振動數(shù)值仿真方法

振動數(shù)值仿真方法第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五在時間域內(nèi)對響應(yīng)的時間歷程進(jìn)行離散，把運動微分方程分為各離散時刻的方程；將某時刻的速度和加速度用相鄰時刻的各位移的線性組合表示，將系統(tǒng)的運動微分方程化為一個由位移組成的某離散時刻的代數(shù)方程組；對耦合的系統(tǒng)運動微分方程進(jìn)行逐步數(shù)值積分，從而求出在一系列離散時刻上的響應(yīng)值。

數(shù)值仿真方法的特點這種數(shù)值仿真方法稱為逐步積分法(或直接積分法)。第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五中心差分法；侯博特(Houbolt)法；威爾遜(Wilson-)法；紐馬克(Newmark-)法。對于高頻分量和低頻分量混合的問題，采用無條件穩(wěn)定的解法，可以提高計算效率。求解多自由度線性振動系統(tǒng)常用的方法有：第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五

◆中心差分法是直接積分法的一種?！羲菍⑾到y(tǒng)的運動微分方程在時間域內(nèi)離散，化成對時間的差分格式，然后根據(jù)初始條件，利用逐步積分求出在一系列離散時刻上的響應(yīng)值。

4.1中心差分法離散系統(tǒng)的運動微分方程為式中M，C，K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣；,，x分別表示系統(tǒng)的加速度向量，速度向量和位移向量；R(t)是外力向量。第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五

在中心差分法中，按中心差分將速度和加速度向量離散化為

假定在t=0時，位移、速度和加速度分別為已知的。求時間區(qū)間[0，T]的解。的近似解。目的：確定時刻兩式中，t時刻的速度和加速度是以相鄰時刻的位移表示的。把時間全程T劃分為n等份，即：第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五在t時刻的動力方程為式中第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五◆求解方程式(1)，可得xt+t?！粲墒?3)可以看出，為求xt+t必須使用xt和xt-t的值◆開始計算時，即t=0時，要計算xt的值，就需要已知的x-t值，而x-t是未知的?！粜枰粋€起始技術(shù)，因而這種算法不是自起步的。◆由于是已知的。根據(jù)第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五中心差分法的計算機實施格式A.初始計算

1.形成質(zhì)量矩陣M，阻尼矩陣C和剛度矩陣K。

2.給出初始值

3.選擇時間步長△t，△t△tcr，計算積分常數(shù)：

4.計算。

5.形成有效剛度矩陣：

6.對作三角分解：第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五B.關(guān)于每一時間增量計算

1.計算t時刻的有效載荷

2.計算t＋△t時刻的位移

3.如果需要，計算t時刻的加速度和速度第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五

◆中心差分法是一種顯式積分方法?！羰褂弥行牟罘址ū仨毧紤]積分的時間步長△t不能大于臨界值△tcr，即式中Tn為離散系統(tǒng)的最小周期?！羧绻粷M足上式，數(shù)值解將出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象?！暨@種算法不是無條件穩(wěn)定的。第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五

◆侯博特(Houbolt)法是Houbolt為研究飛機振動所提出的方法?！粼摲椒ㄒ匀壩灰撇逯禐榛A(chǔ)的，通過四點的位移建立三次式，用兩個向后差分公式表示在時刻t+△t的速度和加速度，即4.2侯博特法在t＋△t時刻的動力方程為第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五整理得關(guān)于xt+t的代數(shù)方程組式中◆該方法不是自起步的，要用其它方法由

起步，例如可用中心差分法求出xt和x2t后，才能使用Houbolt法的方程逐步求解?！粲缮鲜娇梢钥闯?，要計算xt+t時刻的解，必須使用前三步的位移xt,xt-t和xt-2t。

第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五Houbolt法的計算機實施格式A.初始計算

1.形成質(zhì)量矩陣M，阻尼矩陣C和剛度矩陣K。

2.給出初始值x0，，。

3.選擇時間步長△t，并計算積分常數(shù)：，，，，，，。

4.使用特殊的起始過程，計算xt和x2t。

5.形成有效剛度矩陣：

6.對作三角分解：第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五B.關(guān)于每一時間增量計算1.計算t+△t時刻的有效載荷

2.計算t＋△t時刻的位移

3.如果需要，計算t+△t時刻的加速度和速度◆Houbolt法和中心差分法的根本不同之處是剛度矩陣K出現(xiàn)在方程(1)的左端，因此Houbolt法是隱式積分格式，其舍入誤差與步長△t的大小無關(guān)，所以Houbolt法是無條件穩(wěn)定的。第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五Wilson-法模型4.3威爾遜-法

威爾遜—(Wilson-)法是假定在[t,t+△t](1)時間間隔內(nèi)，加速度呈線性變化，如圖所示。令為自t時刻開始的時間變量，適用于0t。根據(jù)線性加速度的假設(shè)，可得在此范圍內(nèi)的加速度為第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五若

=t，由以上兩式可得t+t瞬時的速度和位移

上式積分后得根據(jù)上式，將t+t時刻的加速度和速度用位移表示。第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五在t+t時刻的動力方程為式中第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五整理得關(guān)于xt+

t的線性方程組式中求解上述代數(shù)方程組，可得xt+t。第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五同樣取=t，將式(1)分別代入式(2)和式(3)，有

這樣就完成了一步積分。

求出t+t

瞬時的位移xt+t后，代入式(4)就可獲得。在式(1)中取=t，并將式(4)代入，有第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五

本方法的物理意義是：假定加速度在時刻t~t+△t內(nèi)為線性變化，首先計算[t,t＋△t]區(qū)間的近似解，但僅取其中前半部分(到時刻t＋△t)作為正式的近似解而舍去后半部分(時刻t＋△t以后的部分)。這種巧妙的處理并非出于物理的原因，而主要是數(shù)學(xué)計算技術(shù)的理由。

在Wilson-中，只要值取1.37以上，不管△t取怎樣的值都是穩(wěn)定的(即這種算法是無條件穩(wěn)定的)。實際上，最好不要太大，否則精度會下降(截斷誤差增加)。因此，Wilson推薦的合理值為1.4。

第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五Wilson-

法的計算機實施格式A.初始計算

1.形成質(zhì)量矩陣M，阻尼矩陣C和剛度矩陣K。

2.給出初始值x0，，。

3.選擇時間步長△t，?。?.4，計算積分常數(shù)：，，，，，，，。

4.形成有效剛度矩陣：

5.對作三角分解：第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五B.關(guān)于每一時間增量計算

1.計算t+△t時刻的有效載荷

2.計算t＋△t時刻的位移

3.計算t+△t時刻的加速度和速度和位移

第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五

◆Wilson-是一種隱式積分方法，即每計算一步，必須解一個線性代數(shù)方程組。◆Wilson-算法是自起步的，t＋△t時刻的位移，速度和加速度都可由t時刻的變量表示，不需要特別的起動技術(shù)。第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五

紐馬克-(Newmark-)法同樣也是假定在時間間隔[t,t＋△t]內(nèi)加速度呈線性變化，它的基本假定為4.4

紐馬克-

法式中和為按積分的精度和穩(wěn)定性要求可以調(diào)整的參數(shù)。研究表明，當(dāng)1/2，1/4(1/2+)2時，Newmark-法是無條件穩(wěn)定的。根據(jù)以上兩式，和可用表示。第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五(3)(4)New