文科微積分2習(xí)題冊(cè) 答案

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學(xué)號(hào)姓名

微積分Ⅱ習(xí)題集(文科)

班級(jí)______________學(xué)號(hào)______________

姓名______________

1

班級(jí)

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

P7習(xí)題6-1

6.一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)(2,3,1)和(4,5,6)等距離，求該動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)該動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z)，則

）?（y?3）?（z?1）?（x?4）?（y?5）?（z?6）（x?2222222??4x?6y?2z?14??8x?10y?12z?77

即

4x?4y?10z?63?0（該動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為平面）

7.求以點(diǎn)O(1,3,?2)為球心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程。解：由于球面過原點(diǎn)，球面半徑

222R?（1?0）?（3?0）?（?2?0）?14故所求球面方程為

222（x?1）?（y?3）?（z?2）?14

即x2?y2?z2?2x?6y?4z?0

8.指出以下方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形：（1）x?2；（2）y?x?1；

（3）x?y?4；（4）x?y?2x（補(bǔ)充題）解：見下表方程平面解析幾何中平行于y軸的直線直線圓（曲線）雙曲線空間解析幾何中平行于y0z面的平面平行于z軸的平面圓柱面（母線平行z軸）雙曲柱面（母線平行z軸）2222x?2y?x?1x2?y2?4x2?y2?2x

9.指出以下各方程表示哪種曲面：

x2?y2（1）z?1?x?y（補(bǔ)充）（2）z?；

222(1)球心在原點(diǎn)半徑為1的上半球面⑵橢圓拋物面（3）z?222；（4）x?y?z?2z（補(bǔ)充）。x2?y2（補(bǔ)充）

⑶上半圓錐面⑷球心：（0,0,1），半徑R=1的球面

2

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

14.分別按以下條件求平面方程：

（1）平行于xoy面且經(jīng)過點(diǎn)(2,?5,3)；解⑴所求平面平行于xOy面，設(shè)平面方程為Cz?D?0

將點(diǎn)(2,?5,3)代入上式，得3C?D?0?D??3C

故所求平面方程為z?3?0

（2）通過z軸和點(diǎn)(?3,1,?2)的平面方程。解：設(shè)該平面方程為Ax?By?0

將(?3,1,?2)代入上式，得

?3A?B?0?B?3A

故所求平面方程為

x?3y?0

P13習(xí)題6-2

1.設(shè)f(x,y)?2xyyx2?y2，求f(1,x)。2?1?y解：f(1,yxx)?2?2xy12???y?x2?y2?x??3.求以下各函數(shù)的定義域：（5）z?ln(y?x)?x1?x2?y2；

?1?x2?y2解：由?x?0??x2?y24.??0???y?x?0?y?x?0故所求定義域?yàn)镈??(x,y)y?x?0,x2?y2?1}

3

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

4.求以下函數(shù)的極限：（1）

(x,y)?(1,0)limln(x?ey)x2?y2；（2）

2?xy?4；

(x,y)?(0,0)xylimln（1?e0）4?(xy?4)?ln2解：原式=（2）解：原式=lim(x,y)?（0，0）xy(2?1?0xy?4)

?

x?y

5.證明以下極限不存在：lim；

(x,y)?(0,0)-11??

(x,y)?（0,0）2?xy?44limx?y證：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)沿著直線y?kx趨向點(diǎn)（0,0），則limx?0y?kxx?kx1?k??I（k?1）x?kx1?k

當(dāng)k取不同常數(shù)時(shí)，極限值I隨之變化，故原極限不存在.

?(x2?y2)ln(x2?y2),(x,y)?(0,0)6.研究以下函數(shù)的連續(xù)性：f(x,y)??（補(bǔ)充題）

0,(x,y)?(0,0)?解：令x??cos?，y??sin?，則

(x,y)?（0,0）limf(x,y)?lim??2.ln?2?lim???0??02?ln?2?ln??lim??0?f(0,0)?31??0?2????2?f(x,y)在(0,0)處連續(xù)/

2222（0,0）又當(dāng)(x,y)?時(shí)，f(x,y)?(x?y)?ln(x?y)為初等函數(shù)

則f(x,y)在整個(gè)平面區(qū)域內(nèi)連續(xù).

P19習(xí)題6-3

1.求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

x2?y2（1）z?x?2xy?y；（4）z?；

xy234

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

解：?zxy?x?2x?2y解：z?y?x?z??z?x??2x?3y3?z?1?y

?xyx2,?y??x1y2?x（6）z?sin(xy)?cos2(xy)；

解：?z?x?cos?xy??y?2cos?xy????sin?xy???y?y??cos?xy??sin2xy??由對(duì)稱性有

?z?y?x?cos?xy??sin2xy?（9）z?xx2?y2

?zx2?y2?x?2x解：2x2?y2y2?x?x2?y2??3x2?y2?2?z?y??x2yxyx2?y2?2x2?y2???3x2?y2?2

?(112.設(shè)z?ex?y)，證明x2?z?x?y2?z?y?2z。?11??11?解：?z?e???x?y???1?z??x?y??1?xx2,?y?e??y2?11?左邊?x2??z?x?y2??z?????y?2e?xy??2z?右邊得證.

?14.設(shè)f(x,