中考九年級(jí)證明圓的切線例題方法

切線證明法一、若直線l過⊙O上某一點(diǎn)A，證明l是⊙O的切線，只需連OA，證明OA⊥l就行了，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于如何證明兩線垂直.例1如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E，B為切點(diǎn)的切線交OD延長(zhǎng)線于F.求證：EF與⊙O相切.證明：連結(jié)OE，AD.∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.又∵∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）∴∠OBF=∠OEF.∵BF與⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.

說明：此題是通過證明三角形全等證明垂直的例2如圖，AD是∠BAC的平分線，求證：PA與⊙O相切.證明一：作直徑AE，連結(jié)EC.∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD.又∵∠B=∠E，∴∠P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD.∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900∴∠1+∠EAC=900即OA⊥PA.∴PA與⊙O相切.證明二：延長(zhǎng)AD交⊙O于E，連結(jié)∵A⌒D是⌒∠BAC的平分線，∴BE=CE，證明二：∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA與⊙O相切說明：此題是通過證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用例3如圖，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求證：DM與⊙O相切.證明一：連結(jié)OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM與⊙O相切證明二：連結(jié)OD，AD.∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切線說明：證明一是通過證平行來證明垂直的.說明：證明一是通過證平行來證明垂直的.證明二是通過證兩角互余證明垂直的，解題中注意充分利用已知及圖上已知.例4如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延長(zhǎng)線上.求證：DC是⊙O的切線證明：連結(jié)OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等邊三角形.∴OB=BC.∵OB=BD，∴OB=BC=BD.

∴DC是⊙O的切線.說明：此題是根據(jù)圓周角定理的推論3證明垂直的，此題解法頗多，但這種方法較好.例5如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求證：PC是⊙O的切線.證明：連結(jié)OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP，OCOP.ODOC.又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD⊥AB，∴∠OCP=900∴PC是⊙O的切線.說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的例6如圖，ABCD是正方形，G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與△CFG的外接圓相切分析：此題圖上沒有畫出△CFG的外接圓，但△CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點(diǎn)，為此我們?nèi)G的中點(diǎn)O，連結(jié)O可得解.C，證明CE⊥OC即證明：取FG中點(diǎn)O，連結(jié)OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中點(diǎn)，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.證明二：證明二：OA⊥二、若直線l與⊙O沒有已知的公共點(diǎn)，又要證明l是⊙OOA⊥l，A為垂足，證明OA是⊙O的半徑就行了，簡(jiǎn)稱：“作垂直；證半徑”例7如圖，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，⊙D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與⊙D相切.證明一：連結(jié)DE，作DF⊥AC，F(xiàn)是垂足.∵AB是⊙D的切線，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切線連結(jié)DE，AD，作DF⊥AC，F(xiàn)是垂足.∵AB與⊙D相切，

∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC與⊙D相切.說明：證明一是通過證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角平分線的性質(zhì)證明DF=DE的，這類習(xí)題多數(shù)與角平分線有關(guān).例8已知：如圖，AC，BD與⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.E為垂足.求證：CD是⊙OE為垂足.證明一：連結(jié)OA，OB，作OE⊥CD，∵AC，BD與⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽R(shí)t△BDO.∴ACOC∴OBOD.∵OA=OB，∴ACOC.∴OAOD.又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD,∴OE=OA.∴E點(diǎn)在⊙O上.∴CD是⊙O的切線.證明二：連結(jié)OA，OB，作OE⊥CD于E，延長(zhǎng)DO交CA延長(zhǎng)線于F.∵∵AC，BD與⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E點(diǎn)在⊙O上.∴CD是⊙O的切線.證明三：連結(jié)AO并延長(zhǎng)，作OE⊥CD于E，取CD中點(diǎn)F，連結(jié)OF.∵AC與⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD與⊙O相切于B，∴AO的延長(zhǎng)線必經(jīng)過點(diǎn)B.∴AB是⊙O的直徑.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF，1∴OF CDCF.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E點(diǎn)在⊙O上.∴CD是⊙O的切線說明：證明一是利用相似三角形證明∠1=∠2，證明二是利用等腰三角形三線合一證明∠1=∠2.證明三是利用梯形的性質(zhì)證明∠1=∠2，這種方法必需先證明A、O、B三點(diǎn)共線.此題較難，需要同學(xué)們利用所學(xué)過的知識(shí)綜合求解.以上介紹的是證明圓的切線常用的兩種方法供同學(xué)們參考.切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑切線的性質(zhì)定理的推論１:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．切線的性質(zhì)定理的推論２:經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)

和圓心的連線平分兩條切線的夾角一、要證明某直線是圓的切線，如果已知直線過圓上的某一個(gè)點(diǎn)，那么作出過這一點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于半徑．【例1】如圖1，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD＝OB，點(diǎn)C在圓上，∠CAB＝30o．求證：DC是⊙O的切線．思路：要想證明DC是⊙O的切線，只要我們連接OC，證明∠OCD＝90o即可．證明：連接OC，BC．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90o．1∵∠CAB＝30o，∴BC＝AB＝OB．21∵BD＝OB，∴BC＝OD．∴∠OCD＝90o．2∴DC是⊙O的切線．評(píng)析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線．例2】如圖2，已知AB為⊙O的直徑，過點(diǎn)B作⊙O的切線BC，連接OC，弦AD∥OC．求證：CD是⊙O的切線．思路：本題中既有圓的切線是已知條件，又證明另一條直線是圓的切線．也就是既要注意運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)定理，又要運(yùn)用圓的切線的判定定理．欲證明CD是⊙O的切線，只要證明∠ODC＝90o即可．證明：連接OD．∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o．∴DC是⊙O的切線．【例3】如圖2，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D．求證：AC平分∠DAB．思路：利用圓的切線的性質(zhì)——與圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．圖3證明：連接OC圖3∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴AC平分∠DAB．

評(píng)析】已知一條直線是某圓的切線時(shí)，切線的位置一般是確定的．在解決有關(guān)圓的切線問題時(shí)，輔助線常常是連接圓心與切點(diǎn)，得到半徑，那么半徑垂直切線．【例4】如圖1，B、C是⊙O上的點(diǎn)，線段AB經(jīng)過圓心O，連接AC、BC，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切線嗎？為什么？解：AC是⊙O的切線．理由：連接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B．∵∠COD是△BOC的外角，∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D，∴∠DCO+∠COD=90∴∠DCO+∠ACD=90即OC⊥AC．∵C為⊙O上的點(diǎn)，

∴AC是⊙O的切線．例5】如圖2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB．求證：DE是⊙O的切線．證明：連接OC，則OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切線．二、直線與圓的公共點(diǎn)未知時(shí)須通過圓心作已知直線的垂直線段，證明此垂線段的長(zhǎng)等于半徑例6】如圖3，AB=AC，OB=OC，⊙O與AB邊相切于點(diǎn)D．證明:連接OD，作OE⊥AC，垂足為E．∵AB=AC,OB=OC．∴AO為∠BAC角平分線，∠DAO=∠EAO∵⊙O與AB相切于點(diǎn)D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以O(shè)E=OD．∵OD是⊙O的半徑，∴OE是⊙O的半徑．∴⊙O與AC邊相切．【例7】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E，B為切點(diǎn)的切線交OD延長(zhǎng)線于F.求證：EF與⊙O相切.證明：連結(jié)OE，AD.∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF與⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF與⊙O相切.說明：此題是通過證明三角形全等證明垂直的例8】如圖，AD是∠BAC的平分線，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD.求證：PA與⊙O相切.證明一：作直徑AE，連結(jié)EC.∴∠2=∠1+∠DAC.∵AD是∠BAC∴∠2=∠1+∠DAC.∵PA=PD，∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直徑，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA與⊙O相切.

證明二：延長(zhǎng)AD交⊙O于E，連結(jié)OA，OE.∵⌒AD⌒是∠BAC的平分線，∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA與⊙O相切說明：此題是通過證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用.【例9】如圖，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于D，DM⊥AC于求證：DM與⊙O相切.證明一：連結(jié)OD.

∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM與⊙O相切證明二：連結(jié)OD，AD.∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900

即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切線說明：證明一是通過證平行來證明垂直的.證明二是通過證兩角互余證明垂直的，解題中注意充分利用已知及圖上已知.【例10】如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延長(zhǎng)線上.求證：DC是⊙O的切線證明：連結(jié)OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600又∵OC=OB，∴△OBC是等邊三角形.∴OB=BC.∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切線.說明：此題解法頗多，但這種方法較好

例12】如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求證：PC是⊙O的切線.證明：連結(jié)OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP，OCOP.ODOC.又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD⊥AB，∴∠OCP=900.∴PC是⊙O的切線.說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的【例13】如圖，ABCD是正方形，G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與△CFG的外接圓相切.分析：此題圖上沒有畫出△CFG的外接圓，但△CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點(diǎn)，為此我們?nèi)G的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，證明CE⊥OC即可得解.

證明：取FG中點(diǎn)O，連結(jié)OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中點(diǎn)，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.