第一章函數(shù)、極限與連續(xù)(答案)3848

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)(一)a,1．區(qū)間表示不等式(B)A．a(chǎn)xB．a(chǎn)xC．D．a(chǎn)xax32．若tt31，則t1(D)A．31B．62C．92D．93t63t32tttt3．設(shè)函數(shù)ln3152xarcsinx的定義域是(C)fxx1,1D．1532521,1,1,A．B．C．34．下列函數(shù)與相等的是(A)fxgxA．fxx2，gxB．，2x4fxxgxxfxC．x1x121D．fxxgxx，1x1x1gx，x15．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(A)sinx22xx2A．yB．C．sinx2D．yx2cosxxsinxyxexx2fx1，則的值域?yàn)?B)fxx2x26．若函數(shù)，A．0,2B．0,3C．0,2D．0,37．設(shè)函數(shù)fxex(x0為(B)12)，那么fxfxC．fxxxfx2fxxB．f1A．D．fx11212x2fx,28．已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則fx4的單調(diào)遞減區(qū)間是(C)0,,,0A．B．C．D．不存在yfx的圖形對稱于直線(C)1yfx9．函數(shù)與其反函數(shù)A．y0B．x0yxC．D．yx110．函數(shù)y10x12的反函數(shù)是(D)x1A．ylgx2B．ylog2C．logxx1lg2D．yyx2ax,x是有理數(shù)fx0a1，則(B)11．設(shè)函數(shù)0,x是無理數(shù)fxA．當(dāng)x時(shí)，是無窮大B．當(dāng)x時(shí)，是無窮小fx時(shí)，是無窮小fxxC．當(dāng)fxx時(shí)，是無窮大D．當(dāng)12．設(shè)在上有定義，函數(shù)在點(diǎn)x左、右極限都存在且相等是函fxRfx0數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)的(C)fx0A．充分條件B．充分且必要條件C．必要條件D．非充分也非必要條件x2a,x1fx13．若函數(shù)在上連續(xù)，則的值為(D)Racosx,x1A．0B．1C．-1D．-214．若函數(shù)在某點(diǎn)x極限存在，則(C)fx0A．在x的函數(shù)值必存在且等于極限值fx0B．在x函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值fx0C．在x的函數(shù)值可以不存在fx0D．如果fx存在的話，必等于極限值012340，，，，，…是(B)345615．?dāng)?shù)列A．以0為極限B．以1為極限n2C．以為極限D(zhuǎn)．不存在在極限n16．limxsin1(C)xxA．B．不存在C．1D．012x17．lim1(A)xx21A．B．C．0D．e2218．無窮小量是(C)A．比零稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù)C．以零為極限的一個(gè)變量B．一個(gè)很小很小的數(shù)D．?dāng)?shù)零2x,1x0fxfx2,0x1則的定義域?yàn)?,3，0=2，f19．設(shè)x1,1x3f1=0。yfx0,120．已知函數(shù)的定義域是，則fx的定義域是1,1。2x1fffx，11x21．若，則x。fxffxx22．函數(shù)ye的反函數(shù)為ylnx1。x123．函數(shù)5sinyx的最小正周期2T。1x11。1x，則fx124．設(shè)fx2xx23225．limn3nn1x。11114。24112n26．limn113393n27．limxlnx0。x02x33x2220330。203028．xlim5x155050x,x1fxx1,1x2的不連續(xù)點(diǎn)為129．函數(shù)。3x,x230．nlim3sinxx。n3nfx31．函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是,1、1,1、1,。1x213,axbx0fxab0fx32．設(shè)，處處連續(xù)的充要條件是abx2x,x0b0。1,x0fx33．若gx，sinx，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是fgx1,x0k,k1，k0,1,2。x2均為常數(shù)，1，2b34．若limxaxb0，，ab則a。x135．下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1)yx21x偶函數(shù)2(2)y3x2x3非奇函數(shù)又非偶函數(shù)(3)y11xx22偶函數(shù)奇函數(shù)1(4)yxxx1(5)ysinxcosx1非奇函數(shù)又非偶函數(shù)(6)yaxax偶函數(shù)236．若ft1。25225t，證明ftfttt2t證：f212t25t511tt2tft37．求下列函數(shù)的反函數(shù)2x2x1(1)y解：y1lnx1x4y12sinxx11(2)1arcsinx12y1arcsinx1238．寫出圖1-1和圖1-2所示函數(shù)的解析表達(dá)式y(tǒng)y211xx-1圖1-1圖1-2解：(1)y2,x01,x01,x0(2)yxx1,x0sinx,x0，求limfx。39．設(shè)fxxx01x,0x2fxlimsinx1x解：limx0x0limfxlim1x21x0x0故limfx1。x040．設(shè)x1222n2n，求limx。3n2nnnnn121n12lim22n2nlim6n解：33n2n2nn121112n12nn1nlimnlim662n5fxxfx。lim141．若，求fxxx2x0112xx解：limx2xx0limxx02x22xxx2x2xx2limx0x2xx2x311n2211。n2n42．利用極限存在準(zhǔn)則證明：limnnn2n211n21n2n2n證：∵n2nnn2n2n21，n1，由夾逼定理知2且limnn2nlimnn21limn1n2211n2nn2n43．求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類型1x，(3)yx，(4)yx2x2xy，(2)y(1)1xx2解：(1)當(dāng)x1為第二類間斷點(diǎn)；(2)x2均為第二類間斷點(diǎn)；(3)x0，為第一類斷點(diǎn)；(4)x0,1,2,，均為第一類間斷點(diǎn)。x,0x11fx,x144．設(shè)，問：21,1x2(1)lim存在嗎？fxx1fx1，limfx1，故limfx1fx解：lim存在，事實(shí)上lim。x1x1x11x1fx(2)在x1處連續(xù)嗎？若不連續(xù)，說明是哪類間斷？若可去，則6補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。x,0x1，則fx解：不連續(xù)，x1為可去間斷點(diǎn)，定義：fx1,x1**1,1x2在x1處連續(xù)。21,0x1，yxfx45．設(shè)x3,x1x(1)求出的定義域并作出圖形。fx01解：定義域?yàn)?,，1，2時(shí)，連續(xù)嗎？fx1x(2)當(dāng)21解：2x，x2時(shí)，fx連續(xù)，而x1時(shí)，fx不連續(xù)。(3)寫出的連續(xù)區(qū)間。fx解：fx的連續(xù)區(qū)間0,1、1,。x0,x20x2x22,，求出的間斷點(diǎn)，并指出是哪一fxfx4x2,46．設(shè)4,類間斷點(diǎn)，若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。，f02，故x0為可去間斷點(diǎn)，改變fx在x0(1)由limfx4解：x0的定義為f04，即可使fx在x0連續(xù)。(2)由limfx4，limfx0，故x2為第一類間斷點(diǎn)。x2x2(3)類似地易得x2為第一類間斷點(diǎn)。47．根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證方程x53x1至少有一個(gè)根介于1和2之間。驗(yàn)證：設(shè)fxx53x1，易知fx在1,2上連續(xù)，且f130，f22561250，故1,2，使f0。x48．驗(yàn)證方程21x至少有一個(gè)小于1的根。7fxx2x1，易知f010，驗(yàn)證：設(shè)fx在0,1上連續(xù)，且f0。f110，故1,2，使(二)1．在函數(shù)的可去間斷點(diǎn)x處，下面結(jié)論正確的是(C)fx0A．函數(shù)在fxx左、右極限至少有一個(gè)不存在0B．函數(shù)在fxx左、右極限存在，但不相等0C．函數(shù)在fxx左、右極限存在相等0D．函數(shù)在x左、右極限都不存在fx0x13sinx,x0，則點(diǎn)x00是函數(shù)的(D)fxfx2．設(shè)函數(shù)0,A．第一類不連續(xù)點(diǎn)B．第二類不連續(xù)點(diǎn)C．可去不連續(xù)點(diǎn)D．連續(xù)點(diǎn)fx0，則(C)3．若limx0為任意函數(shù)有l(wèi)imfxgx0成立時(shí)，A．當(dāng)gxxx0B．僅當(dāng)limgx0時(shí)，才有l(wèi)imfxgx0成立xx0xx0為有界時(shí)，limfxgx0成立能使C．當(dāng)gxxx0為常數(shù)gxlimfxgx0成立D．僅當(dāng)時(shí)，才能使xx0及l(fā)im4．設(shè)limfxgx都不存在，則(D)xx0xx0fxgx及l(fā)imfxgx一定不存在A．limxx0xx0及l(fā)imfxgx一定都存在fxgxB．limxx0xx0及l(fā)imfxgx中恰有一個(gè)存在，fxgxC．lim而另一個(gè)不存在xx0xx0及l(fā)imfxgx有可D．limfxgx能存在xx0xx08x2sin1x5．limsinx的值為(D)x0A．1B．C．不存在D．0sin1x2(A)6．x1limx1x22112A．B．C．0D．3337．按給定的的變化趨勢，下列函數(shù)為無窮小量的是(C)x1xx2A．x4x1(x)1(x)B．1xxC．12x(x0)8．當(dāng)x0D．(x0)sinx時(shí)，下列與同階(不等價(jià))的無窮小量是(B)xB．ln1xA．xxsinC．sinD．1exx2x1x212gx9．設(shè)函數(shù)12x，fgx，則為(B)fx2A．30B．15C．3D．1x22x12fxx24(0x2)的值域?yàn)?，Egx10．設(shè)函數(shù)2的值域?yàn)椋瑒t有(D)FA．EFEFB．EFC．D．EF11．在下列函數(shù)中，與表示同fxgx一函數(shù)的是(D)fxx0xx2A．1fx，1gxB．，gxxC．fxx2，gxxgxxD．fx3x3，12．與函數(shù)2x的圖象完全相同的函數(shù)是(A)fxC．D．a(chǎn)rcsinsin2xA．lneB．sinarcsin2x2xeln2x13．若x1，下列各式正確的是(C)1x1x1C．3x1D．A．1B．2x914．若數(shù)列x有極限，則在的領(lǐng)域之外，數(shù)列中的點(diǎn)(B)aanA．必不存在B．至多只有限多個(gè)C．必定有無窮多個(gè)D．可以有有限個(gè)，也可以有無限多個(gè)15．任意給定M0，總存在X0，當(dāng)時(shí)，xXfxM，則(A)limfxA．B．limfxxxlimfxC．D．limfxxxlimfx與limfx存在，則(C)16．如果xxxx0A．limfx存在且limfxfx00xxxx00B．limfx存在，但不一定有l(wèi)imfxfx0xxxx0C．limfx不一定存在0xx0D．limfx一定不存在xx017．無窮多個(gè)無窮A．必是無窮小量B．必C．必是有界量D．是無窮小量之和，則(D)是無窮大量小，或是無窮大，或有可能是有界量，則18．yarccoslnx它的連續(xù)區(qū)間為(C)12A．x1B．x2e1,22,e1C．1,22,1D．ee3nxn1nxlim19．設(shè)fx，則它的連續(xù)區(qū)間是(B),A．1nB．(n為正整數(shù))處x1處n,00,C．x0D．及x,x0要使fxfx20．設(shè)ex在x0a處連續(xù)，則(B)ax,x0A．2B．1C．0D．-1101xsin,x0x0，若在上是連續(xù)函數(shù)，則fx,fx21．設(shè)x3a,a(C)1A．0B．1C．D．333x1,x122．點(diǎn)x1fx1,x1的(C)是函數(shù)3x,x1A．連續(xù)點(diǎn)B．第一類非可去間斷點(diǎn)C．可去間斷點(diǎn)D．第二類間斷點(diǎn)xx23．方程10至少有一根的區(qū)間是(D)4C．2,3D．1,2121A．0,B．,1224．下列各式中的極限存在的是(C)C．lim2x25x3x21D．lim1211A．limsinxxB．limex0xxxx025．limx(D)sinxx0A．1B．0C．-1D．不存在lim2。126．1n2n2n2n2nx213，則1x21。fx27．若fxxx228．函數(shù)ylnx1的單調(diào)下降區(qū)間為,0。229．已知lima2n2bn52，則0，6。ab3n2nx2ax30．limxe，則a2。2x1131．函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是x0，是第二類不連續(xù)點(diǎn)。fxex1132．函數(shù)sin1的不連續(xù)點(diǎn)是0，是第二類不連續(xù)點(diǎn)。xfxx33．當(dāng)x01x1~x。時(shí)，31fx1xfxx，為使在0連續(xù)，則應(yīng)補(bǔ)充定義1。xe34．已知0fx35．若函數(shù)1fx與函數(shù)的圖形完全相同，則的取值范圍是xgxx0,。fxxx3，若0fxx，則fx0或±1；若0x，則36．設(shè)1,01,。0,1,1；若0fxx；則2x,x05x,x010x,x0fxgx，fgx37．設(shè)，則。x,x03x,x06x,x038．設(shè)0u域1,e。1，函數(shù)有意義，則函數(shù)的定義fuflnxx39．設(shè)數(shù)n1S，那么lim1SSS列n1的前n項(xiàng)和為nxn12n12。x40．如果x0時(shí)，要無窮小1cos與sin2等價(jià)，應(yīng)等于xaa2。2axb10，則應(yīng)滿足b1。41．要使limbxx0limx1x42．0。2x1x2,x1時(shí)，函數(shù)連續(xù)。fxfxA，當(dāng)43．函數(shù)21xA,x1xaxb244．已知lim2，則2，-8。abxx22x2e1,x045．fx；若無間斷點(diǎn)，fxlimfx，02xa,x0x0a則0。1201fxx046．函數(shù)sin在點(diǎn)處可可連續(xù)開拓，只須令0。xfx1cosx147．lim。2x0x2cosxx348．limx0。ex1cos2x1。249．x0limx250．設(shè)，0，下列等式成立：yGxxln，證明：當(dāng)x0(1)GxGyGxy證：GxGylnxlnylnxyGxyx(2)GxGyGyx證：GxGylnxlnylnxGyy1,x151．設(shè)，gxex，求和。fgxgfxfx0,x11,x11,gx11,x0解：fgx0,gx10,x0，1,gx11,x0x1x1e,gfxefx1,e1x1xzyz，證明：y。1yzlg52．若x1ylg1zlg11yyzzyzyz解：yzlg1y1z13yz11yzlg1yzlg1yzyzyzyz1yzyz11yz故結(jié)論成立。53．根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1)lim3n132n12x3n1352n1222n15n2，只要n5，取證：0，要使AN5，則當(dāng)nN時(shí)，恒有3n13，即2n12lim3n13。n212x(2)limn1n0n0，因n12，要使1n21，證：n1n1nn只要n，取N112nN時(shí)，恒有n1n，則當(dāng)，即222limn1n0。n(3)lim09991nn個(gè)11，10n證：，只要，要使099990，因09999110nnn個(gè)09999，即時(shí)，恒有即只要n101。取Nlog1，則當(dāng)nNlog10n個(gè)lim09991。nn個(gè)n2n(4)limn1nn1nn，只要n1。取n2n2證：0，因nnnnn214nnn2n1。nN1，當(dāng)2nN時(shí)，恒有1，即limnn54．根據(jù)函數(shù)極限的定義證明(1)limxsin10xx00，因xsin1x，要使xsinx1證：，只要x。，則x110。x當(dāng)x時(shí)，恒有xsin，即limxsinx0x(2)lim12x2323x2x12x221，要使12x2210，因3x2，要使x3，證：33x23x2312x212x22。3132取z，則當(dāng)xX時(shí)，恒有，即limx3x233x2(3)limarctgx0xx2arctgx2證：，只要x2，取z，則當(dāng)xz時(shí)，0，因xxarctgxarctgx0。恒有，即xlimxx(4)limx20x2證：0，要使x2，只要0x2，取2，則當(dāng)2limx20。，即0x2時(shí)，恒有x2x255．求下列極限x21x03x2x2(1)lim解：原式1215(2)limxn1(，nm為正整數(shù))，x1xm1解：原式limx1x2xnnn0x1xmxmxm120(3)lim1xx1x11解：原式limx11x1x(4)limxcosxx7x1cosx解：原式xlim17x1x4x75x88119(5)limx2x3100解：原式lim481519x1004315192x100100x11x13(6)limx13xx1x21解：原式lim1x1xx2x1(7)lim1cos2xxsinxx02sin2xxsinx解：原式limx02(8)limcosxx2x2sinx21解：原式limx2x216(9)limarcsinxxx0t解：令sint，原式limx01xsint(10)limsin2xaxsin2axa0lim2sinxcosxlimsin2xsin2a0解：原式xaxa1(11)lim12x0xx解：原式e21x1x(12)limx01x1lim1xex解：原式e2e1x01lim1xxx0(13)lim1tgxcosxx0sinx解：原式lim1x0tgx1e01tgx1kx(14)lim1(為正整數(shù)x)kx1kx解：原式lim1xekx56．當(dāng)x0x時(shí)，求下列無窮小量關(guān)于的階(1)x3x6解：3階7(2)x23sinx解：階31x1x(3)解：1階3階(4)tgxsinx解：xaxb，其中，，至少有一個(gè)正根，并且不sin57．試證方程a0b0ab超過。17證：令fxxasinxb，則f0b0，fababasinabb00,ab，使f0。且fxCa,ab，故0,a上至少存在58．設(shè)fxfa在閉區(qū)間0,2上連續(xù)，且02，則在af。一個(gè)x，使fxfxa證：令xfxfxa，于是x在0,a上連續(xù)，由于條件0f0faf2afa(若00，則顯然結(jié)果成立，若00)afaf2afaf0，顯然0a0，故a,b使0,a使fxfxa。fxfxa，綜上，59．設(shè)fxab在,上連續(xù)，且，，試證：a,bfaafbb在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使f得：。證：令xfxx，于是x在a,b上連續(xù)，且afaa0，a,b，使0，即f。bfbb0，故60．設(shè)數(shù)列x有界，又limy0xy0。，證明limnnnnnn由假設(shè)不妨設(shè)xM，為一正數(shù)，0，由limy0，故自然Mnn證：n數(shù)，當(dāng)xN時(shí)，恒有y，故恒有xyM，即limxy0。nMMnnnnn123n361．設(shè)x3，求limx。33n4n4n4n4nnnn2n112解：原式limn4n443x,1x1，求lim及l(fā)im。fxfx62．設(shè)fx2,x1x0x13x,1x22fxlim3x0解：limx0x018fx3，故limlimfxlim3x23，limfxlim3x3x10x10x10x10x1exex63．求limxexe。x解：原式lim1e2x11e2xx64．求lim2sinxsin2xx3x04sinxsin2xsin2x212sinx1cosx解：原式limx0limx02limx0x3x3x2465．求下列極限(1)limet1tt2解：原式e212sin2x(2)lim2cosxx42sinxcosx2cosxsinxcosx22解：原式limlimcosxx4x45x4xx1(3)limx1412x解：原式limx15x4xx1(4)limsinxsinaxaxa解：原式limcosxcosaxa(5)limxxxx22x解：原式limlimx2x21111x1xxxx22xx19(6)lim13tgxcosx2x03tg2cosx1解：原式lim13tgxe01tg2x23x0(7)limex1xx00解：原式limex10xa(8)lim2x3x121xx2x12x12x122x1lim1x2e解：原式xln1x66．求limx0。0lim0111x解：原式1x0(三)1．若存在0，對任意0，適合不等式的一切x，有xafxL，則(D)A．在不存在極限fxaa,a嚴(yán)格單調(diào)B．在fx，a,a無界D．對任意xa,afxLC．在fx2．若存在0，對任意0，適合不等式的一切x，有xafxL，則(C)B．在R上無界fxfxLA．limxaC．在上有界fxRD．在上單調(diào)fxR20xn3．函數(shù)limn0)，則此函數(shù)(A)(xfx1xn2x2nA．沒有間斷點(diǎn)B．有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)C．有兩個(gè)以上第一類間斷點(diǎn)D．有兩個(gè)以上間斷點(diǎn)，但類型不確定kx7y4．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍是(B)Rkkx24kx3A．0k3B．k0或k3C．34D．3k0k4445．兩個(gè)無窮小量與之積仍是無窮小量，且與或相比(A)A．是高階無窮小C．可能是高階，也可能是同階無窮小D．與階數(shù)較高的那階同階(B)B．是同階無窮小6．試決定當(dāng)x0x時(shí)，下列哪一個(gè)無窮小是對于的三階無窮小xaxa(a0是常數(shù)B．A．)3x23C．0.0001x2D．3tanxx37．指出下列函數(shù)中當(dāng)x0時(shí)(D)為無窮大sinx1secx1A．2x1B．C．D．exex1x1x,x08．fxfx，如果在x0k處連續(xù)，那么(D)xk,x01A．0B．2C．D．12x1x19．使函數(shù)yx31為無窮小量的的變化趨勢是(C)xA．x0B．x1C．x1D．xxy，則z=110．設(shè)，若。fxfxfyfzxxyx,x0x,x0fx11．若x，則0,x0。x,x0而fx2xx,x0211ex,x00x1fx3x,在x1a處連續(xù)，則12．若0。2axeax1,1xe13．設(shè)limx3ax2x4a有有限極限值L，則L4，10。x1x1xaxa(x22a。114．lima0)=xa2a15．證明limsinx不存在。x，，k0使2kM，2k3M，1422設(shè)limsinxA，但對x但sin2k1，sin2k1，而1，1不能同時(shí)落在31422內(nèi)，故limsinx不存在。x16．求lim1xn(0x1)。nnxn1解：原式lim1nx1nnxn117．求lim39。xxxx解：lim39x1x（）xxlimln39xxxelime1ln39xxxxxlimln339ln39xxxe339lim3xln39xln9393xln39xln93x9xeexxxxxxx0，試證：在fx18．設(shè)gx在x0處連續(xù)，且g00，以及fxgx處連續(xù)。證：0，由于gx在x0處連續(xù)，所以0，當(dāng)x時(shí)，恒有g(shù)xg0gx，由假設(shè)fxgx，g00，易知fx0，故當(dāng)x時(shí)，恒有fxf0，即fx在x0處連續(xù)。2219．利用極限存在準(zhǔn)則證明：數(shù)列2，22，222，…的極限存在。證：設(shè)x,2,,x2x，n1,2,，n1n以下證明①x有上界；②x單增nn①（用歸納法證）當(dāng)n1時(shí)，x22，假定x2nk時(shí)，，則1k當(dāng)nk時(shí)，x2x2，所以x2(n1,2,)1k1nn②x單調(diào)增加nx2x1由于2xx2事實(shí)上xx2xxnnnnxx22xxnn1nnnnnnx2，所以xx0，由①②，據(jù)極限存在準(zhǔn)則Ⅱ知limx存在。nn1nnn20．設(shè)適合fx1c(、、均為常數(shù))且，試證：abcabafxbfxx。fxfx1證：由于fx滿足：afxbfc(a、b、c為常數(shù)xx)1x故fx滿足：afxbfcx1afxfxbff0，∵ab。xx1得：,fx0fxyfxfy21．設(shè)函數(shù)在f內(nèi)有定義，，，試求f1985。解：由于f0f01985f0f1985，且由假設(shè)f00，故f19851。22．設(shè)、、都為單調(diào)增加函數(shù)，且對一切實(shí)數(shù)x均有：xxfxxffxx。xfxx，求證證：xR，有xfxx，由于fx的單增性，可知ffx，23xfx，∵fxx，∴fxx，于是得∴xffxx23．證明fxsin2當(dāng)x0時(shí)左右極限不存在。x2證：不妨設(shè)limsin2A，對1，0，k0，使0，2x2k0x22222，但sinsin2k1，03sin322k2k222k2sin2k1，而1，-