單搖擺力性分析

本文格式為Word版，下載可任意編輯——單搖擺力性分析單擺的非線性動(dòng)力學(xué)分析

張亞兵

（蘭州交通大學(xué)車輛工程專業(yè)，甘肅蘭州，730070）

摘要:研究單擺的運(yùn)動(dòng)，從是否有無(wú)阻尼和驅(qū)動(dòng)力方面來(lái)分析它們對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)的影響。對(duì)于小角度單擺的運(yùn)動(dòng)，從單擺的動(dòng)力學(xué)方程入手，借助李雅普諾夫一次近似理論，推導(dǎo)出單擺的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性狀況。再借助繪圖工具matlab，對(duì)小角度和大角度單擺的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，通過(guò)改變參數(shù)，如阻尼大小、驅(qū)動(dòng)力大小等繪出單擺運(yùn)動(dòng)的不同相圖，對(duì)相圖進(jìn)行分析比較，從驗(yàn)證單擺運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性狀況。關(guān)鍵詞:單擺；振動(dòng)；阻尼；驅(qū)動(dòng)力

Abstract:Thevibrationofsimplependulumisstudiedbyanalyzingwhetherornotdampanddriveforceitsinfluenceofthesimplependulum.Forsmallanglependulummotion,pendulumdynamicequationfromthestart,withanapproximateLyapunovtheoryofstabilityofmotionisderivedpendulumsituation.Drawingtoolswithhelpfrommatlab,smallangleandwide-anglependulummotionsimulation,bychangingtheparameters,suchasdampingsize,drivesizedrawsimplependulumofdifferentphasediagram,analysisandcomparisonofthephasediagram,fromtheverificationthestabilityofthesituationpendulummovement.

Keywords:simplependulum;vibration;ddriveforce

1引言

單擺是一種理想的物理模型[1]，單擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)（擺角小于5°）時(shí)其運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程，可以求出其解析解，而當(dāng)單擺做大幅度擺角運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為非線性方程，我們很難用解析的方法探討其運(yùn)動(dòng)，這個(gè)時(shí)候可以用MATLAB軟件對(duì)單擺的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)值求解，并可以模擬不可憐況下單擺的運(yùn)動(dòng)。隨著擺角的減小，擺球的運(yùn)動(dòng)速率將越來(lái)越大，而加速度將單調(diào)下降,至??0時(shí),加速度取微小值。本文從動(dòng)力學(xué)的角度詳細(xì)考察了這一過(guò)程中擺球的非線性運(yùn)動(dòng),

.得出了在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中??t,???的關(guān)系。

圖1單擺模型

1

2單擺的線性狀況

2.1線性單擺的無(wú)阻尼振動(dòng)

如圖（1）所示，一根不會(huì)伸縮、長(zhǎng)度為l的細(xì)線，上端固定（或一根剛性輕桿，上端與無(wú)摩擦的鉸鏈相連），下端懸掛一質(zhì)量為m的小球就構(gòu)成一單擺。當(dāng)擺角?很小時(shí)，sin??0，單擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，令s?l?，其運(yùn)動(dòng)方程為

s?Acos(?0t??0)（1）

式中，?0?gl稱為單擺的固有圓頻率，其周期為（2）g式(1)對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，得小球的速度

v??A?0sin(?0t??0)（3）

由式(1)與式(3)得

?s??v???1（4）????AA????0?上式說(shuō)明單擺的速度—位移曲線圖(尋常稱為相圖[2])為一橢圓[3]。

22T0?2?l圖2圖無(wú)阻尼單擺的相平面軌跡

2.2線性單擺的阻尼振動(dòng)

當(dāng)小球搖擺的速度較小時(shí)，小球受到一個(gè)與速度方向相反的阻力,f???ds/dt，?為阻力系數(shù)，它與物體的形狀以及周邊媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)。根據(jù)牛頓其次定律有

d2sds??02s?0（5）2?2?dtdt稱為阻尼因數(shù)。對(duì)于一定振動(dòng)系統(tǒng)，根據(jù)比值（?:?0）小2m于、等于、大于1，則稱單擺處于欠阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼振動(dòng)狀態(tài)。設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)的周期T0?2s，初始條件s(0)?0.01m,v(0)?0，取?=0.3。

用Matlab軟件中的函數(shù)，\與“ezplot〞可求出單擺阻尼振動(dòng)方程并描繪振動(dòng)曲線及其相圖。

式中，???2

（a）振動(dòng)曲線（b）振動(dòng)相圖

圖3線性單擺的欠阻尼振動(dòng)曲線及其相圖

線性單擺在臨界阻尼，過(guò)阻尼狀態(tài)下的振動(dòng)曲線及振動(dòng)相圖，只需改變相應(yīng)的?取值即可

3有阻尼和有驅(qū)動(dòng)力單擺的運(yùn)動(dòng)分析

有阻尼和有驅(qū)動(dòng)力單擺的運(yùn)動(dòng)方程為

??2???sin??fcos?t(6)在任意大振幅下，方程(6)的解變得十分繁雜，下面利用計(jì)算機(jī)模擬，分別探討單擺運(yùn)動(dòng)隨初值的變化和其混沌運(yùn)動(dòng)。3.1初值不同所產(chǎn)生的??t曲線

為簡(jiǎn)單計(jì)，設(shè)??0.10,f?1,??2/3，當(dāng)t=0時(shí)，兩振動(dòng)初始條件相差微小，

.???(0)?0,?1(0)?0.01有?1(7).???2(0)??0.01,?1(0)?0取0?t?120s，對(duì)(6)式在初始值(7)式下利用MATLAB繪圖，其??t變化曲線如圖4所示(其中實(shí)線為?1?t，虛線為?2?t)。

...圖4有阻尼和驅(qū)動(dòng)力的??t圖

3

由圖4可以看出，當(dāng)0?t?25s時(shí)，兩條曲線重合，兩個(gè)解?1(t)、?2(t)不能分辯；但當(dāng)t?25s時(shí)，兩條曲線不再重合，兩個(gè)解?1(t)、?2(t)、完全不一樣，這種混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件的敏感性稱為蝴蝶效應(yīng)。

3.2振幅不同所產(chǎn)生的相圖???

為簡(jiǎn)單計(jì)，設(shè)方程(6)中，除驅(qū)動(dòng)參數(shù)f取變值外，其余參數(shù)不變，即??0.25,??2/3。

對(duì)(6)式在初始值式?(0)?0,?(0)?0下利用MATLAB作計(jì)算模擬繪圖，相圖

...???如圖6所示。

當(dāng)f?1.06時(shí)，振蕩周期?等于外加周期力的周期T，??T?2?/??3?，應(yīng)應(yīng)單周期解，其相圖???如圖5示。

.

圖5

當(dāng)f?1.07時(shí)，??3T，對(duì)應(yīng)三倍周期解，其相圖???如圖6示。

.

圖6

當(dāng)周期強(qiáng)迫力的振幅達(dá)到某一臨界值f??1.684時(shí)，??2?T，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)混沌，其相圖???如圖7示。

.4

圖7

4無(wú)阻尼和無(wú)驅(qū)動(dòng)力單擺的運(yùn)動(dòng)(β=0,f=0)

無(wú)阻尼無(wú)驅(qū)動(dòng)力狀況下，單擺系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

??2???sin??fcos?t

??????????變?yōu)椋??sin??0，狀態(tài)方程????2???sin??fcos?

???????變?yōu)椋?/p>

????????（8）

?????sin?為了將高階微分方程組降階，我們首先做如下處理：

d?（I）首先把高階微分方程改寫(xiě)成一階微分方程組，令y1??，y2?，則

dt???y??d??（9）

???dt?于是原二階微分方程可改寫(xiě)成如下一階微分方程組

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