軸向運動復(fù)合材料圓柱殼的非線性振動研究 - 物理學

軸向運動復(fù)合材料圓柱殼的非線性振動研究-物理學摘要：采用RungeKutta法和多尺度法對軸向運動分層復(fù)合材料薄壁圓柱殼的非線性振動特性進行了研究。首先根據(jù)層合殼理論建立軸向運動分層復(fù)合材料薄壁圓柱殼的波動方程，利用Galerkin法對方程進行離散，得到相互耦合模態(tài)方程組。然后應(yīng)用RungeKutta法分析了不同參數(shù)條件下的幅頻特性曲線，得到了系統(tǒng)由于固有頻率接近所導致的內(nèi)共振現(xiàn)象，以及系統(tǒng)呈現(xiàn)軟特性等非線性特性。最后采用多尺度法進行了系統(tǒng)1:1內(nèi)共振時的近似解析分析，對系統(tǒng)在不同參數(shù)下的振動研究說明，激振力幅值、阻尼、速度等參數(shù)對位移響應(yīng)幅值、共振區(qū)間、模態(tài)間的耦合度及系統(tǒng)軟特性程度均有影響，其結(jié)論與數(shù)值計算結(jié)果一致，并同時對解的穩(wěn)定性進行了研究。

關(guān)鍵詞：法,多尺度法,分層,內(nèi)共振,穩(wěn)定性

復(fù)合材料薄壁圓柱殼具有比強度高、比剛度大、材料性能可設(shè)計性等諸多材料優(yōu)點及良好的幾何特性，這些特點使其在航空、航天、船舶等領(lǐng)域中得到越來越廣泛的應(yīng)用。飛機副油箱在運動中的振動，可以看作軸向運動復(fù)合材料殼體動力學問題的典型例子，相關(guān)方面的研究在近些年受到各國學者的普遍關(guān)注。F.Moussaoui和R.Benamar對殼類結(jié)構(gòu)的非線性振動問題進行了綜述性的研究，指出了前人研究過程中存在的問題，對后來的研究者提出了倡議。C.H.Riedel用多尺度法研究了軸向運動梁的內(nèi)共振問題，并用一次近似理論判斷其穩(wěn)定性；陳樹輝、黃建亮用多元L-P法研究了軸向運動梁的非線性振動和內(nèi)共振；Argento和Scott采用攝動法對軸向載荷作用下的層合圓柱殼動力穩(wěn)定性進行了研究。

與單一組分圓柱殼相比，復(fù)合材料因其具有各向異性、非均勻性，幾何及物理非線性，動態(tài)彈性參數(shù)等特點而使問題研究變得更加復(fù)雜。本文主要研究受外部鼓勵的懸臂復(fù)合材料薄壁圓柱殼，沿軸向作勻速運動時的內(nèi)共振問題。其中，考慮了幾何大變形引起的幾何非線性、軸向運動產(chǎn)生的科氏慣性力所引起的運動學非線性、動態(tài)彈性模量以及阻尼的影響。同時，多尺度法也被引入研究軸向運動復(fù)合材料圓柱殼的內(nèi)共振問題。

1根本方程

考慮軸向運動復(fù)合材料薄壁圓柱殼模型如圖1(a)所示，過x軸作一縱向截面，截得圓柱殼的截面分層如圖1(b)所示。其中E18#為玻璃鋼纖維布，USN1000為碳素布，中間粘層為環(huán)氧樹脂。

(a)整體示意圖

(a)Wholeschematicdiagram

(b)截面分層圖

(b)Slicemapforcross-section

圖1軸向運動復(fù)合材料薄壁圓柱殼示意圖

Fig.1Modelofcompositecircularcylindricalshellmovinginthex-direction

模型的幾何和物理參數(shù)為：長度，半徑，各層坐標，，0，玻璃鋼密度，波松比；碳素密度，波松比。層合殼的幾何方程為

其中，下劃線表示幾何非線性項。該式根據(jù)Donnell"s假定，忽略了中面位移對曲率和扭率的影響。層合殼物理方程為

其中，在計算剛度系數(shù)時，每層復(fù)合材料的彈性模量均為動態(tài)彈性模量，是關(guān)于振動頻率f的函數(shù)。

根據(jù)Donnell"s假定，并考慮幾何及物理方程，經(jīng)整理后，可得到軸向運動分層復(fù)合材料薄壁圓柱殼的波動方程

0

為外激振力，表示非線性項

式中和為激振力振幅和頻率，和為外激振力作用位置。從方程中可以看出，由于軸向速度的影響，慣性力已經(jīng)變?yōu)槿棧?，分別由牽連加速度、相對加速度和科氏加速度引起。

采用法把非線性波動方程離散化。由文獻可知，軸向模態(tài)對非線性振動特性影響較大,同時，本文研究內(nèi)共振問題，應(yīng)選取前兩階軸向雙模態(tài)來分析復(fù)合材料圓柱殼的動力學行為。設(shè)方程的解為

其中，為薄壁圓柱殼的軸向振型函數(shù)，和為廣義模態(tài)變量。由于本文采用了Donnell"s假定，故將環(huán)向波數(shù)取為6。將式代入方程后，兩邊分別對或正交化，整理可得四個關(guān)于、、和的相互耦合的模態(tài)方程組。聯(lián)立求解該模態(tài)方程組，使每個方程只含一個二階導數(shù)

其中，和是與激振力幅值、速度和阻尼系數(shù)等參數(shù)有關(guān)的變量，。

2數(shù)值解

本文應(yīng)用四階Runge-Kutta法求解前面得到的歸一化模態(tài)方程組。給定頻率計算得到、、、某段時間內(nèi)的穩(wěn)定值，將其代人式求出定點位移，并依此畫出幅頻特性曲線。

在求解過程中，先取~和~均為零，得到零初值幅頻特性曲線。

再改變位移的初值條件，得到完整的幅頻特性曲線。其中，激振力振幅，阻尼，軸向運動速度。圖中曲線出現(xiàn)了跳躍并說明了內(nèi)共振現(xiàn)象的存在。與零初始條件相比，完整幅頻特性曲線在多值區(qū)的非線性更為明顯，出現(xiàn)了新的曲線，系統(tǒng)表現(xiàn)出明顯軟特性。同時，和的幅頻特性曲線重合，和與此情況相同，由此可得到，的關(guān)系，在下面的多尺度法求解中應(yīng)用了這個關(guān)系。

圖2零初值下的幅頻特性曲線

Fig.2Amplitude-frequencycurvesofwithzeroinitialvalue

圖3的幅頻特性曲線

Fig.3Amplitude-frequencycurvesof

圖4和幅頻特性曲線的比擬

Fig.4Differencebetweenand

圖5為圓柱殼在不同軸向運動速度下的完整幅頻特性曲線。由圖可知，在第一階固有頻率附近均存在跳躍現(xiàn)象，隨著速度減小，非線性現(xiàn)象更加明顯，多值區(qū)越來越復(fù)雜并出現(xiàn)新的曲線，響應(yīng)幅值也相應(yīng)增大。

圖5時的幅頻特性曲線

Fig.5Amplitude-frequencycurvesofwith

圖6為圓柱殼在不同激振力振幅下的完整幅頻特性曲線。由圖中可知，隨著激振力振幅的增大，幅頻特性曲線的非線性特征越來越明顯，第一、二階模態(tài)的耦合程度加強，即內(nèi)共振現(xiàn)象越發(fā)顯著。

圖7為圓柱殼在不同阻尼下的完整幅頻特性曲線。由圖中可知，隨著阻尼的減小，幅頻特性曲線的幅值增加，共振頻率的偏移程度減小，非線性特征越來越明顯，內(nèi)共振現(xiàn)象也越發(fā)顯著。

圖6時的幅頻特性曲線

Fig.6Amplitude-frequencycurvesofwith

圖7時的幅頻特性曲線

Fig.7Amplitude-frequencycurvesofwith

為進一步證實上述幅頻特性曲線中所說明的內(nèi)共振現(xiàn)象的存在，現(xiàn)對相同條件下的響應(yīng)曲線進行研究。圖8和圖9分別是，阻尼0，速度條件下，和時和響應(yīng)曲線，圖中的兩個模態(tài)幅值交替增減，能量在它們之間相互傳遞，再一次證明文中所選兩階模態(tài)間存在內(nèi)共振現(xiàn)象。

圖8時,的響應(yīng)

Fig.8Responseofandwith

圖9時,的響應(yīng)

Fig.9Responseofandwith

3多尺度法分析1:1內(nèi)共振

通過前面數(shù)值計算中得到的結(jié)果，，并令模態(tài)方程組中的第1、3式，第2、4式，那么式可簡化成兩個方程，引進攝動小參數(shù)后，這兩個方程可寫為

其中，，，，為陀螺項的系數(shù)，，，，為阻尼項的系數(shù)。系統(tǒng)所對應(yīng)的兩階固有頻率,由方程得出，同時可得振型系數(shù),

令，將其看成不同時間尺度的自變量，并將解的精度取為，那么解可設(shè)為

將代入式，可推出和的一、二階導數(shù)的形式為

其中，。

將式和代入和，令和同次冪的系數(shù)相等，得到0和1階偏微分方程組

：

：

系統(tǒng)中和彼此并不獨立，由數(shù)值解知兩階模態(tài)之間存在內(nèi)共振，設(shè)方程的解為

其中，cc表示前面敘述式的復(fù)共軛。第一階固有頻率接近第二階固有頻率，很可能發(fā)生1:1內(nèi)共振，設(shè)

其中，和為頻率調(diào)諧參數(shù)。把式和代入式方程組的右邊并整理得

其中~是關(guān)于，，，，，的函數(shù)，因此設(shè)和含有如下形式特解

把式代入式的左邊并整理，由和兩邊的系數(shù)相等可以列出四個方程，根據(jù)它們所組成的非齊次方程組的解的條件可以進一步得到另外四個方程，考慮到本文研究的激振力頻率在第一階固有頻率的附近，并且關(guān)于小參數(shù)的展開也在第一階固有頻率附近，應(yīng)選擇采用其中的兩個方程進行計算

方程是關(guān)于，，，的函數(shù)，設(shè)

其中和是系統(tǒng)分別以和振動時第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的幅值。將式代入式并別離實部和虛部，可以得到四個方程，將它們整理化簡，得到，，，的敘述式，在這些敘述式中考慮穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解的條件，即

經(jīng)化簡消去和后最終得到關(guān)于和的兩個方程如式所示，其中，

式中，0和中含有參數(shù)，，及變量、的高次方項。給定不同參數(shù)，可求得對應(yīng)幅頻曲線，求解時應(yīng)將利用轉(zhuǎn)化成激振力頻率。

圖10~13給出了不同速度下第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的幅頻特性曲線，由于，而和在同一量級，故圖中分別用和來表示第一、二階模態(tài)的幅值。從圖10~11可以看出，當時，第一、二階模態(tài)分別有六組解，由于所

取的解均為正數(shù)，故這六組解在同一相平面內(nèi)。一階模態(tài)的第5、6組解所對應(yīng)的曲線中，幅值隨頻率增加而增大，二階模態(tài)的對應(yīng)曲線那么恰恰相反。此外，兩圖中的第4組解也表現(xiàn)出相反的特性，這三組解都體現(xiàn)了兩階模態(tài)幅值大小的相互轉(zhuǎn)換，是非線性系統(tǒng)內(nèi)共振的特有規(guī)律。第1、2組解對應(yīng)的曲線變化規(guī)律相同，雖然不能表明內(nèi)共振現(xiàn)象，但從本文后面的穩(wěn)定性研究中可以看到，這兩組解大多數(shù)為不穩(wěn)定解。

圖10時的幅頻特性曲線

Fig.10Amplitude-frequencycurvesofwith

圖11時的幅頻特性曲線

Fig.11Amplitude-frequencycurvesofwith

從圖12~13中看出，在的條件下，第一、二階模態(tài)的四組解所對應(yīng)的曲線均表現(xiàn)出了相反的變化規(guī)律，內(nèi)共振現(xiàn)象非常顯著。從圖10~13的整體比擬來看，當速度由增加到時，第一、二階模態(tài)的幅值都由六個解變?yōu)樗膫€解，共振區(qū)域明顯減小，同時，幅值減小。

在、、時，做出和下的、響應(yīng)曲線。其形式與圖8~9相同，也表現(xiàn)為隨著頻率的變化，幅值交替增減，能量在兩階模態(tài)之間相互傳遞，證明了內(nèi)共振現(xiàn)象的存在。

圖12時的幅頻特性曲線

Fig.12Amplitude-frequencycurvesofwith

圖13時的幅頻特性曲線

Fig.13Amplitude-frequencycurvesofwith

圖14給出了不同激振力幅值下的幅頻特性曲線，由于對一、二階模態(tài)的影響相似，故文中只列出了的幅頻特性曲線，由圖中可知，激振力的增大，使共振區(qū)擴大，振幅增加，同時，發(fā)生內(nèi)共振的頻率逐漸遠離第一階固有頻率。當時，產(chǎn)生了幅值封閉曲線，表明此時非線性對幅值的增大加以限制。

圖14,,,的幅頻特性曲線

Fig.14Amplitude-frequencycurvesofwith

圖15給出了不同阻尼下的幅頻特性曲線，由圖可知，隨著阻尼的增大，振幅減小，共振區(qū)域也變小，且更快產(chǎn)生幅值封閉曲線，但總體來說，阻尼對近似解的影響并不顯著。

圖15,,,的幅頻特性曲線

Fig.15Amplitude-frequencycurvesofwith,,,

圖16給出了不同小參數(shù)下的幅頻特性曲線，由圖中可知，小參數(shù)對幅頻特性曲線根本沒有影響。

圖16,,,時幅頻特性曲線

Fig.16Amplitude-frequencycurvesofwith

考慮到解的穩(wěn)定性分析的重要性，本文利用李雅普諾夫一次近似判別理論對多尺度法共振解的穩(wěn)定性進行了初步研究。將式代入式并別離實部和虛部，整理化簡后可以變形表示為式，其矩陣是關(guān)于的函數(shù)，把幅頻特性曲線上每一點的值同時代入矩陣的特征方程，可求得對應(yīng)的特征值，并運用穩(wěn)定性定理判斷該點的穩(wěn)定性。

圖17給出了，，條件下的第一、二階模態(tài)幅頻特性曲線的穩(wěn)定點和不穩(wěn)定點。

(a)的穩(wěn)定性

(a)Stabilityof

(b)的穩(wěn)定性

(b)Stabilityof

圖17和的穩(wěn)定性

Fig.17Stabilityofand

4結(jié)論

本文分別用數(shù)值法和近似解析法對受法向鼓勵的軸向運動分層復(fù)合材料薄壁圓柱殼的非線性振動進行了研究。通過分析得到下列結(jié)論

(1)材料的分層對系統(tǒng)非線性特性產(chǎn)生了本質(zhì)改變，使軸向運動分層復(fù)合材料圓柱殼的非線性特性呈現(xiàn)明顯軟特性，與其它軸向運動體及非軸向運動復(fù)合材料薄壁圓柱殼的非線性呈現(xiàn)明顯的硬特性有著很大區(qū)別。

(2)兩種辦法所得到的幅頻特性曲線均能表明本文中的系統(tǒng)存在1:1內(nèi)共振。

(3)數(shù)值法與多尺度法的研究結(jié)果保持一致，進一步驗證了結(jié)果的可靠性，參數(shù)研究說明，激振力幅值的增大及阻尼、速度的減小會帶來響應(yīng)振幅增加、共振區(qū)域擴大及內(nèi)共振現(xiàn)象更加顯著。而多尺度法的小參數(shù)對幅頻特性曲線影響不大。

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