzfxfyfffz(fGy)]z(fG(fGzxyez(Gxyez(GyfGxf)]xyGyGy)]Gz)]GxGx)]ez[](fG)(A)0，試證明之。解(1)對于任意閉合曲線C為邊界的任意曲面S，由斯托克斯定理有(u)dSudludldu0SCCC由于曲面S是任意的，故有(u)0(2)對于任意閉合曲面S為邊界的體積，由散度定理有(A)d(A)dS(A)dS(A)dSSS1S2(A)dSAdl，SCA)dSAdl1C1AdlC2Adl2C2所以得到(A)dAdlAdlAdlAdl0(A)0C 2CS 2Sn 2n 11S1C1.27圖2.1一個平行板真空二極管內的電荷體密度為40U0d43x23，式中陰極板位于9d2和xd區(qū)域內的總電荷量Q。Qdd093ddUdxSdxUSd093ddd2.2一個體密度為2.32107Cm3的質子束，通過1000V的電壓加速后形成等速的解質子的質量m1.71027kg、電量q1.61019C。由1mv2qU2得v2mqU1.37106ms故Jv0.318Am2IJ(d2)2106A2.3一個半徑為a的球體內均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以勻角速度繞一個直徑解以球心為坐標原點，轉軸(一直徑)為z軸。設球內任一點P的位置矢量為r，且r與z軸的夾角為，則P點的線速度為vrersinQ4a33Q4a3故JQ4a32.4一個半徑為a的導體球帶總電荷量為解以球心為坐標原點，轉軸(一直徑)為與z軸的夾角為，則P點的線速度為vrQ4a2故Q4a2故4arsine3Q34aQ，同樣以勻角速度繞一個直徑旋轉，求球表z軸。設球面上任一點P的位置矢量為r，且rQ4a24a4aqrrddlqrrddl2.5兩點電荷q18C位于z軸上z4處，q24C位于y軸上y4處，求(4,0,0)處12q1rr12ex4ez4rr0(42)3240r 321ex240r 32322EE1E202.6一個半圓環(huán)上均勻分布線電荷l，求垂直于圓平面的軸線上z解半圓環(huán)上的電荷元ldllad在軸線上za處的電場強度為40(2a)3dE40(2a)3lez(excoslez(excosa820aazP在半圓環(huán)上對上式積分，得到軸線上za處的電場強度為E(0,0,a)dE[ez(excoseysin)]d解建立題2.7圖所示的坐標系。三角形中心到各邊的距離為tan30Ltan30L26則E1eyl1(cosE1eyl1(cos30cos150)ey3l1E2(eE2(excos30eysin30)3l2(ex3ey)3l120L80LE3(excos30eysin30)3l3(ex3ey)3l1oL80Lrarrlxlx題2.6圖yE13 23 2l 3l1lyxey3ley3l1(ex3ey)3l1(ex3ey)3l1y①②③處20002L80002.8－點電荷q位于(a,0,0)處，另－點電荷2q位于(a,0,0)e3l1e04L012qex(xa)40[(xa)240[(xa)2eyyezzy2z2]32eyyezzy2z2]32ex(xa)eyyezz2[ex(xa)eyyezz]xayzxay2z2]32(xa)[(xa)2y2z2]322(xa)[(xa)2y2z2]32y[(xa)2y2z2]322y[(xa)2y2z2]32z[(xa)2y2z2]322z[(xa)2y2z2]32當y0且z0時，由式①，有(xa)(xa)32(xa)(xa)3解得x(322)a但x3a22a不合題意，故僅在(3a22a,0,0)處電場強度E0。2．9一個很薄的無限大導電帶電面，電荷面密度為。證明：垂直于平面的z軸上zz0解半徑為r、電荷線密度為ldr的帶電細圓環(huán)在z軸上zz0處的電場強度為z20(r2z)z20(r2z)32z故整個導電帶電面在z軸上zz0處的電場強度為EezrEezrzez20(r2z)120ez20dIdQbaoEez020(r2z)32ez203z0Eez020(r2z)32ez201e ze40題2.10圖ee2.10一個半徑為a的導體球帶電荷量為Q，當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應強度B。解球面上的電荷面密度為Qa2e量ωrezeraaasinesin4arera將球面劃分為無數個寬度為dlad的細圓環(huán)，則球面上任一個寬度為dlad細圓環(huán)4的電流為dIJSdlQsind4細圓環(huán)的半徑為basin，圓環(huán)平面到球心的距離dacos，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁流在球心處產生的磁場為dBe0b2dIzdBe0b2dI為ee8z8B22sinsindacos3acos38a332dezee00 z002.11兩個半徑為b、同軸的相同線圈，各有N匝，相互隔開距離為3 3 8a0Q6ad，如題2.11dd(1)求這兩個線圈中心點處的磁感應強度(2)證明：在中點處dBxdx等于零；(3)求出b與d之間的關系，使中點處2dBx2解(1)由細圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應強度得到兩個線圈中心點處的磁感應強度為Bexb22Bez2(a2z2)320d24)32de(2)兩線圈的電流在其軸線上eB x02(b22NIb23232dx2(b2x2)52xd2處，有x(0xd)處的磁感應強度為20NIb2[b2(dx)2]3230NIb30NIbd22[b2d24]522202[b2d24]52IdbbxI.11圖令即令即dd2Bx15NIb15NIbx02(b2x2)720302(b2x)22[b2(dx)2]72222252x)230NIb2dBx2xd202225d424bd4bd412d24]520db，寬為2a，中心線與z2r2raIRr1a1x題2.12圖aa0I4ayy4ar10I4ar1、r1和r2如題2.12圖所示。細條帶的電流dI的細條細條帶的電流dI的細條帶的電流dI2a在點P(x,y)處的磁場為0dI0Idx0Idx2R4aR4a[(xx)2y2]12則dBxdBsindBydBcos4adBydBcos4a[(xx)2y2]4ayaaxxaax4axxaax4aayyy0(20(24a0Ia4aa0Ilnr20Ia0Ilnr20I(xx)dxa[(xx)2y2]a)2a)2y2y2ln[(xx)2y2]4ar18aa8a(xa4Fr3p1p24(sin1sin2cos2cos1cos解電偶極子p1在矢徑為r的點上產生的電場為z 13(p1r)r 13(p1r)r3]r40r40r40r3 11p 2p2ryx題2.13圖2rprprpp2sin1sin2cos2因此于是得到W(sin1sin2cos2cos1cos2)(sin1sin2cos2cos1cos2)I2r解無限長直線電流I1產生的磁場為B1eI2r1直線電流I2每單位長度受到的安培力為Fm120I2ezB1dze12II2dII2dd.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為解無限長直線電流I1產生的磁場為2r2xxdacos所以Fm(ezsinexcos)d20(dacos)2aa20(dacos)2aa2d2dzo)a2axd.15圖r(p)EpE。解如題2.16圖所示，設pqdl(dl1)，則電偶極子p繞坐標原點所受到的力矩為2222222222222222dlEr2222故得到Tr(qdl)E(r)qdlE(r)oxr(p)EpEx22zqrrqy題2.16圖q和q，試計算球赤道平面上電通密度的通量(如題a3.1圖所示)。解由點電荷q和q共同產生的電通密度為Dq[R3R3]4RR4[r(za)][r(za)]4[r(za)][r(za)]DdSDezz0dSSSq題3.1圖q4a0(ra0(r23232(r(ra23aa2qa212(1a2qa212(11)q0.293q3.21911年盧瑟福在實驗中使用的是半徑為ra的球體原子模型，其球體內均勻分布有總電到球體內的電通量密度表達式為D0e到球體內的電通量密度表達式為D0er4r2r，試證明之。4rZe3Ze44rZe3Ze4ra334ra3D2er4r3位于球心的正電荷Ze球體內產生的電通量密度為解bZerbZer4ra4ra4r0cZe14r0C故原子內總的電通量密度為Ze14r0C3面半徑分別為a和b，軸線相距為c(cba)，如題3.3圖(a)所示。求空間各部分的電場。解由于兩圓柱面間的電荷不是軸對稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為a的有體密度為0的均勻電荷分布，而在半徑為a的整個圓柱體內則具有體密度為0的均勻電荷b空間任一點的電場是這兩種電荷所產生的電場的疊加。在在rb區(qū)域中，由高斯定律EdS，可求得大、小圓柱中的正、負電荷在點P產生S0ee1b20er2b2020r2E1er0a20a02r020r2b0ac＝b0ac＋00c20rr20rrrbra中的正、負電荷在點P產生的電場分別為22 220r22 220r202a2r)r點P處總的電場為a2r)r20在ra的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、負電荷在點3E3 re re20r203E3ee r2r020r22ar222P分別為20點P處總的電場為EE3E30(rr)0c2020r3Ar2(ra)rDra54(ra)其中A為常數，試求電荷密度(r)。rrdr故在ra區(qū)域rdrrdrr3.5一個半徑為a薄導體球殼內表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內充滿總電荷量為Q為的體Q球內部的電場為Eer(ra)4，設球內介質為真空。計aa0rdrrdrrdraardraa(2)球體內的總電量Q為Qd上感應電荷364364rdr4ara040a0表面上的總電荷為2Q，故球殼外表面上的電荷面密度為3.6兩個無限長的同軸圓柱半徑分別為ra和rb(b2Q0204a21和2的面電荷。(1)計算各處的電位移D0；(2)欲使rbS解(1)由高斯定理D0dSq，當ra時，有S當arb時，有2rD022a1，則D02er(2)令D032rD03erraerr22a12b12區(qū)域內D00，則1和2應具a1r01b2r3.7計算在電場強度Eexyeyx的電場中把帶電量為2C的點電荷從點P1(2,1,1)Pxy的直線。解(1)WFdlqEdlqExdxEydyCCC22qydxxdyqyd(2y2)2y2dyq6y2dy14q28106(J)C11(2)連接點l故Wlz0oCPx2x8y1y22xdyqyd(6y4)1即x6y402(6y4)dyq(12y4)dy14q28106(J)1其電荷線密度為l0。(1)計算線電荷平分面上任意的電場E，并用E核對。解(1)建立如題3.8圖所示坐標系。根據電位的積分表r02z2題3.8圖lllll0ln(zr240l0lnr2(L40r2(Ll020(2)根據對稱性，可得兩個對稱線電荷元dEerdEreer20l0dzz2)22)L222)L222)L2r2z2l0dz在點P的電場為coser故長為LEere2l0z)04e r4el0l2r2L(L2)202020erlnlerln20drL2r2r22(L2)2lnr0er0e20L2203.9已知無限長均勻線電荷2r2r2r2rl的電場E2e r2el，試用定義式ee4r4l0l0r02r2L(L2)2rPrr位函數。其中rP為電位參考點。rPrP解(r)Edlrrq于2(ll20rP選為無窮遠點。a,0,0)，另一點電荷l2rl2r02q位于(a,0,0)，求空間的零電位面。解兩個點電荷q和1q40(xa)2y21(xa)2y2z22z22a)22qa)2y2y2z2y]0e即4[(xa)2y2z2](xa)2y2(x5a)2y2z2(4a)2332z2由此可見，零電位面是一個以點(5a,0,0)為球心、33.11證明習題3.2的電位表達式為(r)3Ze140r2r2a2ra解位于球心的正電荷Ze在原子外產生的電通量密度為D13a2raerer24rD2er443r a3rr2r4r4r原子內電位為rar2Ze13rar2Ze13(23)dr40r40rr0r電場中有一半徑為a的圓柱體，已知柱內外的電位函數分別為r(r)A(ra2)cosrar(1)求圓柱內、外的電場強度；(2)這個圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。00[A(ra2)cos]e解r2)cos]rr2)cos]rrrra222)sinrrerA(1a2)cosa222)sinrr(2)該圓柱體為等位體，所以是由導體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為0nEra0erEra20Acos3.13驗證下列標量函數在它們各自的坐標系中滿足20 kln(3)rncos(n)(4)rcos(5)r2cos2解(1)在直角坐標系中222而而22222yx222zyx222故故22yyyy22h2sin(kx)sin(ly)ehzzh2sin(kx)sin(ly)ehzzz2(k20而故故而故 (2)在圓柱坐標系中rr)rrrr21r22r222z22zz22(3)r(3)rr1r2r22r222z22zz22 (4)在球坐標系中rr1rr11122rrrrz21(rrrrrzr{rrrn[cos(n)Asin(n)]}n2rn2[cos(n)Asin(n)]rn[cos(n)Asin(n)]020rrr1{r[rnrrrr0r21sin222r1sin222rrsin(rcos)]2cosrrrrcos2(r2(rsin2)r2sin22(rcos)0(r2cos)]r2sin2sin2222(r2cos)]202212)rr2)rrr)r222)rr10r)r22221r2sin2r故221(r21212(r2212022r4r3.14已知y0的空間中沒有電荷，下列幾個函數中哪些是可能的電位的解?(2)eycosx；(3)e2ycosxsinx(4)sinxsinysinz。22xyz解(1)2(eycoshx)2(eycoshx)2(eycoshx)2eycoshxyz所以函數eycoshx不是y0空間中的電位的解；222(2)x2(eycosx)y2(eycosx)z2(eycosx)eycosxeycosx0所以函數e所以函數eycosx是y22222(ex2(eycosxsinx)2(ezecosxsinxecosxsinx2ecosxsinx0eycosxsinxy0空間中的電位的解；x0znz3.15中心位于原點，邊長為L的電介質立方體的極化強度矢量為PP0(exxeyyezz)。明總的束縛電荷為零。P(xL)nPxL2exPxL2LP022P(xL)nPxL2exPxL2LP022同理P(yL)P(yL)P(zL)P(zL)LP022222dPdS3P0L6LP0dPdS3P0L6LP00S2S3.16一半徑為R0的介質球，介電常數為r0，其內均勻分布自由電荷，證明中心點的2424rr解r即r即由DdSS2r1()R022r30q3Dr1r3342042rD3420423322221r0r 10r3r030R30230r203.17一個半徑為03R的介質球，介電常數為320320060202302r30PerKr，其中K為一(3)計算球內、外的電場解(1)介質球內的束縛電荷體密度為在rR的球面上，束縛電荷面密度為p(2)由于D0EP，所以D即(10)DPRK100r(3)介質球內、外的電場強度分別為K100r(3)介質球內、外的電場強度分別為pP0DE42421P0er(K2eer4qeer0(0)r2(r為K2rdrrK2rdrrerPrR0KpPp00r2000R)RKRKRKR1EdlE1drE2drrrRRKdrRK2drr(0)rKdrRK2drln(rR)Kln(rR)(0)r0(0)rr0(0)r0(0rr0(0)r0(0)r解(1)由D0EP，得束縛電荷體密度為PPD0E由于DE，有D(E)EE0E所以EE可能不為零，故在不均勻電介質中可能存在束縛電荷體密(2)束縛電荷密度P的表達式為3.19兩種電介質的相對介電常數分別為P0E0介質1中的電場的E1ex2yey3xez(5z)那么對于介質2中的E2和D2，我們可得到什么結果？能否求出介質2中任意點的E2和D2？解設在介質2中D20r2E230E2zDD0E2z(x,y,0)EDz0處的表達式分別為D2(x,y,0)0(ex6yey9xez10)3.20電場中一半徑為12aa30a30aE02ra20rraE0ra20解在球表面上2(a,)1rrar2rra3020E0cos30200aE0cos202E0cosE0cos03030203E0cos3201(a,)2(a,)，01rrar2rrar2滿足球表面上的邊界條件。pra(E(0)2rra30(0)30(0)23.21平行板電容器的長、寬分別為a和b，極板間距離為d。電容器的一半厚度(0~d)2用介電常數為的電介質填充，如題3.21圖所示。(1)(