微積分與定積分的應(yīng)用

定積分1．函數(shù)定積分：設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上．用分點(diǎn)，把區(qū)間分為個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度依次為．記為這些小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值，當(dāng)趨近于時(shí)，所有的小區(qū)間長(zhǎng)度都趨近于．在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，作和式．當(dāng)時(shí)，如果和式的極限存在，我們把和式的極限叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即．其中叫做被積函數(shù)，叫積分下限，叫積分上限．叫做被積式．此時(shí)稱函數(shù)在區(qū)間上可積．2．曲邊梯形：曲線與平行于軸的直線和軸所圍成的圖形，通常稱為曲邊梯形．根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積等于其曲邊所對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即．求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟：第一步：分割．在區(qū)間中插入各分點(diǎn)，將它們等分成個(gè)小區(qū)間，區(qū)間的長(zhǎng)度，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值．第三步：求和．第四步：取極限．3．求積分與求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算．，即從到的積分等于在兩端點(diǎn)的取值之差．4．微積分基本定理如果，且在上可積，則，其中叫做的一個(gè)原函數(shù)．由于，也是的原函數(shù)，其中為常數(shù)．一般地，原函數(shù)在上的改變量簡(jiǎn)記作，因此，微積分基本定理可以寫(xiě)成形式：．題型一：定積分的概念求圍成圖形面積．①分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：，，…，記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為．分別過(guò)上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線，從而得到個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作：，，…，，顯然，．②近似代替∵，當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值．這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代曲”，則有③求和由②，對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積為=，從而得到的近似值；④取極限．【答案】根據(jù)定義計(jì)算積分．所求定積分為兩個(gè)全等的等腰直角三角形的面積，故．【答案】根據(jù)定義計(jì)算定積分．所求定積分即為如圖陰影部分面積，面積為．即．【答案】根據(jù)定義計(jì)算積分．所求定積分為圓在軸上半部的半圓的面積，故．【答案】求定積分．，設(shè)，則，∵表示以為半徑的圓的四分之一面積，∴．又易知，因此．【答案】等于（）A． B． C． D．【關(guān)鍵詞】2008-2009，北京12中，高二，第二學(xué)期，期中測(cè)試設(shè)，則，∵表示以為半徑的圓的四分之一面積，∴．【答案】A求定積分．設(shè)，即．∵表示以為半徑的圓的四分之一面積，∴．【答案】由及軸圍成的介于0與之間的平面圖形的面積，利用定積分應(yīng)表達(dá)為_(kāi)_______．可以表示為．【答案】圖中陰影部分的面積總和可用定積分表示為（）A． B．C．D．由圖可知，選D．【答案】D求曲線以及直線，，所圍成的圖形的面積．因?yàn)樗杂晒娇芍?，．【答案】已知函?shù)，⑴試用定積分表示與軸圍成的介于與之間的平面圖形的面積；⑵結(jié)合的圖象猜出的值；⑶試將上述問(wèn)題推廣到一般的情況．⑴由定積分性質(zhì)可知，與軸圍成的介于與之間的平面圖形的面積；⑵；⑶已知在上連續(xù)，①當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，有；②當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，有．【答案】⑴；⑵；⑶已知在上連續(xù)，①當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，有；②當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，有．已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為和（如圖所示）．那么對(duì)于圖中給定的和，下列判斷中一定正確的是（）A．在時(shí)刻，甲車在乙車前面B．時(shí)刻后，甲車在乙車后面C．在時(shí)刻，兩車的位置相同D．時(shí)刻后，乙車在甲車前面【關(guān)鍵詞】2009，廣東，高考甲、乙所行駛的路程、，由圖像可知，曲線比在、與軸所圍成圖形面積大，則在、時(shí)刻，，即甲車均在乙車前面，選A．【答案】A設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且恒有，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分，先產(chǎn)生兩組（每組個(gè)）區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)，…，和，…，，由此得到個(gè)點(diǎn)，在數(shù)出其中滿足的點(diǎn)數(shù)，那么由隨機(jī)模擬方法可得積分的近似值為．【關(guān)鍵詞】2010，全國(guó)Ⅰ，高考13【答案】（）A．B．C．D．為奇函數(shù)，積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故．【答案】C函數(shù)的圖象與直線及軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)在上的面積，已知函數(shù)在上的面積為，則函數(shù)在上的面積為_(kāi)____________．在上的面積為，又此函數(shù)的一個(gè)周期為，故在上的面積也為．【答案】題型二：微積分基本定理______．【答案】_______．．【答案】．______．【答案】______．【答案】___________．【答案】函數(shù)，求．【答案】下列等于1的積分是（）A． B． C． D．．【答案】C（）A．B．C． D．．【答案】D計(jì)算下列定積分的值：⑴；⑵；⑶．⑴．⑵．⑶．【答案】⑴；⑵；⑶（）A．B．C．D．．【答案】D曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積是（）A．B．C．D．．【答案】C=（）A．B． C． D．．【答案】B（）A．B． C． D．．【答案】C．．【答案】由曲線、直線、和軸圍成的封閉圖形的面積為．由定積分的定義知，此封閉圖形的面積為．【答案】設(shè)函數(shù)．若，，則的值為_(kāi)_______．【關(guān)鍵詞】2008，山東，高考，于是有，又，故．【答案】若，則________．．【答案】若，則等于（）A．B．C．或D．不確定，解得或．【答案】C已知，則二項(xiàng)式展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是．【答案】已知，若，則．，又，故．【答案】求的值．．【答案】，則實(shí)數(shù)．【關(guān)鍵詞】2008-2009，北京12中，高二，第二學(xué)期，期中測(cè)試，故．【答案】的值等于（）A．B．C．D．【答案】C＝（）A． B． C． D．由的周期為，且為奇函數(shù)知．【答案】A，則______．，解得【答案】_______．【答案】已知，且，，，求、、的值．由，得， ……①又，由，得 ……②……③由①②③得：．【答案】已知函數(shù)，則（）A．B． C． D．，于是，．【答案】B試用定積分表示由直線，，及軸圍成的平面圖形的面積，并求積分的值．．【答案】試用定積分表示由直線，，及軸圍成的平面圖形的面積，并求積分的值．（或）．【答案】從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)取自陰影部分的概率為．【關(guān)鍵詞】2010，陜西，高考13這是一個(gè)幾何概型的問(wèn)題，所求概率．【答案】由曲線，圍成的封閉圖形面積為（）A． B． C． D．【關(guān)鍵詞】2010，山東，高考7如圖，封閉圖形的面積為．【答案】A設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于給定的正數(shù)，定義函數(shù)， 則當(dāng)函數(shù)時(shí)，定積分的值為（）A． B． C． D．【關(guān)鍵詞】2010，宣武，一模，題8由題設(shè)，于是定積分．【答案】D已知自由落體的速度為，則落體從到所走過(guò)的路程為（）A．B．C．D．【答案】C若，則實(shí)數(shù)的值為．，解得．【答案】由直線，，曲線及軸所圍圖形的面積為（）A． B． C． D．．【答案】C給出以下命題：⑴若，則；⑵；⑶的原函數(shù)為，且是以為周期的函數(shù)，則；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3 D．0⑴錯(cuò)誤，如，但對(duì)不成立；⑵，正確；⑶正確．【答案】B給出下列四個(gè)命題：①已知，點(diǎn)到直線的距離為1；②若，則函數(shù)在取得極值；③，則函數(shù)的值域?yàn)?；④在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離是．其中真命題是（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填在橫線上），點(diǎn)到直線的距離為，①正確；②錯(cuò)誤，如函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)值為零，但不取極值；，，從而可取到任意正數(shù)，從而函數(shù)的值域?yàn)?，③正確；直線化為直角坐標(biāo)系的方程為，點(diǎn)在直線坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，于是所求距離為，④正確．【答案】①③④直線與拋物線所圍成圖形的面積為．直線與拋物線的交點(diǎn)易求得為，，結(jié)合圖象知所求面積為．【答案】如圖，求曲線，及直線所圍成的封閉圖形的面積．由圖可知的積分區(qū)間為，由微積分基本定理，有．【答案】求曲線與軸所圍成的圖形的面積．首先求出函數(shù)的零點(diǎn)：，，．又易判斷出在內(nèi)，圖象在軸下方，在內(nèi)，圖形在軸上方，所以所求面積為．【答案】如圖，求曲線及直線，所圍成的圖形的面積．法一：若將線段的解析式看做，曲線的解析式看做，又知點(diǎn)，，的橫坐標(biāo)分別是1，，2，因此所求面積，又因?yàn)槭莻€(gè)分段函數(shù)，即所以．法二：若將看做自變量，則所求圖形可以看做曲線以及直線，所圍成，因此所求面積為．【答案】求曲線以及直線所圍成的圖形的面積．法一：解方程組可知，曲線以及直線的兩個(gè)交點(diǎn)為，．由圖可知，選作為自變量，將曲線方程改寫(xiě)為以及直線，可得到．法二：．【答案】已知為一次函數(shù)，且，則=_______．設(shè)（），則有，于是有：，．【答案】已知為一次函數(shù)，且，則=_______．由題意知，于是，所以，解得．【答案】設(shè)是二次函數(shù)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且．⑴求的表達(dá)式；⑵求的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積．⑶若直線把的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍形的面積二等分，求的值．⑴設(shè)（為常數(shù)，），則，又已知，∴，．∴．又方程有兩個(gè)相等實(shí)根．∴判別式，即．故．⑵結(jié)合的圖象知，所求面積．⑶依題意，有，∴，，化簡(jiǎn)得，∴，于是．【答案】⑴；⑵；⑶．求由拋物線與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值．如圖，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)弦、過(guò)焦點(diǎn)，