上海高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理與鞏固復(fù)習(xí)

上海高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理與鞏固復(fù)習(xí))PAGEPAGE2高中知識(shí)梳理一集合與不等式一、集合1、集合的相關(guān)概念：2、集合的屬性：1）確定性；2）互異性；3）無(wú)序性。3、有限集、無(wú)限集、空集（不含任何元素的集合，記作?？占怯邢藜?。）4、集合之間的關(guān)系：子集、真子集、集合的相等【小秘書(shū)】（1）任何一個(gè)集合是它本身的子集；（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；（3）子集個(gè)數(shù)的計(jì)算：由個(gè)元素組成的集合，其子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，真子集個(gè)數(shù)為個(gè)。5、集合的運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集【小秘書(shū)】（1）如果，則，；（2），。6、四種命題的形式：原命題、逆命題、否命題和逆否命題。1）一元二次不等式的解法2）一元高次不等式的解法：一般用數(shù)軸標(biāo)根法求解3）分式不等式的解法思想：等價(jià)轉(zhuǎn)化為同解的整式不等式（組）。方法：數(shù)軸標(biāo)根法。4）含有絕對(duì)值的不等式的解法思想：去絕對(duì)值。方法：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行分類討論；（2）當(dāng)不等式兩邊非負(fù)時(shí)，同時(shí)平方，去掉絕對(duì)值。四、基本不等式1、對(duì)任意實(shí)數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）2、對(duì)任意正數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）3、用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學(xué)方法之一。利用基本不等式求最值要注意三點(diǎn)：一正，二定，三相等。二函數(shù)及其基本性質(zhì)一、函數(shù)三要素函數(shù)解析式、定義域、值域1、函數(shù)解析式的求法待定系數(shù)法；換元法；方程組法等2、函數(shù)值域的求法換元法；配方法；判別式法；分離常數(shù)法；數(shù)形結(jié)合；基本不等式；利用函數(shù)有界性；利用函數(shù)單調(diào)性二、函數(shù)的基本性質(zhì)1、函數(shù)的周期性常見(jiàn)形式：函數(shù)滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)（其中為非零常數(shù)）,1、，則是以為周期的周期函數(shù)；2、，則是以為周期的周期函數(shù)；3、，則是以為周期的周期函數(shù)；4、，則是以為周期的周期函數(shù)。2、數(shù)的奇偶性1）定義：設(shè)，，如果對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)為奇函數(shù)；如果對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)為偶函數(shù)。2）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。3）是偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。4）若奇函數(shù)的定義域包含，則。5）判斷函數(shù)奇偶性的方法：①定義法：首先判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若不對(duì)稱，則為非奇非偶函數(shù)；若對(duì)稱，則再判斷或是否成立。②性質(zhì)法：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇。3、函數(shù)單調(diào)性1）定義：對(duì)于函數(shù)的定義域D內(nèi)某個(gè)區(qū)間上自變量的任意兩個(gè)值（1）若當(dāng)<時(shí)，都有<，則說(shuō)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；（2）若當(dāng)<時(shí)，都有>，則說(shuō)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。2）判斷（證明）函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：⑴?。涸O(shè),是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且<；⑵比：作差－，并將此差式變形（要注意變形的程度）；⑶判斷：－的正負(fù)（要注意說(shuō)理的充分性）；⑷定：根據(jù)－的符號(hào)，結(jié)合單調(diào)性的定義確定函數(shù)的增減性。三、基本初等函數(shù)1、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)：冪函數(shù)分三種情況：2、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域R值域定點(diǎn)單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.對(duì)稱性函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱3、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)圖像性質(zhì)定義域：（0，+∞）；值域：R過(guò)定點(diǎn)（1，0）時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，在（0，+∞）上是增函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)【小秘書(shū)】（1）底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；（2）和時(shí)函數(shù)的性質(zhì)是不一樣的，所以解題時(shí)，如果沒(méi)有明確告訴底數(shù)時(shí)，注意要進(jìn)行分類討論。4、對(duì)數(shù)（1）對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系：若，則.（其中）（2）對(duì)數(shù)恒等式，，換底公式：（3）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：5、函數(shù)圖像變換1）平移變換：左加右減，上加下減2）對(duì)稱變換：⑴與關(guān)于y軸對(duì)稱；⑵與關(guān)于x軸對(duì)稱；⑶與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；⑷與關(guān)于對(duì)稱。⑸的圖象可將的圖象在x軸上方的部分保留（如果有），在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方；⑹的圖象可將的圖象在y軸左邊的部分去掉，將y右邊的圖像沿y軸翻折到y(tǒng)軸左邊，同時(shí)保留y軸右邊部分圖像。3）伸縮變換：⑴的圖象，可將圖象上所有的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，橫坐標(biāo)不變。⑵的圖象，可將圖象上所有的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變。6、反函數(shù)1）反函數(shù)的性質(zhì)：（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；（2）函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域一一對(duì)應(yīng)；（3）一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；（4）一般的偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)(但一種特殊的偶函數(shù)存在反函數(shù)，偶函數(shù)的反函數(shù)，這是一種極特殊的函數(shù))，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，如果有，其反函數(shù)也為奇函數(shù)。2）求反函數(shù)的一般步驟：①確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域；②由的解析式求出；③將x、y對(duì)換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式，并注明其定義域。【小秘書(shū)】①由的解析式求出時(shí)，如果出現(xiàn)兩解的情況，則要根據(jù)x的取值范圍進(jìn)行取舍。②分段函數(shù)的反函數(shù)的求法：先分別求出每一段函數(shù)的反函數(shù)，再將它綜合成一個(gè)函數(shù)。四、三角比與三角函數(shù)一）同角三角比的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：，，（2）倒數(shù)關(guān)系：，，（3）商數(shù)關(guān)系：，【小秘書(shū)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便確定符號(hào).二）誘導(dǎo)公式口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限。三）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式四）三角比的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明【基本思路】：一角二名三結(jié)構(gòu)?！拘∶貢?shū)】基本的技巧有：（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如，，，，等）。（2）三角函數(shù)名互化(切割化弦)。（3）公式變形使用（如：。（4）三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式與升冪公式)。（5）式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。（6）“1”的反帶（等）（7）正余弦“三兄妹—”的內(nèi)在聯(lián)系——“知一求二”。五）輔助角公式:六）1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：2、的圖象與性質(zhì)：七）解斜三角形：正弦定理：（其中為外接圓的半徑）余弦定理：或八）反三角函數(shù)：1、定義：的定義域是[-1，1]，值域是，奇函數(shù)，增函數(shù)；的定義域是[-1，1]，值域是，非奇非偶，減函數(shù)；的定義域是R，值域是，奇函數(shù)，增函數(shù)；2、性質(zhì)：當(dāng)；,3、最簡(jiǎn)三角方程的解集：三數(shù)列與極限一、等差數(shù)列1、等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。2、如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。即：或3、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：。【小秘書(shū)】該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)4、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：或【對(duì)于此公式整理后是關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)】5、等差數(shù)列的性質(zhì)：①當(dāng)時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是常數(shù)列。②等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：，d=，d=。③對(duì)于等差數(shù)列，若，則。④等差數(shù)列中每隔相同項(xiàng)數(shù)取出依次組成新數(shù)列還是等差數(shù)列；⑤若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，，…成等差數(shù)列。如下圖所示：，…..6、等差數(shù)列的判定方法：①定義法：對(duì)于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；②等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列；7、任意類型的數(shù)列與的關(guān)系式：?！拘∶貢?shū)】一定要注意分類討論。二、等比數(shù)列1、等比數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公差通常用字母q表示。2、等比中項(xiàng)：如果，那么叫作的等比中項(xiàng)。3、等比數(shù)列的判定方法：①定義法：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；②等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【小秘書(shū)】（1）當(dāng)公比不確定時(shí)，必須分情況進(jìn)行討論；（2）當(dāng)時(shí)，前n項(xiàng)和必須具備形式。6、等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）若是等比數(shù)列，則；（）（2）若是等比數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，特別地，當(dāng)時(shí)，（3）若是等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的子數(shù)列構(gòu)成等比數(shù)列；（4）若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，一般地，，，也成等比數(shù)列。如下圖所示：【小秘書(shū)】（1）對(duì)于上述結(jié)論，在“且為偶數(shù)”的情況下不成立；（2）對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)積的類似性質(zhì)如何？若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，一般地，，，也成等比數(shù)列。（5）兩個(gè)等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)構(gòu)成的數(shù)列、、仍為等比數(shù)列。三、常見(jiàn)數(shù)列求和的方法一）基本公式：1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：，2．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，或。當(dāng)q=1時(shí)，。二）常用數(shù)列的前n項(xiàng)和：；；方法一倒序相加法方法二拆項(xiàng)法(分組求和法)方法三裂項(xiàng)相消法方法四錯(cuò)位相減法四、數(shù)學(xué)歸納法1、數(shù)學(xué)歸納法的原理：證明過(guò)程中一定要用歸納假設(shè)。2、用數(shù)學(xué)歸納法解決探索性問(wèn)題的思維方式：觀察歸納猜想推理論證。（主要用于數(shù)列探索性問(wèn)題中）五、數(shù)列的極限1、數(shù)列極限的定義：2、幾個(gè)常用的極限： （1）C=C（C為常數(shù)）；（2）=0；（3）=0（＜1）；（4）=（k∈N*,a、b、c、d∈R且c≠0）；（5）3、數(shù)列極限的運(yùn)算法則：如果，，那么；；。特別地，如果是常數(shù)，那么，。4、無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和：。四平面向量與解析幾何1、向量的模：2、單位向量：長(zhǎng)度為1的向量。3、平行向量（共線向量）4、相等向量：方向相同、長(zhǎng)度相等的向量。5、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算①若，則；②若，則；③若=(x，y)，則=(x,y)；④若，則。6、平面向量的數(shù)量積：1）向量的夾角：2）數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.3）；4）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=－|a||b|，特別地，a·a=|a|2，或|a|=；5）a⊥ba·b=0；6）cosθ=7）乘法公式：；；8）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：；對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律：；分配律：。9）兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則：（1）a·b=x1x2+y1y2；（2）|a|=；（3）cos〈a，b〉=；（4）a⊥ba·b=01、直線方程的幾種形式直線方程方向向量法向量斜率k點(diǎn)方向式點(diǎn)法向式點(diǎn)斜式一般式【小秘書(shū)】直線、的方程為：：，：，則∥；2、直線的傾斜角與斜率（1）傾斜角：直線向上的方向與x軸正方向的夾角。范圍（2）斜率：不是900的傾斜角的正切值叫做直線的斜率，即k=tanα。（3）過(guò)兩點(diǎn)()的直線的斜率公式?！拘∶貢?shū)】求直線斜率的方法：①定義法：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則斜率k=tanα；②公式法：已知直線過(guò)兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，則斜率k=；③方向向量法：若=（m，n）為直線的方向向量，則直線的斜率k=。3、點(diǎn)到直線的距離：4、平行直線與的距離：5、兩條直線的夾角公式：若直線的斜率為，的斜率為，則：（1）直線與直線所成的角（簡(jiǎn)稱夾角）滿足：（2）（直線法向量的數(shù)量積公式的變形）6、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程1）圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：特別地，當(dāng)時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：2）圓的一般方程：，圓心為，半徑為，（其中）3）二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：①項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0，即；②沒(méi)有xy項(xiàng)，即B=0；③.7、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種，若，則相離相切相交圖形方程角度?＜0?＝0?＞0幾何角度D＞rd＝rd＜r【小秘書(shū)】直線和圓位置關(guān)系的判定方法方法一：（方程的觀點(diǎn)）即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成一元二次方程組，利用判別式來(lái)討論位置關(guān)系．①，直線和圓相交；②，直線和圓相切；③，直線和圓相離．方法二：（幾何的觀點(diǎn)）即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.①，直線和圓相交；②，直線和圓相切；③，直線和圓相離．8、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)焦點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)范圍對(duì)稱性的關(guān)系9、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)定義標(biāo)準(zhǔn)方程簡(jiǎn)圖幾何性質(zhì)焦點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)范圍對(duì)稱性關(guān)系漸近線【小秘書(shū)】1、與共漸近線的雙曲線方程－（）；2、已知P為橢圓上的一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，,則的面積是。雙曲線中，的面積：（，為虛半軸長(zhǎng)）。10、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）（）（）圖形范圍焦點(diǎn)準(zhǔn)線對(duì)稱軸頂點(diǎn)【小秘書(shū)】1、拋物線的通徑：通過(guò)焦點(diǎn)并且垂直于對(duì)稱軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)之間的線段叫做拋物線的通徑。通徑的長(zhǎng)為,通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦。2、若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，，則，。3、遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。（1）在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為；（2）在求直線與二次曲線的相交弦的弦長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)用韋達(dá)定理來(lái)求解：五、矩陣與行列式1、矩陣的加減法：對(duì)應(yīng)位置相加減。2、數(shù)乘矩陣:用數(shù)去乘矩陣的每一個(gè)元素。3、矩陣的乘積（1）矩陣的乘積：一般，設(shè)A是階矩陣，B是階矩陣，設(shè)C為矩陣，（2）運(yùn)算律分配律：，結(jié)合律：，【小秘書(shū)：交換律不成立，即】4、行列式二階行列式：=（2）三階行列式：；（3）余子式與代數(shù)余子式：5、三元一次方程組的行列式解法三元一次方程組，行列式，其中方程組的系數(shù)行列式為D，則（1）時(shí)，方程組有唯一解；（2），時(shí)，方程組無(wú)解或者有無(wú)窮多解；（3），中至少有一個(gè)不為0時(shí)，方程組無(wú)解。六、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的相關(guān)概念與運(yùn)算1、；；。2、復(fù)數(shù)相等：3、共軛復(fù)數(shù)：（）4、復(fù)數(shù)的模：若；（）5、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：（）二、復(fù)數(shù)的平方根、立方根與實(shí)系數(shù)一元二次方程1、復(fù)數(shù)的平方根如果滿足：，則稱是的一個(gè)平方根?！拘∶貢?shū)】（1）一個(gè)非零復(fù)數(shù)的平方根都有相應(yīng)的兩個(gè)復(fù)數(shù)；（2）復(fù)數(shù)的平方根一般不要記為。2、復(fù)數(shù)的立方根若復(fù)數(shù)滿足，則稱是的立方根?！拘∶貢?shū)】1的立方根有三個(gè)：1，，（其中），滿足。3、實(shí)系數(shù)一元二次方程:實(shí)系數(shù)的一元二次方程（、、，且）(1)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng)時(shí)，方程在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)有一組共軛虛根，∴，.這時(shí)兩根仍然滿足韋達(dá)定理：，【小秘書(shū)】（1）實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根必定成對(duì)出現(xiàn)，并且共軛。（2）實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)總有兩個(gè)解、，總可以進(jìn)行因式分解：。七排列、組合、概率與二項(xiàng)式定理一）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1、加法原理（分類計(jì)數(shù)原理）2、乘法原理（分步計(jì)數(shù)原理）【小秘書(shū)】加法原理與乘法原理的區(qū)別：加法原理：方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。乘法原理：各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件。二）排列1、排列：從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素，按照一定的次序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)。2、排列數(shù)公式：==n·(n－1)…(n－m+1)；階乘=n!3、附有限制條件的排列（1）對(duì)附有限制條件的排列，思考問(wèn)題的原則是優(yōu)先考慮受限制的元素或受限制的位置.（2）對(duì)下列附有限制條件的排列，要掌握基本的思考方法：元素在某一位置或元素不在某一位置；元素相鄰——捆綁法，即把相鄰元素看成一個(gè)元素；元素不相鄰——插空法；比某一數(shù)大或比某一數(shù)小的問(wèn)題主要考慮首位或前幾位.（3）對(duì)附有限制條件的排列要掌握正向思考問(wèn)題的方法——直接法；同時(shí)要掌握一些問(wèn)題的逆向思考問(wèn)題的方向——間接法.【方法指導(dǎo)】解決排列組合問(wèn)題常見(jiàn)的解題方法有：直接法，間接法，捆綁法，插空法，隔板法，固定秩序法，元素優(yōu)先法，位置優(yōu)先法等。（1）直接法：根據(jù)加法原理及乘法原理，直接把一個(gè)復(fù)雜的事件分解成為簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，這種解題方法為直接法。（2）間接法：不管限定條件，全部的排列數(shù)或組合數(shù)，必含兩類情況，一類是符合題意限定條件的種數(shù)，另一類不符合題意限定條件的種類，用全部種類減去不符合題意限定條件的種類可得符合題意限定條件的種類，此種方法屬數(shù)學(xué)中常用的間接法。當(dāng)符合題意限定條件中的種類不易求，或情況多樣易出錯(cuò)，而不符合題意條件的種類易求時(shí)，常采用此法。（3）捆綁法：關(guān)于某些元素必“相鄰”的問(wèn)題，可把這些元素看作一個(gè)整體，當(dāng)成一個(gè)元素和其它元素進(jìn)行排列，然后這些元素自身再進(jìn)行排列，這種方法叫做捆綁法。（4）插空法：若題目限制某些元素必“不相鄰”，可將無(wú)此限制的元素進(jìn)行排列，然后在它們的空格處，插入不能相鄰元素，這種方法叫插空法。三）組合的概念與性質(zhì)（1）組合：從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，組合的個(gè)數(shù)叫組合數(shù)，用C表示?！拘∶貢?shū)】排列與組合的區(qū)別：（2）組合數(shù)公式：Cnm==；（3）組合數(shù)的性質(zhì)：①Cnm=Cnn-m；②C=C+C二項(xiàng)式定理1、二項(xiàng)式展開(kāi)公式：2、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開(kāi)式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用來(lái)表示。即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)：。其中叫做二項(xiàng)式系數(shù)。對(duì)于的展開(kāi)式，其通項(xiàng)公式為：。由于其通項(xiàng)一般記為，所以r不是項(xiàng)數(shù)，才是項(xiàng)數(shù)；反過(guò)來(lái)，當(dāng)已知項(xiàng)數(shù)時(shí)，將它減去1，才得到r。3、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的作用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，反映出展開(kāi)式在指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，因此能運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)及系數(shù)最大、絕對(duì)值最大的項(xiàng)?！拘∶貢?shū)】注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別！4、二項(xiàng)式系數(shù)的和在二項(xiàng)式定理中，令，則這就是說(shuō)，的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于。同時(shí)由于，上式還可以寫成：隨機(jī)事件的概率1、隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.2、必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件.3、不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件.5、等可能性事件的概率：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件，通常此試驗(yàn)中的某一事件A由幾個(gè)基本事件組成。如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，即此試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是。如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P（A）=。【小秘書(shū)】使用公式P（A）=計(jì)算時(shí)，確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在，其計(jì)算方法靈活多變，沒(méi)有固定的模式，可充分利用排列組合知識(shí)中的分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，必須做到不重復(fù)不遺漏.基本統(tǒng)計(jì)方法一、抽樣方法與總體分布的估計(jì)1、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N，如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.2、分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.3、總體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把被研究的對(duì)象的全體叫做總體.4、頻率分布：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來(lái)表示.5、總體分布：從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，就是一次隨機(jī)試驗(yàn)，從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，就是進(jìn)行了n次試驗(yàn)，試驗(yàn)連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機(jī)事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布.6、（1）平均數(shù)：（2）中位數(shù)：將n個(gè)數(shù)從小到大排列，n為奇數(shù)時(shí)，第個(gè)數(shù)；n為偶數(shù)時(shí)，第兩數(shù)的平均數(shù)稱為這n個(gè)數(shù)的中位數(shù)。（3）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。（4）加權(quán)平均數(shù)：（5）方差：標(biāo)準(zhǔn)差：這兩個(gè)量都是用來(lái)衡量數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，方差的單位是數(shù)據(jù)單位的平方，標(biāo)準(zhǔn)差的單位和數(shù)據(jù)單位相同。（6）參數(shù)估計(jì)：用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值：八立體幾何1、基本表示法2、平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線。公理3經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.3、空間線面的位置關(guān)系平行—沒(méi)有公共點(diǎn)共面(1)直線與直線相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)異面(既不平行，又不相交)直線在平面內(nèi)—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線和平面直線不在平面內(nèi)平行—沒(méi)有公共點(diǎn)(直線在平面外)相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)相交—有一條公共直線(無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn))(3)平面與平面平行—沒(méi)有公共點(diǎn)4、異面直線的判定證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線”.5、線面關(guān)系(1)線面平行①判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。②性質(zhì)定理：③其他性質(zhì)：平行于同一直線的兩直線平行.垂直于同一平面的兩直線平行.(2)線面垂直①定義：如果一條直線l和一個(gè)平面α相交，并且和平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l和平面α互相垂直。②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。③性質(zhì)定理：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)所有的直線。如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。④三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。⑤常見(jiàn)結(jié)論：如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面6、有關(guān)存在性和唯一性的結(jié)論(1)過(guò)直線外一點(diǎn)與這條直線平行的直線有且只有一條；(2)過(guò)一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條；(3)過(guò)平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；(5)過(guò)一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)；(6)過(guò)平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；(7)過(guò)兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；(8)過(guò)兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).7、空間中的各種角(1)等角定理及其推論定理:若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.推論:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.(2)異面直線所成的角取值范圍：0°＜θ≤90°.求解方法：①根據(jù)定義，通過(guò)平移，找到異面直線所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.(3)直線和平面所成的角取值范圍：0°≤θ≤90°求解方法：①作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.最小角定理:斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角，亦可說(shuō)，斜線和平面所成的角不大于斜線與平面內(nèi)任何直線所成的角.8、空間中的各種距離（1）點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)面距離常用的方法：1)直接利用定義①找到(或作出)表示距離的線段；②抓住線段(所求距離)所在三角形解之.2)體積法①在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；②求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；③由V=S·h，求出h即為所求.（這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離.難點(diǎn)在于如何構(gòu)造合適的三棱錐以便于計(jì)算.）3)轉(zhuǎn)化法：將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為(平行)直線與平面的距離來(lái)求.（2）直線和平面的距離一般將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之.棱柱1、有兩個(gè)面互相平行，其余各面的公共邊互相平行的多面體叫做棱柱。側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱。底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。2、{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.3、棱柱的性質(zhì)：=1\*GB3①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。=