第14講 圓（知識(shí)點(diǎn)梳理）（記誦版）-【2022年】中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)·易錯(cuò)點(diǎn)·題型訓(xùn)練·壓軸題組）

第14講圓知識(shí)點(diǎn)梳理考點(diǎn)01圓的有關(guān)性質(zhì)1.圓的有關(guān)概念(1)圓的定義：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓.其固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.此外，圓心為0，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.(2)弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.如圖中的AB，CD。(3)直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.如圖中的AB。(4)?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，筒稱(chēng)弧.以A，B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB”圓的任意一條非直徑的弦把圓分成兩條不同長(zhǎng)的弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，一般用三個(gè)點(diǎn)表示，如圖中的CAB；小于半圓的弧叫做劣弧，如圖中的AC，BD。(5)半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.(6)等圓、等?。耗軌蛑睾系膬蓚€(gè)圓叫做等圓.容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；反過(guò)來(lái)，同圓或等圓的半徑相等.在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.2.垂直于弦的直徑(1)圓的對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸.圓也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是它的對(duì)稱(chēng)中心；圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性。(2)垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.如下圖，AB是直徑且CP=PD，則CD⊥AB，且AC=3.孤、弦、圓心角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.如圖中的∠AOB.(2)圓心角定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.同樣還可以得到：Q在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別相等.4.圓周角(1)圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。(2)圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半在上面三個(gè)圖中，都有∠BAC=（3）推論：同弧或等弧所對(duì)圓周角相等，①半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑（如下圖）。②在同圓或等圓中，兩個(gè)圓周角、兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。(4)圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.(5)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)考點(diǎn)02與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：2.三角形的外接圓(1)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.(2)三角形的外接圓的有關(guān)概念：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心.(3)三角形外接圓的作法確定圓心：三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心；確定半徑：交點(diǎn)到三角形任意一頂點(diǎn)的距離即為外接圓的半徑。(4)反證法證明一個(gè)命題時(shí)，不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.3.直線和圓的位置關(guān)系(1)相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線.(2)相切：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).(3)相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離.(4)直線和圓的位置關(guān)系4.圓的切線(1)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.如圖，直線l就是⊙O的切線.此外，經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線一定過(guò)切點(diǎn)；垂直于切線且過(guò)切點(diǎn)的直線必過(guò)圓心。(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.如上圖，若直線l是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，則l⊥0A。5.切線長(zhǎng)(1)切線長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).(2)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則PA=PB、∠OPA=∠OPB。6.切線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用(1)輔助線的作法：運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證的常見(jiàn)輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題(2)證明直線與圓相切的三種途徑①證直線和圓有唯一公共點(diǎn)（即運(yùn)用定義）；②證直線過(guò)半徑外端且垂直于這條半徑(即運(yùn)用判定定理)；③證圓心到直線的距離等于圓的半徑(即證d=r)。當(dāng)題目已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般用方法②，當(dāng)題目未知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般用方法③，方法①運(yùn)用較少。7.三角形的內(nèi)切圓(1)三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.(2)三角形內(nèi)切圓的作法確定圓心：三角形兩條角平分線的交點(diǎn)即為圓心.確定半徑：交點(diǎn)到三角形任意一邊的距離即為內(nèi)切圓的半徑.(3)如果三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形的面積。8.圓和圓的位置關(guān)系考點(diǎn)03正多邊形和圓1.正多邊形的有關(guān)概念：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距（如右圖）.2.正多邊形的畫(huà)法正n邊形的畫(huà)法思想是將圓n等分，然后順次連接等分點(diǎn)即得到所要作的正多邊形.如作正六邊形，可以先畫(huà)一個(gè)半徑與已知邊長(zhǎng)相等的圓，然后在上面截取得到等分點(diǎn)，連接即得到所要作的正六邊形.并非所有的正多邊形都可以只用尺規(guī)作出.3.正多邊形的計(jì)算設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，半徑為R，邊心距為r，邊長(zhǎng)為a，則有：(1)正多邊形的內(nèi)角：。(2)正多邊形的中心角；(3)正多邊形的半徑；R(4)正多邊形的周長(zhǎng)：C=n·a.(5)正多邊形的面積；S=1考點(diǎn)04弧長(zhǎng)和扇形面積1.弧長(zhǎng)公式：在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)，所以的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，即。2.扇形面積公式(1)扇形的面積由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形（如圖）.在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積，所以圓心角為的扇形面積是。(2)弓形的面積:（如圖）3.母線的定義：圓錐是由一個(gè)底面和一