一個整數(shù)的約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和的計算方法

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一個整數(shù)的約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和的計算方法,兩數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之間的關(guān)系,分數(shù)的最小公倍數(shù).涉及一個整數(shù)的約數(shù),以及若干整數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的問題,其中質(zhì)因數(shù)分解發(fā)揮著重要作用．

1.數(shù)360的約數(shù)有多少個?這些約數(shù)的和是多少?

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360分解質(zhì)因數(shù):360=2×2×2×3×3×5=2×3×5；

360的約數(shù)可以且只能是2×3×5,(其中a,b,c均是整數(shù),且a為0～3,6為0～2,c為0～1)．

由于a、b、c的取值是相互獨立的,由計數(shù)問題的乘法原理知,約數(shù)的個數(shù)為(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．

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我們先只改動關(guān)于質(zhì)因數(shù)3的約數(shù),可以是l,3,3,它們的和為(1+3+3),所以所有360約數(shù)的和為(1+3+3)×2×5；

我們再來確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)2的約數(shù),可以是l,2,2,2,它們的和為(1+2+2+2)，所以所有360約數(shù)的和為(1+3+3)×(1+2+2+2)×5；

2

2

3

2

3

2

3

2

abc

yw

w

最終確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)5的約數(shù),可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和

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為(1+3+3)×(1+2+2+2)×(1+5)．

于是,我們計算出值:13×15×6=1170．所以,360所有約數(shù)的和為1170．

評注:我們在此題中分析了約數(shù)個數(shù)、約數(shù)和的求法.下面我們給出一般結(jié)論：

I.一個合數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在嚴格分解質(zhì)因數(shù)之后,將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后

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所得的乘積.如:1400嚴格分解質(zhì)因數(shù)后為2×5×7,所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個.(包括1和它自身)

Ⅱ.約數(shù)的和是在嚴格分解質(zhì)因數(shù)后,將M的每個質(zhì)因數(shù)最高次冪的所有約數(shù)的和相乘

3323

所得到的積．如：21000=2×3×5×7,所以21000所有約數(shù)的和為(1+2+2+2)×

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(1+3)×(1+5+5+5)×(1+7)=74880．

2.一個數(shù)是5個2,3個3,6個5,1個7的連乘積.這個數(shù)有大量約數(shù)是兩位數(shù),那么在這些兩位數(shù)的約數(shù)中,最大的是多少?

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設(shè)這個數(shù)為A,有A=2×3×5×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的約數(shù),而96=25×3為A的約數(shù),所以96為其最大的兩位數(shù)約數(shù)．

3.寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)．

一個合數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在嚴格分解質(zhì)因數(shù)之后,將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)

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(次數(shù))加1后所得的乘積.如:1400嚴格分解質(zhì)因數(shù)后為2×5×7,所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個.(包括1和它自身)

假使某個自然數(shù)有奇數(shù)個約數(shù),那么這個數(shù)的所有質(zhì)因子的個數(shù)均為偶數(shù)個.這樣它們加1后均是奇數(shù),所得的乘積才能是奇數(shù).而所有質(zhì)因數(shù)的個數(shù)均是偶數(shù)個的數(shù)為完全平方數(shù).即完全平方數(shù)(除0外)有奇數(shù)個約數(shù),反過來,有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)一定是完全平方數(shù)．由以上分析知,我們所求的為360～630之間有多少個完全平方數(shù)?

18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之間的完全平方數(shù)

2222222

為19,20,21,22,23,24,25．

即360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)為361,400,441,484,529,576,625．

4.今有語文課本42冊,數(shù)學(xué)課本112冊,自然課本70冊,平均分成若干堆,每堆中這3種課本的數(shù)量分別相等.那么最多可分多少堆?顯然堆數(shù)是42的約數(shù),是112的約數(shù),是70的約數(shù).即為42,112,70的公約數(shù),有(42,112,70)=14．

所以,最多可以分成14堆．

5.加工某種機器零件,要經(jīng)過三道工序,第一道工序每名工人每小時可完成6個零件,其次道工序每名工人每小時可完成10個零件,第三道工序每名工人每小時可完成15個零件.要使加工生產(chǎn)均衡,三道工序最少共需要多少名工人?為了使生產(chǎn)均衡,則每道工序每小時生產(chǎn)的零件個數(shù)應(yīng)相等,設(shè)第一、二、三道工序上分別有A、B、C個工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值為6,10,15的最小公倍數(shù),即[6,10,15]=30．

所以A=5,B=3,C=2,則三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．

6.有甲、乙、丙3人,甲每分鐘行走120米,乙每分鐘行走100米,丙每分鐘行走70米.假使3個人同時同向,從同地出發(fā),沿周長是300米的圓形跑道行走,那么多少分鐘之后,3人又可以相聚?

設(shè)在x分鐘后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他們3人之間的路程差均是跑道長度的整數(shù)倍．

即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍數(shù),那么300就是20x,50x,30x的公約數(shù)．

有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．

即在30分鐘后,3人又可以相聚．

7.3條圓形跑道,圓心都在操場中的旗桿處,甲、乙、內(nèi)3人分別在里圈、中圈、外圈沿同樣的方向跑步.開始時,3人都在旗桿的正東方向,里圈跑道長跑道長

11千米,中圈跑道長千米,外圈5431千米.甲每小時跑3千米,乙每小時跑4千米,丙每小時跑5千米.問他們同時出發(fā),82幾小時后,3人第一次同時回到出發(fā)點?甲跑完一圈需

11211?3?小時,乙跑一圈需?4?小時,丙跑一圈需523541633213?5?則他們同時回到出發(fā)點時都跑了整數(shù)圈,所以經(jīng)歷的時間為,,的倍數(shù),即840351640它們的公倍數(shù)．

而??2,1,3??6?6.?213?,,???351640??35,16,4?1所以,6小時后,3人第一次同時回到出發(fā)點.

評注:求一組分數(shù)的最小公倍數(shù),先將這些分數(shù)化為最簡分數(shù),將分子的最小公倍數(shù)作為新分數(shù)的分子,將分母的最大公約數(shù)作為新分數(shù)的分母,這樣得到的新分數(shù)即為所求的最小公倍數(shù)；

求一組分數(shù)的最大公約數(shù),先將這些分數(shù)化為最簡分數(shù),將分子的最大公約數(shù)作為新分數(shù)的分子,將分母的最小公倍數(shù)作為新分數(shù)的分母,這樣得到的新分數(shù)即為所求的最大公約數(shù).

8.甲數(shù)和乙數(shù)的最大公約數(shù)是6最小公倍數(shù)是90.假使甲數(shù)是18,那么乙數(shù)是多少？有兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩數(shù)的乘積.有它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積為6×90=540，則乙數(shù)為540÷18=30．

9.A,B兩數(shù)都僅含有質(zhì)因數(shù)3和5,它們的最大公約數(shù)是75.已知數(shù)A有12個約數(shù)，數(shù)B有10個約數(shù)，那么A,B兩數(shù)的和等于多少?

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方法一:由題意知A可以寫成3×5×a，B可以寫成3×5×6,其中a、b為整數(shù)且只含質(zhì)因子3、5.

即A:3×5,B=3+m×5,其中x、Y、m、n均為自然數(shù)(可以為0)由A有12個約數(shù),所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，

所以?1+x

2+y

1

2+n

?x?2?x?1?x?01+221+12+1

.對應(yīng)A為3×5=675,3×5=1125,或,?或??y?0?y?1?y?43×5=46875；

由B有10個約數(shù),所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以?1+0

2+2

1+02+4

?m?0.對應(yīng)B

?n?2為3×5=1875．

只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．那么A,B兩數(shù)的和為675+1875=2550．方法二:由題中條件知A、B中有一個數(shù)質(zhì)因數(shù)中出現(xiàn)了兩次5,多于一次3,那么,先假設(shè)它出現(xiàn)了N次3,則約數(shù)有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)個

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12與10其中只有12是3的倍數(shù),所以3(N+1)=12,易知N=3,這個數(shù)是A，即A=3×5=675．那么B的質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)了一次3,多于兩次5,則出現(xiàn)了M次5,則

4

有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×5=1875．

那么A,B兩數(shù)的和為675+1875=2550．

10.有兩個自然數(shù),它們的和等于297,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和等于693.這兩個自然數(shù)的差等于多少?

設(shè)這兩數(shù)為a,b,記a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它們的和為:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297???①它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為：

[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，

且(q1,q2)=1.????????????????????????②

綜合①、②知(a,b)是297,693的公約數(shù),而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．

第一種狀況:(a,b)=99,則(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,無滿足條件的ql,q2；

其次種狀況:(a,b)=33,則(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=2×5,則ql=5,q2=4時滿足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,則a-b=165-132=33；

第三種狀況:(a,b)=11,則(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即2=62=2×31,無滿足條件的q1,q2；

一一驗證第四種狀況，第五種狀況，第六種狀況沒有滿足條件的q1q2．所以,這個兩個自然數(shù)的差為33．

11.兩個不同自然數(shù)的和是60，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和也是60.問這樣的自然數(shù)共有多少組?

設(shè)這兩數(shù)為a,b,記a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．

它們的和為:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60????①它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為：

2

[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，

且(q1,q2)=1?????????????????????????②聯(lián)立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1．即說明一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù),不妨記a=kb(k為非零整數(shù))，

??a?b?kb?b?60有?,即?k?1?b?60確定，則k確定，則kb即a

a,b?a,b?b?a?b?kb?60??????確定

60的約數(shù)有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60這11個，b可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30這10個數(shù)，除了60，由于假使6=60，則(k+1)=1，而k為非零整數(shù)．

對應(yīng)的a、b有10組可能的值，即這樣的自然數(shù)有10組．

進一步，列出有(a,b)為(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．

評注:假使兩個自然數(shù)的和等于這兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和，那么這兩個數(shù)存在倍數(shù)關(guān)系．

12.3個連續(xù)的自然數(shù)的最小公倍數(shù)是9828,那么這3個自然數(shù)的和等于多少?

若三個連續(xù)的自然數(shù)中存在兩個偶數(shù),那么它們的最小公倍數(shù)為三個數(shù)乘積的一半；

若三個連續(xù)的自然數(shù)中只存在一個偶數(shù),那么它們的最小公倍數(shù)