黑龍江省齊齊哈爾重點中學2022-2023學年高三下學期2月聯(lián)考數(shù)學試卷及參考答案

-2023學年黑龍江省齊齊哈爾實驗中學等校高三（下）月考數(shù)學試卷（2月份）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三四總分得分注意事項:

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知復數(shù)z滿足(1?2i)z=|3?4i|，則z的共軛復數(shù)z?=(

)A.?1?2i B.?1+2i C.1?2i D.1+2i2.已知集合A={x|2x>1}，B={x|x2A.(0,2) B.(1,2) C.(?1,2) D.(0,+∞)3.已知平面向量a=(1,?2)，b=(?4,3)，則a+b與aA.π6 B.π4 C.2π34.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的為(

)A.y=tanx B.y=ln(1+x)?ln(1?x)

C.5.2022年小李夫婦開設(shè)了一家包子店，經(jīng)統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)每天包子的銷量X～N(1000,502)(單位：個)，估計300天內(nèi)每天包子的銷量約在950到1100個的天數(shù)大約為(

)

(附：若隨機變量X～N(μ,σ2)，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827A.236 B.246 C.270 D.2756.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且3SnA.1116 B.3316 C.1127.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.若橢圓C上存在一點MA.[55,12] B.8.若a=0.6e0.4，b=2?ln4，c=e?2，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.某校有5名同學參加國家安全知識競賽，甲同學得知其他4名同學的成績(單位：分)分別為80，84，86，90，若這5名同學的平均成績?yōu)?7，則下列結(jié)論正確的是(

)A.甲同學的競賽成績?yōu)?5

B.這5名同學競賽成績的方差為26.4

C.這5名同學競賽成績的第40百分位數(shù)是84

D.從這5名同學中任取一人，其競賽成績高于平均成績的概率為0.610.在學習了解三角形的知識后，為了鍛煉實踐能力，某同學搞了一次實地測量活動.他位于河東岸，在靠近河岸不遠處有一小湖，他于點A處測得河對岸點B位于點A的南偏西45°的方向上，由于受到地勢的限制，他又選了點C，D，E，使點B，C，D共線，點B位于點D的正西方向上，點C位于點D的正東方向上，測得CD=CE=100m，∠BAD=75°，∠AEC=120°，AE=200m，并經(jīng)過計算得到如下數(shù)據(jù)，則其中正確的是(

)A.AD=200m B.△ADC的面積為10003m2

C.AB=1006m D.11.已知直線l：mx?y?m+2=0與圓C：x2+y2=9相交于A，A.直線l過定點(1,2)

B.若△ABC的面積取得最大值，則m=?1

C.AC?AB的最小值為8

D.線段12.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是梯形，BC/?/AD，AB=BC=CD=1，AD=2，PA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD，O，E分別為線段AD，PA的中點，點Q是底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的一個動點，則下列結(jié)論正確的是(

)A.AC⊥BP

B.三棱錐B?AOE外接球的體積為3π4

C.異面直線PC與OE所成角的余弦值為34

D.若直線PQ與平面ABCD所成的角為60°第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.(2x+1)(x?3)5的展開式中x4的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答14.已知雙曲線M：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為雙曲線M15.將函數(shù)f(x)=sin(x?π6)的圖象向右平移π6個單位長度，再把所有點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則不等式g(x)?g(2023π216.已知函數(shù)f(x)=aex?ax和g(x)=(x?1)ex+x，記f(x)，g(x)的導函數(shù)分別為f′(x)，g′(x)，若存在t>0，使得f′(t)=g′(t)，則實數(shù)a的最小整數(shù)值為四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量m=(cos?A,a)，n=(2cosC?3cosB,3b?2c)，且m/?/n．

(1)求bc；

(2)若A=2π318.(本小題12.0分)

已知等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，a1=2，2a1+a3=3a2，等差數(shù)列{bn}的公差為?1，b3=2，記min{x1,x2,…,xs}表示x1，19.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=2CA=2CB=4，AC⊥BC，BB1=2BM為C1M上一點．

(1)證明：平面A1MC120.(本小題12.0分)

某會議主辦方邀請甲、乙、丙、丁、戊5位專家參加一項學術(shù)會議并安排了專家的位置，若5位專家隨機選擇一個位置就座，恰好坐到主辦方安排的位置上，為坐對位置，否則，為坐錯位置.設(shè)坐對位置的專家人數(shù)為X.(1)求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望；

(2)在其中的3位專家坐錯位置的條件下，求恰有2位專家坐對位置的概率．21.(本小題12.0分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)，圓E：(x?4)2+y2=12與拋物線C有且只有兩個公共點．

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)O為坐標原點，過圓心E的直線與圓E交于點A，B，直線OA，OB分別交拋物線C于點P、Q(點P，Q不與點O重合).記△OAB的面積為S122.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex?13ax3?12x2(a∈R)，f′(x)是f(x)的導函數(shù)．

(1)若g(x)=f′(x)答案和解析1.【答案】C

【解析】解：(1?2i)z=|3?4i|=32+(?4)2=5，

則z=51?2i=5(1+2i)(1?2i)(1+2i)2.【答案】A

【解析】解：∵集合A={x|2x>1}={x|x>0}，

B={x|x2?x?2<0}={x|?1<x<2}，

∴A∩B={x|0<x<2}=(0,2)．

故選：A．

先分別求出集合A和B3.【答案】D

【解析】解：由于平面向量a=(1,?2)，b=(?4,3)，

所以a+b=(?3,1)，

所以(a+b)?a=?3?2=?5，|a+b|=(?3)2+12=4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，y=tanx，是正切函數(shù)，是奇函數(shù)，當在(0,+∞)上不具有單調(diào)性，不符合題意；

對于B，y=ln(1+x)?ln(1?x)，有1+x>01?x>0，解可得?1<x<1，即函數(shù)的定義域為(?1,1)，不符合題意；

對于C，y=x2+xx3=x?1+x?2，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不符合題意；

對于D，設(shè)f(x)=ex?e?x?2x，其定義域為R5.【答案】B

【解析】解：由題意可知，μ=1000，σ=50，

則P(μ?σ≤X≤μ+σ)=P(950≤X≤1050)≈0.6827，

P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)=P(900≤X≤1100)≈0.9545，

P(950≤X≤1100)=P(950≤X≤1050)+12[P(900≤X≤1100)?P(950≤X≤1050)]=0.8186，

則300天內(nèi)每天包子的銷量約在950到1100個的天數(shù)大約為300×0.8186=246．

故選：B．

根據(jù)正態(tài)分布的定義及對稱性即可求解．

本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量μ和6.【答案】A

【解析】解：∵3Sn?6=2an①，

∴當n=1時，得3a1?6=2a1，解得a1=6；

3Sn+1?6=2an+1②，

由①?②得3an+1=2an?2an+1，即an+1=?2an，

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)橢圓C上存在一點M(m,n)，由橢圓的第二定義，可得：|MF1|=a+em，|MF2|=a?em，

|F1F2|是|MF1|與|MF2|的等比中項，可得|F1F2|2=|MF1||MF2|，

即48.【答案】B

【解析】解：∵設(shè)?(x)=ex?x?1，

則?′(x)=ex?1，

∴當x∈(?∞,0)時，?′(x)<0，?(x)單調(diào)遞減；

當x∈(0,+∞)時，?′(x)>0，?(x)單調(diào)遞增，

∴?(x)≥?(0)=0，

∴ex?x?1≥0，

∴ex≥x+1，當且僅當x=0時，等號成立，

∴e0.4>0.4+1=1.4，

∴0.6e0.4>0.6×1.4=0.84>2.72?2>e?2，

∴a>c，

∵b=2?ln4=2?2ln2，又c=e?2lne，

設(shè)f(x)=x?2lnx，(x>0)，則b=f(2)，c=f(e)，

又f′(x)=1?2x=x?2x，(x>0)，

∴當x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當x∈(2,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，又2<e，

∴f(2)<f(e)，

即b<c，又a>c，

9.【答案】AB

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，設(shè)甲的成績?yōu)閤，則有15(x+80+84+86+90)=87，解可得x=95，A正確；

對于B，甲的成績?yōu)?5，則這5名同學競賽成績的方差S2=15[(95?87)2+(80?87)2+(94?87)2+(86?87)2+(90?87)2]=26.4，B正確；

對于C，五人的成績從小到大排列，依次為：80、84、86、90、95，而5×40%=2，則其第40百分位數(shù)是12(84+86)=85，C錯誤；

對于D，五人的成績中，高于平均分的有2人，則從這510.【答案】AC

【解析】解：對于A，因為∠BAD=75°，點B位于點A的南偏西45°的方向上，

所以∠ADB=60°，∠ADC=120°，∠B=45°，

又∠AEC=∠ADC=120°，CD=CE=100m，AC=AC，AE=200m，

在△AEC，△ADC中，AC2=AE2+CE2?2AE?CEcos120°，AC2=CD2+AD2?2AD?CDcos120°，

所以AD=AE=200m，故A正確；

對于B，△ADC的面積為12×AD×CD×sin∠ADC=12×200×100×32=50003(m2)，故B錯誤；

對于C，在△ABD中，由正弦定理，得ABsin∠ADB=ADsinB，解得AB=AD?sin∠ADBsinB=200×3222=1006(m)，故C正確；

對于D11.【答案】ACD

【解析】解：直線l：mx?y?m+2=0即直線m(x?1)?y+2=0，

聯(lián)立x?1=0?y+2=0，解得x=1，y=2，

∴直線l過定點(1,2)，故A正確；

若△ABC的面積取得最大值，則AC⊥BC，可得C(0,0)到直線l：mx?y?m+2=0的距離為322，

即|?m+2|m2+1=322，解得m=?1或m=?17，故B錯誤；

AC?AB=AC?(AC+CB)=AC2+AC?CB=9+AC?CB，

原點C到點(1,2)的距離為5，此時cos∠ACB=2×(53)2?1=19，

則(AC?CB)min=3×3×(?19)=?1，可得AC?AB的最小值為8，故C正確；

聯(lián)立y=mx?m+212.【答案】AC

【解析】解：易證四邊形ABCO為菱形，所以BO⊥AC，

連接PO，因為PA=PD=2，所以PO⊥AD，

因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

因為AC?平面ABCD，所以PO⊥AC，

又PO∩OB=O，所以AC⊥平面POB.又BP?平面POB，所以AC⊥BP，故A正確；

易證△AOE為等腰直角三角形，△AOB為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，

所以三棱錐B?AOE外接球的球心為等邊三角形AOB的中心，所以三棱錐B?AOE外接球的半徑為33，

所以三棱錐B?AOE外接球的體積為V=43π×(33)3=4327π，故B錯誤；

因為PD/?/OE，所以∠CPD為異面直線PC與OE所成的角(或其補角)，

因為PO=PD2?OD2=1，所以PC=PO2+OC2=2，

在△PCD中，由余弦定理，得cos∠CPD=2+2?12×2×2=34，故C正確；

因為PO⊥平面ABCD，所以O(shè)Q為PQ在平面ABCD內(nèi)的射影，

若直線PQ與平面ABCD所成的角為60°，則∠PQO=60°，

因為PO=1，所以O(shè)Q=33，故點Q的軌跡為以O(shè)為圓心，33為半徑的半圓，13.【答案】165

【解析】解：多項式的展開式中含x4的項為2x×C52x3(?3)2+1×C51x4(?3)114.【答案】y=±2【解析】解：由題意得F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，

由雙曲線的定義得|PF1|?|PF2||F1F2|=13，即2a2c=13，

15.【答案】(π【解析】解：因為f(x)=sin(x?π6)，所以g(x)=sin(2x?π3)，

g(2023π2)=sin2π3=32，g(x)?g(2023π2)>0，

可化為g(x)?32>0，所以g(x)>32，

令16.【答案】3

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=aex?ax和g(x)=(x?1)ex+x，

則f′(x)=aex?a，g′(x)=xex+1，

若存在t>0，使得f′(t)=g′(t)，則有a(et?1)=tet+1，變形可得a=tet+1et?1(t>0)，

設(shè)?(x)=xex+1ex?1(x>0)，其導數(shù)?′(x)=ex(ex?x?2)(ex?1)2，

設(shè)u(x)=ex?x?2，有u′(x)=ex?1，則有u′(x)=ex?1>0，故u(x)在(0,+∞)上遞增，

又由u(1)=e?3<0，u(2)=e2?4>0，則u(x)=ex?x?2在(1,2)上存在唯一的1個零點，

設(shè)該零點為x0，則有ex0?x?2=0，

在區(qū)間(0,x0)上，u(x)<0，在區(qū)間(x017.【答案】解：(1)因為向量m=(cosA,a)，n=(2cosC?3cosB,3b?2c)，且m/?/n，

所以(3b?2c)cosA=a(2cosC?3cosB)，

由正弦定理得(3sinB?2sinC)cosA=sinA(2cosC?3cosB)，

整理可得3sinBcosA+3sinAcosB=2sinAcosC+2sinCcosA，

即3sin(A+B)=2sin(C+A)，

可得3sinC=2sinB，

由正弦定理可得3c=2b，

所以bc=32．

(2)因為A=2π3，△ABC的面積為233=12bcsinA=34bc，【解析】(1)根據(jù)向量關(guān)系得出方程，利用正弦定理將邊化角，使用三角函數(shù)的恒等變換化簡得出3sinC=2sinB，進而由正弦定理即可求解．

(2)由三角形的面積公式可求bc的值，結(jié)合(1)可求b，c的值，利用余弦定理即可求解a的值．

本題考查了正、余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了平面向量共線(平行)的坐標表示，屬于中檔題．

18.【答案】解：(1)∵等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，a1=2，2a1+a3=3a2，

∴4+2q2=6q，

解得q=2，

∴an=2n．

∵等差數(shù)列{bn}的公差為?1，b3=2，

∴b1?2=2，解得b1=4，

∴bn=4?(n?1)=5?n．

(2)2nbnan=2n(5?n)2n=5?n，【解析】(1)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，a1=2，2a1+a3=3a2，利用通項公式代入即可得出q，an.由等差數(shù)列{bn}的公差為?1，b3=2，可得b1?2=2，解得b1，可得b19.【答案】(1)證明：因為BB1=2BM，所以M為BB1的中點，所以BM=B1M=2，

又三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，B1C1=BC=2，

所以∠C1MB1=∠CMB=45°，所以∠CMC1=90°，所以C1M⊥CM，

因為CC1⊥AC，AC⊥BC，CC1∩BC=C，CC1，BC?平面BCC1B1，所以AC⊥平面BCC1B1，

又C1M?平面BCC1B1，所以AC⊥C1M，

因為CM∩AC=C，CM，AC?平面AMC，所以C1M⊥平面AMC，

因為C1M?平面A1MC1，所以平面A1MC1⊥平面AMC．

(2)解：過點P作PH⊥BC于點H，可得PH//B1B，所以點P到平面A1ABB1的距離等于點H到平面A1ABB1的距離，

過點H作HQ⊥AB于點Q，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，HQ的長度為點H到平面A1ABB1的距離，所以HQ=22．

因為點C到直線AB的距離為2，所以H為線段BC的中點，所以P為線段C1M的中點，

以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y【解析】(1)根據(jù)已知條件確定M為BB1的中點，根據(jù)直棱柱的特征和長度關(guān)系可證C1M⊥平面AMC，進而利用面面垂直的判定定理進行證明；

(2)過點P作PH⊥BC于點H，可得PH//B1B，所以點P到平面A120.【答案】解：(1)由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，5，

P(X=0)=C41(2+3×3)A55=44120=1130，P(X=1)=X

0

1

2

3

5

P

11

3

1

11所以E(X)=0×1130+1×38+2×16+3×112+5×1120=1；

(2)設(shè)事件A表示“其中的3位專家坐錯位置”，事件B表示“恰有2位專家坐對位置”，【解析】(1)由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，5，利用古典概型的概率公式求出相應的概率，進而得到X的分布列，再利用期望公式求出E(X)的值即可；

(2)利用條件概率的概率公式求解．

本題主要考查了離散型隨機變量的分布列和期望，考查了條件概率的概率公式，屬于中檔題．

21.【答案】解：(1)聯(lián)立方程(x?4)2+y2=12y2=2px，得x2+(2p?8)x+4=0，

∵拋物線C與圓M有且只有兩個公共點，

則Δ=(2p?8)2?16=0，解得p=2或p=6(舍去)．

∴拋物線C的方程為y2=4x；

(2)設(shè)過圓心E的直線的方程為x=my+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由x=my+4(x?4)2+y2=12，消去x得(【解析】(1)聯(lián)立圓與拋物線方程，得關(guān)于x的一元二次方程，由對稱性結(jié)合判別式等于0，求得p值，可得拋物線C的方程；

(2)設(shè)過圓心E的直線的方程為x=my+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，與圓的方程聯(lián)立方程組可得y22.【答案】解：(1)證明：f′(x)=ex+(x?1)ex?ax2?x=xex?ax2?x，

所以g(x)=f′(x)x=e