新編線性代數(shù)習(xí)題二解答

1.兩個(gè)零和對(duì)策問題.兩個(gè)兒童玩石頭--剪刀--布的游戲，每人的出法只能在{石頭--剪刀--布}選擇一種，當(dāng)他們各選定一個(gè)出法(亦稱策略)時(shí)，就確定了一個(gè)“局勢(shì)”，也就得出了各自的輸贏.若規(guī)定勝者得1分，負(fù)者得-1分，平手各得零分，則對(duì)于各種可能的局勢(shì)(每一局勢(shì)得分之和為零即零和)，試用贏解B策略)解A布||(-1-10)||1231(10|2|00解3|11|4|0005|001分，負(fù)一場(chǎng)得零分試用矩陣表示輸贏狀況，并排序.456111)|111|100|，選手按勝多負(fù)少排序?yàn)?23456.|01|00)||(|3572)|(|1320)|試用矩陣表示各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地兩次的物資調(diào)運(yùn)量.(|111)|(|123)|：若甲、乙、丙各種產(chǎn)品每單位的利潤(rùn)分別為10元，8元，7元，試用矩陣的乘法求出以何種方法獲利(12)(10)(1)AB=BA嗎(3)(A+B)(A-B)=A2-B2嗎解(1)AB豐BA，(34)(12)(3)(A+B)(A-(3)(A+B)(A-B)豐A2-B2(38)(10)(28)6.舉反例說明下列命題是錯(cuò)誤的：(11) ( ()|)(10) (10)(10)(10) (10)(10)(10)(10)(10)(10)(10)明這個(gè)結(jié)論．(10)則對(duì)于k時(shí)，有(10)(10)(10)解首先觀察由此推測(cè)Ak=||||||0002用數(shù)學(xué)歸納法證明:由數(shù)學(xué)歸納法原理知:Ak=|0|0 ( (02|12 (5|4-2-41)()2||12 (5|4-2-41)()2|| (00 (4)1)an)即AB是對(duì)稱矩陣.從而BTAB也是對(duì)稱矩陣.11.求下列矩陣的逆陣((1)、(3)用公式法和初等行變換法求解)：()()||||(a|||| ((5-2)故A-1=|(-21)|(5-2)(cos9sin9)從而cos9)|22而(-2(-2||-|2|-故2|A-故2|321032|||||1)(x3)(3)所以A=(-21-32 (-167|||0)1-2-1)1-2-1))(1)A-1=(4)由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知A-1=(4)由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知2|an)|||||| (0)001)(12|改0)001)(12|改()|014-2100|0|00001)r2r|001-2|0|||(25)(4-6) X||(1||(1-13) ( (0(3)||| (0|01)|01)X|||||00)(1-43)01||(25)-1(4-6) (4 (4 (-1 (-1-13)|-13)|214)-1(31)(2-1)-10|0)-11)|3)(x)3)(x)(1)解(1)方程組可表示為|2233故故從而有3(2)方程組可表示為|||(1-12-||| (32-1)(x)(2)||1|||-3|3(x)(1|1||3故有(1|刪了14.把矩陣|2(10|解|20|(30-1-1)-1(2)(5)|||||-1-3||1|=|0|2-5)||(0)||(3)|302-1)|031|化為行最簡(jiǎn)形矩陣04-3)|兩端同時(shí)取行列式:A2-A=2A2所以A-1A(A-E)=2A-1E，則A-1=(A-E)242221解因?yàn)锳1=A*，所以A*=AA1，代入，得A(2A)15A*=1A15AA1=1A15.1A1=2A1，2221又AA1=E=1,A=，故A1=2.21證明由A1=A*，得A*=AA1，AA1(證：由AA*=AE左乘A逆得出)；A(證：由A*=AA1左乘A得AA*=AE,由定理推論，得(A*)1=1A，AA1)1)E1(2)由于A-1=A*,則AA*=AE，取行列式得到:AA*=An.AA* |||32003)0)3)0) (-68300|(03|(00(1||2|A=|0| (| (01 40|||||3)03)03)故B=(A-2E)-1A(||-1(||(||(-10)11(-10)(-10)11(-10)故 (1(-1 (1-4)(-1(1||||| ( (34)||13)13)-684-684)1)_=||_1)_=||_|_01)||(0_20)20)1)(11vAA(5E_6A+A2).1)_2|，^1)||(_1)|1 1 (5)||||20_22)|2)|^8_3^8_31 (58)|||||所以又因?yàn)関(A)=A8v(A)=A8(10(100)(1_20)2_22EEA|010||23_2 (0=||=|所以v(A)=1|2_2.580_110_11 |||0)(100)0|，^|000|，求A及A51)||(00_1)| | (014 | (014-2.35-614-2.|-3-2|00)||04-2354-235-6420.將矩陣A|4-20) (20)化為行階梯形矩陣，并求矩陣A的一個(gè)最高階非零子式.(|2-131)|(| (2-140)(001-1)-10001235-6故|故|0| (0-100031)-1-2211-12-22-21|(1)||(1)|2(30-1)|(3)|(3)|0|21)，|(| (3 (300 (0||||||||31(4)001)5|；3)|-57)|01)0-0-20-124|解A|3-10|解A|3-10|| 6)所以所以增加矩陣秩的性質(zhì)(A+(A+BB)(AO)(AO)BP12r12t12r12t12r12tB(E-E)(A+BB)(EO)(AO)(A+BB)(AO)所以R|(BB)|=R|(OB)|為A+B的列均可由(A，B)的列線性表出，所以0)0)12l2(2O|(EO)所以 (O (Oijbb)O)O)r1O) (0)||||||(※)9.若AB| (4)-|-|22)(|34O)| (22)(AO)(AO)8(A8O)于是AB=PPPB12ll12由于初等矩陣左乘某一矩陣相當(dāng)于對(duì)該矩陣進(jìn)行了一次初等行變換，這個(gè)矩陣的秩不改變，從而根據(jù)秩的性質(zhì)，有若A，B為n階矩陣，且AB=O，則(A27.設(shè)n階方陣A和s階方陣B均可逆，求|(CB)|，利用這個(gè)結(jié)果求矩陣的逆矩陣.解 (A0)(3OBsEnOEs)(21)(AO)-1(A-1sO)s1(20)1(40)1(40)(21)1(20)1(-12-4)1(240)1(80)則A-1=24|(-1212)|，B-1=24|(-26)|(|1000)|-1(|24000)|故||=|1-| (1214)(3-5-26)2)0)AB=2)0)AB=AB|DA)O)|的逆矩陣，(00并利用所得結(jié)果求矩陣并利用所得結(jié)果求矩陣|00 (52520010的逆矩陣.ijij1j