天津市某中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題含答案

天津一中2010-2021高三年級三月考數(shù)學(xué)試卷

本試卷分為第I卷（選擇題）、第口卷（非選擇題）兩部分，共150分，

考試用時(shí)120分鐘

考生務(wù)必將答案涂寫在規(guī)定的位置上，答在試卷上的無效。祝各位考生考

試順利!一.選擇題

1.已知集合知={小2r0）,N={-1,0,1,2},則Mp|N=（）

A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.已知命題,命題1,則p是，/成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條

件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

3.函數(shù)/）=

ex-\

y,

4.某學(xué)校共有學(xué)生4000名，為了了解學(xué)生的

自習(xí)情

況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的每周自習(xí)時(shí)間

（單位：小時(shí)）制成了如圖所示的頻率分布

直方圖，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20）,[20,

22.5),[22.5,25),[25,

27.5）,[27.5,30].根據(jù)直方圖,估計(jì)該校學(xué)

生中每

周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)

是0

A.2800B.1200C.140D.60

5.已知直三棱柱A8C-A￡G的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=1,AC=3,

AB1AC,AAt=4,則球O的表面積為（）

A.5兀B.IOnC.20nD.205兀------

3

_1_J11_

6.已知〃=(￥3,很log2,7()2,貝氏，b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<a<b

D.b<c<a

7.已知雙曲線E:匚

=1(30力>0)的右焦點(diǎn)沏F(c,0)(c>0),過F作直線/,若/

CT萬

與雙曲線E有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且/與y軸的交點(diǎn)為P(0,-2c),則雙曲線E的離心率為()

A.犯.5C.6D.3+1??j

8.已知函數(shù);(x)=?

3siiLr+cosx(xwR),將>與3)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原

來的‘倍(縱坐標(biāo)不變)再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平行移鄢個(gè)單位長度，得到

26

產(chǎn)g(x)的圖象，則以下關(guān)于函數(shù)產(chǎn)g(x)的結(jié)論正確的是()

A.若X,心是g(x)的零點(diǎn)，則再-不是2兀的整數(shù)倍

B.函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增

C?點(diǎn)(加，0)是函數(shù)g(x)圖象的對稱中心

4

D.4兀是函數(shù)g(x)圖象的對稱軸

3

9.已知keR,設(shè)函數(shù)以)=〈1

[(x-bl)e+夕\%>1

，若關(guān)于X的不等式次x）。在xeR上

恒成立，則人的取值范圍為（）

A.[0,e2]

B.[2,e2]

c.[0,4]D.[0,3]

二.填空題

10.已知復(fù)數(shù)二滿足(l+i)z=3+i”?為虛數(shù)單位)則復(fù)數(shù)z的虛部是，|z工.

11.圓r+y2_4x+6k7=0被直線依_)，+1=0截得的弦長為8,則?=.

12.若年一

）"的展開式中籌7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字填寫答案）

XXV

13.某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)

學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院，現(xiàn)從這10名

同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教.選出的3名同學(xué)是來自互不相同

學(xué)院的概率為；設(shè)X為選出的3名

同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望為.

14.已知

x>0,

>>0

,且x+2y=l,貝?。?/p>

71

+-16(x-2y＞的最小值為.

xy

15.如圖,在A48C中，AB=2,AC=\,D,E分別是

直線A8,AC上的點(diǎn)，AE=2BE,CD=4AC,且BD-CE=-2,貝[]NBAC=_.若P

是線段OE上的一個(gè)動點(diǎn)，則麗麗的最小值為.

三.解答題

16.已知AA8c

的內(nèi)角4B、C的對邊分別為a、Ac,滿足已知

ccosB+/?cosC=

2COSA

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若cosB=

3,求sin(2B+A)蠹S；

3

(3)若A4BC的面積為,求AABC的周長.

17.如圖，在直三棱柱A8C-48C

中，AC1BC,且

AC=BC=CC,=2,9是4瓦,4B的交點(diǎn)，N是5G的中點(diǎn).

(1)求證：MML平面A18C；

(2)求平面AA8與平面ABC銳二面角的大小；

(3)求直線NB與平面AfC夾角的正弦值.

X

18.設(shè)橢圓一

=l(a?>0)的左焦點(diǎn)為F,下頂點(diǎn)為4,上頂點(diǎn)為B,加他是等邊

a~b~

三角形.

(I)求橢圓的離心率；

(n)設(shè)直線以=過點(diǎn)4且斜率為k出>0)的直線與橢圓交于點(diǎn)C(C異于點(diǎn)4),線段

4c的垂直平分線與直線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)Q若

7

\PQ\=^\AC\

4.(I)求人的值；

(ii)已知點(diǎn)M(-：_令，點(diǎn)N在橢圓上，若四邊形4MCN為平行四邊形，求橢圓的方程.

19.設(shè)｛4｝是等比數(shù)列，｛勿｝是遞增的等差數(shù)列，聞的前“項(xiàng)和為S,(〃eN

Q]=2h1=1S4=Q]+。302=6]+%

(1)求｛4｝與也｝的通項(xiàng)公式；

*),

(2)設(shè)4,=/+勿，數(shù)列｛”“｝的前n項(xiàng)和為7n(neN*),求滿足7>2

n+1

+1成立的n

的最小值.

為奇數(shù)

(3)對任意的正整數(shù)〃，設(shè)c“=c

（32-2）凡

,〃為偶數(shù)

,求數(shù)列｛

“｝的前2n項(xiàng)和.

也"2

20.已知函數(shù)段)=(x+b)G-a)(b>0)在點(diǎn)(-萩-1))處的切線方程為

(e-V)x-\-ey+e-1=0.

(1)求，，；。

(2)設(shè)曲線廣

pp

_/U）與X軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為

y=g）,求證：對于任意的實(shí)數(shù)x,都有心）泌（幻;

（3）若關(guān)于x的方程陋分實(shí)數(shù)根，AJ且*X,<立

證明：制一修W1+，廠：

參考答案

1.

【分析】先求出集合M,再利用集合的交集的定義求解.

【解答】解：集合M={小2T0}={x|0x1},

.?.Mp|N={0,1},故

選：C.

2.

【分析】分別求出關(guān)于〃，，/成立的x的范圍，根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷充分必要條件即

可.

【解答】解:命題/小-1|>1,故：x>2或x<0,命題

q,.lnx1,故工e,

則P是（I成立的必要不充分條件，

故選：B.

3.

【分析】利用特殊點(diǎn)，即可判斷；

【解答】解：由4。不在定義域內(nèi),X=-l時(shí)函數(shù)值為正數(shù)，圖象在X軸的上方；當(dāng)X

趨向正無窮時(shí)，由于指數(shù)增長較快，因此函數(shù)值趨向于0.

故選：A.

4.

【分析】由頻率分布直方圖計(jì)算該校學(xué)生中每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率和頻數(shù).

【解答】解：由頻率分布直方圖知，該校學(xué)生中每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為

1-(0.02+0.10)x(20-17.5)=1-03=0.7,所有估校校學(xué)生中每

周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是

4000x0.7=2800(人).故

選：A.

5.

【分析】由題意畫出圖形，利用勾股定理可求出外接球的半徑，代入球的表面積公式得答

案.

【解答】解：由直棱柱的外接球的半徑與底面三角形的外接圓的半徑和棱柱高的一半構(gòu)成

直角三角形.一廠

?：AB=\,AC=

3,ABLAC，.二外接回的半徑

22

F+⑶2=1,

球心到底面的距離狂

2AA=2,

..球的半徑滿足R2=/+/J2=F+22=5,

.??球。的表面積為4nR2=20n.故

選：c.

6.

【分析】可以得出（）E),

0,然后即可得出。，匕，c的大小關(guān)系.

2

33

【解答】解:?（界（博,四

2<四1=0,0<(1)2<(1)。=1,)--

33

:.b<c<a,故

選：。.

7.

【分析】利用已知條件求出雙曲線的漸近線的斜率，然后轉(zhuǎn)化求解離心率即可.

【解答】解：雙曲線E：上「三力>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),過尸作直

ab

線/，若/與雙曲線￡有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且/與y軸的交點(diǎn)為P(0,-2c),

可得直線PP與雙曲線的一條漸近線平行，所以上2,

a

可得型工，所以j+手，即一=5,

acTa一

所以或V

故選：B.

8.

【分析】由題意利用函數(shù))=Asin(3x+<p)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式，再利用正

弦函數(shù)的性質(zhì)，得出結(jié)論.

【解答】解：函數(shù),")=

3sinx+cosA^2sin(x+K)(XG/?)—

6

將閆(X)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1

2

倍(縱坐標(biāo)不變)，可得

)=2sin(2x+"埠圖象；

再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動兀個(gè)單位長度，

6

得到)HgaAZsimir-71)的圖象，

6

則關(guān)于函數(shù)產(chǎn)g(x),

若為，X2是g(x)的零點(diǎn)，則為』是半個(gè)周期兀的整數(shù)倍，故A錯誤；

在區(qū)間［-兀，兀1上，2戶屋［-2兀，兀］,函數(shù)g(x)沒有單調(diào)性，故B錯誤；

44633

令戶加，求得g(x)=2sin^7l=-

3M,故C錯誤；j

43

令求得g(x)=2,為最大值，故后兀是函數(shù)g(x)圖象的對稱軸，故。正確，

33

故選：D.

9.

【分析】當(dāng)x1時(shí)，段)=丁-2后+24，分k<l、k1兩類討論，可求得k0；當(dāng)x>l時(shí)，

式x)=(x-hl)e'+e3，分k1,k>\兩類討論，可求得k3；取其公共部分即可得到答案.

【解答】解(1)當(dāng)x1時(shí)，J(x)=^-2kx+2k,

,於)的對稱軸為x=k,開口向上.

①當(dāng)k<l時(shí)，-X)在(70#)遞減,(￡1)遞增,

.?.當(dāng)一時(shí)，火X)有最小值，即激)0,..0k<\；

②當(dāng)代1時(shí)，犬x)在(-oo,l)上遞減，

.?.當(dāng)x=l時(shí),段)有最小值，即〃1)=1,

.-.1。顯然成立，此時(shí)

k1.綜上得，40；

(2)當(dāng)Q1時(shí)，7(X)=(萬-%-1)/+/,:.f(x)=(x-lc)ex,

①，當(dāng)上1時(shí)，段)在(1,+8)上遞增，

：.j(x)>f(1)=-ke+e30,:.ke2,,此時(shí)氏1；

②，當(dāng)fc>l時(shí)，段)在(1的遞減，(￡+℃)遞增,

J[k)=-ek+e30,:.k3,

此時(shí)

1<&3.：

0無3,

???關(guān)于x的不等式“r)。在xeR上恒成立，則A的取值范圍為0k3,

故選：D.

10.

【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求得復(fù)數(shù)Z的虛部，然后

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求同.

【解答】解：由（l+i）z=3+i,得z=3+'=（3+i）（I）=2-i,

..復(fù)數(shù)z的虛部是-1,|z|=

故答案為：7；，

11.

1+/

22+(-1)2=

(l+D(l-0

5.

【分析】把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，再由題意利用點(diǎn)到直線的距離公

式，求得〃的值.

【解答】解：HX2+/-4X+6J-7=0,即(A2)2+°+3)2=20,

它的圓心(2,-3)到直線ar-^l=O的距離為以+斗』

yja2+\

3

..Q=一-T

4

故答案為：

4

12.

【分析】求出展開式的第7項(xiàng)，令x的指數(shù)為0,即可求得"值，從而可得常數(shù)項(xiàng).

【解答】解：-.(X3-

?)”的展開式中第7項(xiàng)尋常數(shù)項(xiàng)，

XXV

6(3)〃-6(

1)6

(1涔或＞

XXyT

c1rx,

.?.3n-27=0,解得〃=9,故常

9

數(shù)項(xiàng)為(-1)6^=84.

故答案為：

84.

13.

【分析】從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教.基本事件總

10

數(shù)〃=《，設(shè)”選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院"為事件A,事件A包含的基本事件個(gè)

y

數(shù)m=C'e+CC,由此能求出選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；隨機(jī)變量X的

所有可能值為0,1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

【解答】解：從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支

I0

教.基本事件總數(shù)

設(shè)”選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院為事件A,

373

事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)，匕'，

則選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為：

P(A)=

373

~c~3

10

49

-60,

隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3,

P(X=O)=

P(X=1)=

03

cc

46

c3

1()

cc12

46

c3

10

C2C,

=1

~6

1

~2

3

P(X=2)=

46_

c3

10

30

P(X=3)=46

10

10

，o'

所以隨機(jī)變量X的分布列是：

X0123

111

P3

69man

E(X)=0x1+l1x+23x+3X1

6

6210305

14.

【分析】利用基本不等式求出結(jié)果即可.

—+16(x-2y)2='一

-16[(x+2y)2-8xy]

【解答】

xyxy

J+128孫-162162-11

孫

答案為：1京16.

15.

【分析】由題可知AE=2AB,AD=5AC,由BD?CE=-2,

可得11AB.AC-5、C

2

-2AB

=-2,代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即可求得

cosNBAC的值，從而求得NBAC；

設(shè)翦工。,Xe[0,1],根據(jù)平面向量的混合運(yùn)算可推出

而萬=2次J12入+7,再利用配方法即可得解.

【解答】解：；

AD^5AC,

?:BD、CE=-2,

AE=2BE,CD=4AC，.二

AE=2AB,

(AQ-4B)(AE-AC)『(5AC-A3X2A3-AC

,,-2

=1MB*AC-5AC

-2AB2

=11x2x1xcosZBAC-5x1-2x4=22cosZBAC-13=-2,

解得cosN8AC=l

2

vZBACe（0,7t）,.-.ZBAC^

3

設(shè)百瓦ED,XG[0,1],

-gBE+“）（8+QPH而嗯淅E人）（皿。）]

12--■?一]一一一__x

=（二九）（1-九）A￡"+2（九二）4。：（

17.1

人一

-2k2)AD-AE

251010

=16(1-X)(l-X)+25X(X-1)+

17.1

人一

-2X2)X5X4XCOSK

2510103

=2隊(duì)2-12入+7

=21(X-

>37

，當(dāng)心

6時(shí)，BP.C尸有最小值，為37.

217

故答案為：37.

7

16.

【分析X1)由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式，結(jié)合sinAM,

可求cosA」，結(jié)合范圍0<4<兀,可求A的值.

2

(2)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin8的值，利用二倍角公式，兩角和

的正弦函數(shù)公式即可求解.

(3)由已知利用三角形的面積公式可求權(quán)?的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求b+c的值，

即可得解的周長.

【解答】解(1)ccosB+/?cosC=

由正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=

2cosA

sinA

2cosA'

從而有sin(B+Q=

vsinA^O,

A1

:.cosA=,

2

v0<4<n,

,71

:.A=,

3

sinA

2cosA

sinA

2cosA'

(2)由已知得，sinB=

1-COS?B=6,、1匚

3

222

/.sin2fi=2sinBcosB=,e^s2B=2cosB-l=-^,

33

^Bcosn+cos^sin^22_3-_"/

,sin(2B+A)=sin(2B+K)=si

336

(3),.,S=^sinA=^c*—￡工

3_43

=i

心16

:.bc=

3

2223

由余弦定理得,6f2=/?2+c2-2/?ccosA=(b4-c)2-2Z7c-2/?ccosA,

即9=(fe+c)2-3x16,解得Hc=5,

3

.?.AABC的周長為a+b+c=8.

17.

【分析】（I）以C為原點(diǎn)，分別以CB、CC、、CA為X、

>\z軸建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量A3、CB、

麗，可得MNlAtB,MN±CB，從而可得MML平面

AtBC；

(n)作<?*8于"點(diǎn)，則平面am的一個(gè)法向量為

CH=(1,O,1),平面ABC的一個(gè)法向量為MN=(O,1,-1),利

用向量的夾角公式，即可求得平面AA8與平面A￡C夾角.

【解答)證明：以C為原點(diǎn)，分別以CB、CG、CA為x、”z軸建立坐標(biāo)系，

則由AC=BC=CG=2,知4,(0,2,2),B,(2,2,0),B(2,0,0),C,(0,

2,0),:.M(\,1,1),7V(1,2,0),

，AB=(2.-2,-2),CB=Q,0,0),MN=(0,1,-1),(3分)

，MN?AB=0-2+2=0,MN?CB=O+O+O=O,

,MNECB，,MN1平面A,BC；(6分)

(2)作CH1AB于〃點(diǎn),?.?平面ABC1平面ABBA，.?.C”_L平面A,BA,

故平面\BA的一個(gè)法向量為CW=(1,O,D,

而平面ABC的一個(gè)法向量為MN=(0,1,-1),

(9分)

/.cos<CH,MN>=\

CH,MN

\CH\\MN\

兀

；<CH,MN>w(O,),

2

..平面AV與平面4BC夾角的大小為

(12分)

(3)BN=(-1,2,0)

設(shè)BN與平面48c夾角為0

sin0=|cos<MN,8N>|=TT

2=10匚

2.55

18.

19.

(D)因?yàn)閐=an+bn

嘴砂工廠2(2

T)+

2

因此《

>2,,+1+1解得n>2

VHGN"

：.n>3

即滿足條偉的最小值為3.

,也，〃為奇數(shù)

(3)因?yàn)?=

＜（3。廠2）?！?/p>

，〃為偶數(shù)’

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，C

他2)&

⑶2-2)2〃2"22w

bbnh+

n-\-n

2)2

記N=C2+C4+--+C2"=-2；

2〃+2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，C

=ab

=〃2’，nnn

記揚(yáng)留+。3+。5+...+。2〃_尸1-2+3-2

+5-2

+...+(2/?—1>2①

則4M=12、325+527+…+(2〃-1>22向②

?-?^-3M=2+2-23+2-25+2-27+...+2-22n-1-(2n-l)-22^1

怎1-22寸

=2+24+26+28+...+22"-(2n-l)-22n+l=2+-(2n-l)-2-

1-22

24(13-2)

1=2l-(2n-l)-22n+l=-+|

-2n卜22m,

11-22

所以w=-+rT-^-22n+|',

3【3)

9(39)

2〃5

2n+l

2因地?cái)?shù)列匕｝的前2〃項(xiàng)和為（

-)-2

H-.

20.

392〃+29

(1)將X=T代入切線方程中m-Dx+"+°-i=°

y=0

有,

所以/(7)=0,

即/(-1)=仍-1)=0

/(x)=ex(x+b+l)-a

e

1

=-1+-.'

e

所以?

帝Q篷g一

則b=2-e^]，與b>0矛盾，

a=b=\

故

(2)由(1)可