高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)第七編：統(tǒng)計(jì)

第七編統(tǒng)計(jì)考綱要求(1)理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.(2)會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的方法.2.用樣本估計(jì)總體莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).(2)理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算術(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差(不要求記憶公式).(3)能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋.(4)能從樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想.(5)會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.變量的相關(guān)性 (1)會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.(2)了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式求出線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶).(4)了解回歸的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.(5)了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想、方法及其初步應(yīng)用.第一講統(tǒng)計(jì)知識(shí)能力解讀知能解讀(一)抽樣方法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)一般地，從元素個(gè)數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時(shí)總體的每個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，那么這種抽樣方法就叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.這樣抽取的樣本叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.(2)常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.(3)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)①被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限；②從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，使抽樣便于在實(shí)踐中操作；③它是不放回抽樣，這使其具有廣泛的應(yīng)用性；④每一次抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體等可能地被抽到，保證了抽樣方法的公平性.(4)實(shí)施抽樣的方法①抽簽法.方法簡(jiǎn)單，易于理解.隨機(jī)數(shù)表不唯一，只要符合各個(gè)位置上等可能地出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的要求就可以構(gòu)成隨機(jī)數(shù)表.隨機(jī)數(shù)表中各個(gè)位置上出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的等可能性，保證了利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣時(shí)抽取到總體中各個(gè)個(gè)體序號(hào)的等可能性.利用隨機(jī)數(shù)表時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題如下：第一步，將總體中各個(gè)個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，因此整體中個(gè)體的個(gè)數(shù)不宜太大.第二步，選定開始數(shù)字，要保證所選數(shù)字的隨機(jī)性.第三步，確定讀數(shù)方向并獲取樣本號(hào)碼.讀數(shù)方向是任意的；樣本號(hào)碼不重復(fù)，若有重復(fù)則舍去.2系統(tǒng)抽樣(1)概念的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這樣抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣.由于系統(tǒng)抽樣的間隔相等，因此系統(tǒng)抽樣也被稱為等距抽樣.①系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況，因?yàn)檫@時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣顯得不方②系統(tǒng)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣之間存在這密切聯(lián)系，即在將總體中的個(gè)體均分后的每一段中進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.(2)系統(tǒng)抽樣的操作步驟①利用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào).②為將總體的號(hào)碼分段，要確定分段間隔k，當(dāng)N(N為總體中的個(gè)體數(shù)，n為樣本nnn能被n整除，這時(shí)k=N.n③第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào)l.④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)編號(hào)(l+k)，將(l+k)加上l，得到第3個(gè)編號(hào)(l+2k)......這樣繼續(xù)下去，知道獲取整個(gè)樣本.(3)系統(tǒng)抽樣的公平性進(jìn)行系統(tǒng)抽樣的間隔.如果不能被整除，那么可能用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從總體中剔除若干段的起始號(hào)，繼而確定整體個(gè)樣本.性相等，可知在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性仍然相等.3分層抽樣使抽取的樣本更好地反映總體的情況，，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，這樣抽樣方法叫做分層抽樣.(2)分成抽樣的過(guò)程①確定樣本容量與總體中個(gè)體數(shù)的比；②計(jì)算各層需抽取的個(gè)體數(shù)；③采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個(gè)體；④將各層中抽取的個(gè)體合在一起，就是所要抽取的樣本.(3)分層抽樣的特點(diǎn)①適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；②更充分反映了總體的情況；③是等可能抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性度是Nn(n為樣本容量，N為總體中的個(gè)體數(shù)).知能解讀(二)數(shù)據(jù)的收集(1)做試驗(yàn)就可做拋擲骰子試驗(yàn).(2)查閱資料有些數(shù)據(jù)不易直接調(diào)查到，可通過(guò)查閱圖書館文獻(xiàn)或通過(guò)搜索因特網(wǎng)上的相關(guān)資料等辦法獲得所需數(shù)據(jù)或相關(guān)數(shù)據(jù).(3)設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷問(wèn)卷一般由一組有目的、有系統(tǒng)、有順序的題目組成.知能解讀(三)用樣本估計(jì)總體1用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布(1)頻率分布表、頻率分布直方圖當(dāng)總體中個(gè)體數(shù)較多，甚至無(wú)限時(shí)，用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，主要步驟如下：⑤繪制頻率分布直方圖.(2)頻率分布直方圖的特點(diǎn)形的高，橫軸上以相鄰兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為矩形的底.②矩形的面積表示頻率，各矩形的面積和為1.③有頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握下列關(guān)系是：樣本容量頻率(3)莖葉圖莖葉圖只便于表示有兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，它有以下兩個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)；①統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始信息的缺失；②可隨時(shí)記錄，方便記錄與表示.(4)莖葉圖制作從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從小到大(或從小到大)的順序同行列出.(5)總體密度曲線總體密度曲線反映了總體的分布，即反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比.根據(jù)這條的面積.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)①眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù).②中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按大小順序排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù).n注意通常，我們是用樣本平均數(shù)取估計(jì)總體平均數(shù).樣本容量越大，這種估計(jì)的可靠性越高；平均數(shù)只是總體平均數(shù)的近似值.(2)方程與標(biāo)準(zhǔn)差①方差：在一組數(shù)據(jù)x,x,...,x中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x的差的平方的平均數(shù)，叫12n做這組數(shù)據(jù)的方程，通常用s2表示，即nn②標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，通常用s表示，即來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小.方程大的波動(dòng)較大，方差小的波動(dòng)較小.所以，當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或比較接近時(shí)，就常用方差來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.知能解讀(四)變量的相關(guān)系數(shù)變量與變量之間的關(guān)系常見的有兩類：一類是確定的函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系.(1)函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，如一次函數(shù)、二次函數(shù).(2)相關(guān)關(guān)系變量間確實(shí)存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系帶有隨機(jī)性.售額與廣告費(fèi)之間、家庭的支出和收入之間都是相關(guān)關(guān)系.(3)散點(diǎn)圖圖.通過(guò)散點(diǎn)圖可初步判斷兩個(gè)之間是否具有相關(guān)關(guān)系，它反映了個(gè)數(shù)據(jù)的密切程度.知能解讀(五)兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系1兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系相似成線性相關(guān)關(guān)系.其中相關(guān)關(guān)系包含正相關(guān)與負(fù)相關(guān).2回歸直線方程的求法(1)列表計(jì)算；(2)使用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算.解題方法薈萃思想方法數(shù)學(xué)結(jié)合思想規(guī)律技巧(一)系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用少個(gè)個(gè)體，就分成多少組，每組中的個(gè)體數(shù)即為樣本間距.規(guī)律技巧(二)分層抽樣的應(yīng)用個(gè)體數(shù)站總體個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量.三種抽樣的方法的比較(見下表)：各各自特點(diǎn)從總體中逐個(gè)抽取將總體均分幾定的規(guī)劃在各部分中抽取先將總體分成行抽取適用范圍數(shù)較少體數(shù)較多分組成相互聯(lián)系在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣類別簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣共同點(diǎn)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同規(guī)律技巧(三)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布從一個(gè)總體得到一個(gè)包含大量數(shù)據(jù)的樣本時(shí)，我們很難從一個(gè)數(shù)字中直接看出樣本所含，從而估計(jì)總體的分布情況.本題考查頻率分布直方圖和頻率公式，屬中等難度題規(guī)律技巧(四)用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征(1)樣本眾數(shù)通常用來(lái)表示分類變量的中心值，易計(jì)算，但它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中較少的一部分信息.中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)的影響，易計(jì)算，但它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間位置的數(shù)據(jù)的信息.平均數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，但它受極端值的影響較大，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)的更多信息.(2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差描述了數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的偏離程度.標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小數(shù)據(jù)的離散程度越小.情況.另外，據(jù)此也可估計(jì)其他同類班級(jí)的情況.規(guī)律技巧(五)利用散點(diǎn)圖判斷兩變量的相關(guān)關(guān)系畫出散點(diǎn)圖可幫助分析變量間是否具有相關(guān)關(guān)系，但不是唯一的判斷途徑.Ⅲ.易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)忽略頻率分布直方圖縱軸的意義而致誤高考命題研究在近幾年的高考中，主要考查：系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的簡(jiǎn)單應(yīng)用，頻率分布直方圖、莖葉圖、相關(guān)性、線性回歸方程、平均數(shù)、方差等計(jì)算.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)以解答的形式出現(xiàn)，屬容易題.高考熱點(diǎn)(一)隨機(jī)抽樣掌握基本知識(shí)的應(yīng)用和基本題型的求解，對(duì)三種抽樣方法的考查以分層抽樣為主.考查三種抽樣方法的特征，試題難度較小.知識(shí)：莖葉圖和系統(tǒng)抽樣.能力：考查了應(yīng)用意識(shí)及數(shù)據(jù)處理能力.試題難度：易.高考熱點(diǎn)(二)統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用息并加以整理是今年來(lái)高考命題的熱點(diǎn).知識(shí)：本題主要考查對(duì)柱形圖的理解.能力：讀圖能力.試題難度：易.識(shí)：頻率和頻數(shù)的概念及頻率分布直方圖的性質(zhì).能力：在求a的過(guò)程中，考查了方程思想和運(yùn)算求解能力.試題難度：中.知識(shí)：莖葉圖、數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征.能力：通過(guò)對(duì)莖葉圖中數(shù)據(jù)數(shù)字特征的判斷考查了推理論證能力和創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí).試題難度：中.高考熱點(diǎn)(三)樣本的數(shù)字特征平均數(shù)；另一類是反映樣本波動(dòng)大小的，包括方差及標(biāo)準(zhǔn)差.我們常通過(guò)樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.高考熱點(diǎn)(四)變量間的相關(guān)關(guān)系及回歸方程對(duì)兩個(gè)變量的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，可發(fā)現(xiàn)存在與生活的回歸現(xiàn)象.用最小二乘法研究回歸現(xiàn)象，得到的線性回歸方程可用于預(yù)測(cè)和估計(jì)，為決策提供依據(jù).對(duì)兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析稱為線性回歸分析.z推導(dǎo)出x與z負(fù)相關(guān)，考查了推理論證能力.試題難度：易.知識(shí)：回歸直線方程，散點(diǎn)圖的應(yīng)用.能力：通過(guò)散點(diǎn)圖確定斜率、截距與0的大小關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.試題難度：易.本題考查了正相關(guān)的定義，考查了樣本點(diǎn)的中心一定在回歸直線上的性質(zhì).試題難度較小.小附錄常用符號(hào)x——平均數(shù)s2——方差s——標(biāo)準(zhǔn)差——求和符號(hào)2常用公式x=1(x+x+...+x)n12nnnini=1nini=1=i=1ii=yxii=1第二講統(tǒng)計(jì)案例知識(shí)能力解讀知能解讀(一)回歸分析它是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.機(jī)誤差3樣本點(diǎn)的中心a1122nnnxxyy)和截距的最小二乘估計(jì)分別為=i=1in(xxi)2,=yx，其中ii=1i=1ninii=1i=1注意 (1)回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x,y)；(2)的意義：當(dāng)x每增加(或減少)1個(gè)單位時(shí)，y就平均增加(或減少)個(gè)單位.4相關(guān)系數(shù)iiii=1(2)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).r越接近于0，線性相關(guān)程度越弱.通常，當(dāng)r大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.知能解讀(二)殘差分析在回歸分析中，測(cè)定值與按回歸方程預(yù)測(cè)的值之差，即=y為相對(duì)于點(diǎn)(x,y)的iiiii殘差.2殘差平方和n(y-)2.iii=13相關(guān)指數(shù)iiii=1RR2的值越小，說(shuō)明殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)知能解讀(三)獨(dú)立性檢驗(yàn)變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.列出量分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為x,x}和y,y}，其樣本頻1212數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為yy1y2xab1xcd2 n(ad-bc)2構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d為樣本容量.3獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).解題方法薈萃思想方法數(shù)形結(jié)合思想畫散點(diǎn)圖判斷相關(guān)性，簡(jiǎn)便易行，便于操作，但往往不易，便于操作，但往往不易準(zhǔn)確解題時(shí)可直接畫散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷.規(guī)律技巧(一)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的步驟：(1)